導関数どうかんすうderivativeの定義ていぎと差商さしょうdifference quotient

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、微分係数びぶんけいすうを平均変化率へいきんへんかりつaverage rate of changeの極限きょくげんlimitとして定義ていぎし、各点かくてんの微分係数びぶんけいすうから導関数どうかんすうderivative functionを構成こうせいする。

グラフ上じょうの固定点こていてん $$(a,f(a\left)\right)$$(a,f(a)) と点てん $$(a+h,f(a+h\left)\right)$$(a+h,f(a+h)) を通とおる直線ちょくせんは割線かっせんsecant lineであり、その傾かたむきが平均変化率へいきんへんかりつを表あらわす。$$h\to 0$$h\to0 のときに後者こうしゃの点てんを固定点こていてんへ接近せっきんさせ、差商さしょうが有限ゆうげんな極限値きょくげんち $$f^{\prime }\left(a\right)$$f'(a) をもつならば、その値あたいを傾かたむきとする接線せっせんtangent lineは $$y=f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$$y=f(a)+f'(a)(x-a) である。

2定義ていぎ

$$D\subseteq \mathbb{R}$$D\subseteq\mathbb{R}、$$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R}、$$a\in \mathrm{int}D$$a\in\operatorname{int}D とする。$$h\ne 0$$h\ne0 かつ $$a+h\in D$$a+h\in D を満みたす $$h$$h に対たいする差商さしょうdifference quotientは

である。ここでは $$h$$h で割わるため、$$h=0$$h=0 を除外じょがいする。その後あとで $$h\to 0$$h\to0 の極限きょくげんlimitを取とる。

が有限値ゆうげんちとして存在そんざいするとき、$$f$$f は $$a$$a で微分可能びぶんかのうdifferentiableであり、$$f^{\prime }\left(a\right)$$f'(a) を $$a$$a における微分係数びぶんけいすうderivativeという。導関数どうかんすう $$f^{\prime }$$f' の定義域ていぎいきは

であり、$$f^{\prime }:D_{f^{\prime }}\to \mathbb{R}$$f':D_{f'}\to\mathbb{R} を導関数どうかんすうderivative functionという。

3具体例ぐたいれい

例れいとして $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}、$$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2 の導関数どうかんすうderivativeを定義ていぎから導出どうしゅつする。

である。この約分やくぶんでは $$h\ne 0$$h\ne0 を使用しようしている。したがって

を得える。

この例れいは、微分びぶんdifferentiationではまず $$h\ne 0$$h\ne0 の範囲はんいで式しきを変形へんけいし、その後あとに $$h\to 0$$h\to0 の極限きょくげんを取とる必要ひつようがあることを示しめす。

4微分可能性びぶんかのうせいの条件じょうけん

定義域ていぎいきの内点ないてんでは、左右さゆうからの差商さしょうdifference quotientの極限きょくげんlimitが有限値ゆうげんちとして存在そんざいし、かつ一致いっちすることと、微分係数びぶんけいすうderivativeが存在そんざいすることは同値どうちである。$$\left|x\right|$$|x| の $$0$$0 のように尖とがった点てんでは、連続れんぞくcontinuousでも微分可能びぶんかのうdifferentiableではない。

5演習えんしゅうリンク

6関連かんれんリンク

Definition of the Derivative Function and Difference Quotients

1Introduction

This lecture defines the derivative at a point as the limit of average rates of change and constructs the derivative function from these pointwise derivative values.

The line through the fixed point $$(a,f(a\left)\right)$$(a,f(a)) and the point $$(a+h,f(a+h\left)\right)$$(a+h,f(a+h)) on the graph is a secant line, and its slope represents an average rate of change. As $$h\to 0$$h\to0, the latter point approaches the fixed point. If the difference quotient has a finite limit $$f^{\prime }\left(a\right)$$f'(a), the tangent line with that slope is $$y=f\left(a\right)+f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$$y=f(a)+f'(a)(x-a).

2Definition

Let $$D\subseteq \mathbb{R}$$D\subseteq\mathbb{R}, $$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R}, and $$a\in \mathrm{int}D$$a\in\operatorname{int}D. For $$h\ne 0$$h\ne0 satisfying $$a+h\in D$$a+h\in D, the difference quotient at $$a$$a with increment $$h$$h is

Because the expression divides by $$h$$h, $$h=0$$h=0 is excluded. The limit is then taken as $$h\to 0$$h\to0:

If this limit exists as a finite value, then $$f$$f is differentiable at $$a$$a, and $$f^{\prime }\left(a\right)$$f'(a) is the derivative of $$f$$f at $$a$$a. The domain of the derivative function is

The function $$f^{\prime }:D_{f^{\prime }}\to \mathbb{R}$$f':D_{f'}\to\mathbb{R} is the derivative function of $$f$$f.

3Example

As an example, derive the derivative function of $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, $$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2, from the definition. For $$h\ne 0$$h\ne0,

Therefore, $$f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)=2x$$f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.

This example demonstrates that one must first simplify the expression under the condition $$h\ne 0$$h\ne0 and only afterward take the limit as $$h\to 0$$h\to0.

4Criterion for Differentiability

At an interior point of the domain, the derivative exists if and only if the left and right limits of the difference quotient both exist as finite values and agree. For example, $$\left|x\right|$$|x| is continuous at $$0$$0 but is not differentiable there because of its corner.

5Exercises

6Related Material