極限きょくげんと連続れんぞく

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、極限きょくげんは対象点たいしょうてんの周辺しゅうへんにおける関数値かんすうちの収束しゅうそくを表あらわし、連続性れんぞくせいはその極限きょくげんと対象点たいしょうてんの関数値かんすうちとの一致いっちを表あらわすことを説明せつめいする。

直感ちょっかんだけで「接近せっきん」を扱あつかうと曖昧性あいまいせいが残のこる。19 世紀せいきにコーシーとワイエルシュトラスが $\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta 論法ろんぽうを整備せいびしたことで、至いたるところで微分不可能びぶんふかのうな連続関数れんぞくかんすうなど、幾何学的直観きかがくてきちょっかんに反はんする例れいも厳密げんみつに解析かいせきできるようになった。

2用語ようごと定義ていぎ

2.1極限きょくげんLimit

定義域ていぎいきを $$D\subseteq \mathbb{R}$$D\subseteq\mathbb{R} とする関数かんすう $$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R} と、$$D$$D の集積点しゅうせきてん $$a$$a を考かんがえる。

とは、任意にんいの $\epsilon >0$\varepsilon > 0 に対たいしてある $\delta >0$\delta > 0 が存在そんざいして

となることである（$\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta 論法ろんぽう）。

記号きごうの意味いみ：$\epsilon$\varepsilon（epsilon）は出力しゅつりょくの許容誤差きょようごさ、$\delta$\delta（delta）は入力にゅうりょくの調整量ちょうせいりょう。「どんなに厳きびしい精度せいどを要求ようきゅうされても（$\epsilon >0$\varepsilon > 0）、入力にゅうりょくを十分じゅうぶん絞しぼれば（$\delta$\delta を小ちいさく取とれば）出力しゅつりょくの誤差ごさを $\epsilon$\varepsilon 未満みまんに抑おさえられる」という主張しゅちょうである。

2.2連続れんぞくContinuity

$f$f が $a$a で連続れんぞくContinuousであるとは以下いかの 3 条件じょうけんが成立せいりつすることである：

1. $f\left(a\right)$f(a) が定義ていぎされている
2. $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$\lim_{x \to a} f(x) が存在そんざいする
3. $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

3 条件じょうけんを分離ぶんりして書かくのは、違反いはんするポイントが不連続ふれんぞくの種類しゅるいを決きめるからである。

2.3片側極限かたがわきょくげんOne-sided limit

は、$x$x を $a$a より小ちいさい側がわから $a$a へ近ちかづけたときに $f\left(x\right)$f(x) が $L$L へ収束しゅうそくすることを表あらわす。同様どうように

は、$x$x を $a$a より大おおきい側がわから近ちかづける場合ばあいである。

$$a$$a が $$D$$D の左右双方さゆうそうほうからの集積点しゅうせきてんである場合ばあい、両側りょうがわ極限きょくげん $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$\lim_{x\to a}f(x) が存在そんざいすることと、左極限さきょくげん・右極限うきょくげんが存在そんざいして一致いっちすることは同値どうちである。定義域ていぎいきが区間くかんで $$a$$a がその端点たんてんである場合ばあいは、定義域内ていぎいきないから接近可能せっきんかのうな側がわの片側極限かたがわきょくげんを $$D$$D に相対的そうたいてきな極限きょくげんとして扱あつかう。

3方針ほうしん

極限きょくげんの計算けいさんでは「直接代入ちょくせつだいにゅう」→「因数分解いんすうぶんかいで約分やくぶん」→「はさみうち」の順じゅんに試こころみる。連続性れんぞくせいの確認かくにんでは 3 条件じょうけんを別々べつべつに確認かくにんする。

4厳密げんみつな説明せつめい

4.11. $\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta 論法ろんぽうの最小例さいしょうれい

を $\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta 論法ろんぽうで証明しょうめいする。任意にんいの $$\epsilon >0$$\varepsilon>0 を取とる。目標もくひょうは

を実現じつげんする $\delta$\delta を構成こうせいすることである。左辺さへんを整理せいりすると

したがって、$|x-2|<\epsilon /3$|x-2|<\varepsilon/3 なら十分じゅうぶんである。したがって

と設定せっていすれば、

となる。この計算けいさんでは、$\delta$\delta を推測すいそくするのではなく、目標もくひょうの不等式ふとうしきから逆算ぎゃくさんして十分条件じゅうぶんじょうけんを構成こうせいすることが重要じゅうようである。

