導関数どうかんすうderivativeの定義ていぎと差商さしょうdifference quotientの基本演習きほんえんしゅう

1問題もんだい 1

定義ていぎから $$f\left(x\right)=x^3$$f(x)=x^3 の導関数どうかんすうderivativeを求もとめよ。

1.1解答例かいとうれい

$$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}、$$f\left(x\right)=x^3$$f(x)=x^3 とする。
$$h\ne 0$$h\ne0 の範囲はんいで

である。したがって $$h\to 0$$h\to0 として $$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$$f'(x)=3x^2 を得える。

1.2解説かいせつ

$$h$$h で割わるため、先さきに $$h\ne 0$$h\ne0 で整理せいりし、最後さいごに極限きょくげんlimitを取とる。

1.3よくある誤あやまり

$$h=0$$h=0 を途中とちゅうで代入だいにゅうする誤あやまりがある。

2問題もんだい 2

$$f\left(x\right)=1/x$$f(x)=1/x について、定義ていぎから $$f^{\prime }\left(a\right)$$f'(a) を求もとめよ。ただし $$a\ne 0$$a\ne0 とする。

2.1解答例かいとうれい

$$f:\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\to \mathbb{R}$$f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R} とする。$$a\ne 0$$a\ne0、$$h\ne 0$$h\ne0、$$a+h\ne 0$$a+h\ne0 の範囲はんいで

である。したがって

である。

2.2解説かいせつ

文字式もじしきの分母ぶんぼが現あらわれるため、$$a\ne 0$$a\ne0、$$h\ne 0$$h\ne0、$$a+h\ne 0$$a+h\ne0 の3条件じょうけんを確認かくにんする。

2.3よくある誤あやまり

$$1/(a+h)-1/a$$1/(a+h)-1/a の通分つうぶんで符号ふごうを誤あやまる場合ばあいが多おおい。

3問題もんだい 3

$$f\left(x\right)=\left|x\right|$$f(x)=|x| が $$0$$0 で微分可能びぶんかのうdifferentiableでないことを示しめせ。

3.1解答例かいとうれい

差商さしょうは

である。$$h>0$$h>0 では $$1$$1、$$h<0$$h<0 では $$-1$$-1 であるため、

である。左右さゆうの極限きょくげんが一致いっちしないため、$$f^{\prime }\left(0\right)$$f'(0) は存在そんざいせず、$$f$$f は $$0$$0 で微分可能びぶんかのうではない。

3.2解説かいせつ

連続れんぞくcontinuousでも微分可能びぶんかのうdifferentiableとは限かぎらない。定義域ていぎいきの内点ないてんで微分可能びぶんかのうであるためには、有限ゆうげんな両側差商極限りょうがわさしょうきょくげんが存在そんざいする必要ひつようがある。

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Basic Exercises on the Derivative Function and Difference Quotients

1Problem 1

Use the definition to derive the derivative function of $$f\left(x\right)=x^3$$f(x)=x^3.

1.1Sample Solution

Let $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} be defined by $$f\left(x\right)=x^3$$f(x)=x^3. For $$h\ne 0$$h\ne0,

Taking the limit as $$h\to 0$$h\to0 gives $$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2$$f'(x)=3x^2.

1.2Explanation

Because the expression divides by $$h$$h, it must first be simplified under the condition $$h\ne 0$$h\ne0. Only then is the limit taken.

1.3Common Error

Substituting $$h=0$$h=0 before cancellation makes the difference quotient undefined.

2Problem 2

For $$f\left(x\right)=1/x$$f(x)=1/x, derive $$f^{\prime }\left(a\right)$$f'(a) from the definition, assuming $$a\ne 0$$a\ne0.

2.1Sample Solution

Let $$f:\mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}\to \mathbb{R}$$f:\mathbb{R}\setminus\{0\}\to\mathbb{R}. For $$a\ne 0$$a\ne0, $$h\ne 0$$h\ne0, and $$a+h\ne 0$$a+h\ne0,

Therefore,

2.2Explanation

The denominators require all three conditions: $$a\ne 0$$a\ne0, $$h\ne 0$$h\ne0, and $$a+h\ne 0$$a+h\ne0.

2.3Common Error

A frequent error is to lose the negative sign when combining $$1/(a+h)-1/a$$1/(a+h)-1/a over a common denominator.

3Problem 3

Prove that $$f\left(x\right)=\left|x\right|$$f(x)=|x| is not differentiable at $$0$$0.

3.1Sample Solution

The difference quotient is

It equals $$1$$1 for $$h>0$$h>0 and $$-1$$-1 for $$h<0$$h<0. Hence,

Because the one-sided limits disagree, $$f^{\prime }\left(0\right)$$f'(0) does not exist, and $$f$$f is not differentiable at $$0$$0.

3.2Explanation

Continuity does not imply differentiability. A finite two-sided difference-quotient limit is required at an interior point.

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