4.22. 極限きょくげんの計算けいさん技法ぎほう

直接代入ちょくせつだいにゅう：$f$f が $a$a で連続れんぞくなら $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)。多項式たこうしき・有理関数ゆうりかんすう（分母ぶんも≠0）で直接ちょくせつ使つかえる。

因数分解いんすうぶんかい法ほう：$\underset{x\to 1}{\lim }\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}{x}^2-1x-1$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}。分子ぶんしを因数分解いんすうぶんかいすると $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}(x-1)(x+1)x-1=x+1$\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1（$x\ne 1$x \neq 1）、極限きょくげんは $\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)=2$\lim_{x \to 1}(x+1) = 2。

はさみうちの定理ていり（Squeeze theorem）：$g\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}f\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}h\left(x\right)$g(x) \le f(x) \le h(x) かつ $\underset{x\to a}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to a}{\lim }h\left(x\right)=L$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L なら $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=L$\lim_{x \to a} f(x) = L。

例れい：$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}1x$\lim_{x \to 0} x \sin\dfrac{1}{x}。$-\left|x\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}x\sin \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}1x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\left|x\right|$-|x| \le x \sin\dfrac{1}{x} \le |x| かつ $\underset{x\to 0}{\lim }(\pm |x\left|\right)=0$\lim_{x \to 0} (\pm|x|) = 0 より、極限きょくげんは 0。

基本極限きほんきょくげん（角度かくどはラジアン）：

4.33. 本講義ほんこうぎで扱あつかう不連続ふれんぞくの分類ぶんるい

以下いかでは有限点ゆうげんてんにおける不連続ふれんぞくのうち、無限極限むげんきょくげんを伴ともなう場合ばあいを範囲外はんいがいとする。

4.44. 連続関数れんぞくかんすうの重要じゅうよう性質せいしつ

中間値定理ちゅうかんちていり（Intermediate Value Theorem）：$f$f が $[a,b]$[a, b] で連続れんぞくなら、$f\left(a\right)$f(a) と $f\left(b\right)$f(b) の間あいだの任意にんいの値あたい $c$c に対たいして、$f\left(\xi \right)=c$f(\xi) = c となる $\xi \in [a,b]$\xi \in [a, b] が存在そんざいする。$c$c が $f\left(a\right)$f(a) と $f\left(b\right)$f(b) の狭義きょうぎの中間値ちゅうかんちなら、$\xi$\xi は $(a,b)$(a,b) に属ぞくする。

意味いみ：連続れんぞくな関数かんすうは値あたいを「飛とばす」ことができない。$f\left(0\right)<0$f(0) < 0 かつ $f\left(1\right)>0$f(1) > 0 なら零点ぜろてんが $[0,1]$[0,1] に存在そんざいする（二分法にぶんほうの理論的りろんてき根拠こんきょ）。

最大値さいだいち・最小値さいしょうち定理ていり：閉区間へいくかん $[a,b]$[a,b] で連続れんぞくな $f$f は最大値さいだいちと最小値さいしょうちを必かならず達成たっせいする（コンパクト性せいの帰結きけつ）。

4.55. なぜ $\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta が必要ひつようか

「近ちかづく」を言葉ことばだけで扱あつかうと循環じゅんかんする。例れい：「$f\left(x\right)$f(x) は $x\to a$x \to a のとき $L$L に近ちかづく」= 「$x$x が $a$a に近ちかいとき $f\left(x\right)$f(x) は $L$L に近ちかい」—「近ちかい」が循環じゅんかん。

$\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta 論法ろんぽうは「近ちかい」を定量化ていりょうかする。すなわち、$|x-a|<\delta$|x-a| < \delta から $\left|f\right(x)-L|<\epsilon$|f(x)-L| < \varepsilon を導みちびくことで、接近せっきんの制御せいぎょを不等式ふとうしきへ帰着きちゃくさせる。

5判定はんてい基準きじゅん

• 分母ぶんもが 0 になる → 因数分解いんすうぶんかいで約分やくぶんできるか確認かくにん
• $0$0・有界量ゆうかいりょうの形かたち → はさみうち
• $f\left(a\right)$f(a) が定義ていぎされていない → 極限きょくげんと連続性れんぞくせいを別べつに確認かくにん
• 零点ぜろてんの存在そんざいを示しめしたい → 中間値定理ちゅうかんちていり

6どこまで成立せいりつするか

$\epsilon$\varepsilon-$\delta$\delta による極限きょくげんの定義自体ていぎじたいは実数じっすうの完備性かんびせいを前提ぜんていとしないが、中間値定理ちゅうかんちていりなどの存在定理そんざいていりの証明しょうめいでは完備性かんびせいを利用りようする。有理数ゆうりすうの範囲はんいでは成立せいりつしない定理ていりがある（$x^2-2$x^2-2 の零点ぜろてんの存在そんざいなど）。多変数たへんすうへの拡張かくちょうでは、対象点たいしょうてんへのすべての接近せっきんを一様いちように制御せいぎょする必要ひつようがある。

7最終形さいしゅうけい

8要約ようやく

極限きょくげんは対象点たいしょうてんの周辺しゅうへんにおける収束しゅうそくを不等式ふとうしきで定式化ていしきかし、連続性れんぞくせいはその極限きょくげんと関数値かんすうちの一致いっちを要求ようきゅうする。区間上くかんじょうの連続関数れんぞくかんすうが中間値ちゅうかんちを欠落けつらくさせないことは、中間値定理ちゅうかんちていりによって保証ほしょうされる。

9演習えんしゅうリンク

10関連かんれんリンク

Limits and Continuity

1Introduction

This lecture explains that a limit describes the convergence of function values near a target point, whereas continuity requires that this limit agree with the function value at the target point.

An intuitive description of “approaching” is insufficient for rigorous analysis. The epsilon-delta formulation developed in the nineteenth century made it possible to analyze functions whose behavior contradicts geometric intuition, including continuous functions that are nowhere differentiable.

2Terms and Definitions

2.1Limit

Let $$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R}, where $$D\subseteq \mathbb{R}$$D\subseteq\mathbb{R}, and let $$a$$a be an accumulation point of $$D$$D. The statement

means that, for every $$\epsilon >0$$\varepsilon>0, there is some $$\delta >0$$\delta>0 such that

Here $$\epsilon$$\varepsilon is the permitted output error and $$\delta$$\delta controls the input neighborhood. No matter how small an output tolerance is prescribed, a sufficiently small punctured neighborhood of $$a$$a forces the output error below that tolerance.

2.2Continuity

The function $$f$$f is continuous at $$a$$a precisely when the following three conditions hold.

1. $$f\left(a\right)$$f(a) is defined.
2. $$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$$\lim_{x\to a}f(x) exists.
3. $$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Keeping these conditions separate identifies the type of discontinuity when continuity fails.

2.3One-Sided Limits

The notation $$\underset{x\to a-}{\lim }f\left(x\right)=L$$\lim_{x\to a-}f(x)=L describes convergence as $$x$$x approaches $$a$$a through values smaller than $$a$$a. Similarly, $$\underset{x\to a+}{\lim }f\left(x\right)=L$$\lim_{x\to a+}f(x)=L describes approach through values larger than $$a$$a.

If $$a$$a is an accumulation point of $$D$$D from both the left and the right, a two-sided limit exists exactly when both one-sided limits exist and are equal. If the domain is an interval and $$a$$a is an endpoint, the relative limit on $$D$$D is the corresponding one-sided limit through points of the domain.

3Strategy

For elementary limit calculations, attempt direct substitution first, then algebraic cancellation after factorization, and finally the squeeze theorem when appropriate. To test continuity, verify the three defining conditions separately.

4Rigorous Explanation

4.11. A Minimal Epsilon-Delta Proof

To prove $$\underset{x\to 2}{\lim }(3x-1)=5$$\lim_{x\to2}(3x-1)=5, fix an arbitrary $$\epsilon >0$$\varepsilon>0 and construct $$\delta$$\delta so that $$|3x-1-5|<\epsilon$$|3x-1-5|<\varepsilon. Since $$|3x-1-5|=3|x-2|$$|3x-1-5|=3|x-2|, it is sufficient to require $$|x-2|<\epsilon /3$$|x-2|<\varepsilon/3. Set $$\delta =\epsilon /3$$\delta=\varepsilon/3. Then

The essential step is to derive a sufficient condition backward from the target inequality rather than guess $$\delta$$\delta.

4.22. Limit Calculation Techniques

Direct substitution: If $$f$$f is continuous at $$a$$a, then $$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a). This applies to polynomials and to rational functions whose denominators are nonzero at $$a$$a.

Factorization: For $$\underset{x\to 1}{\lim }(x^2-1)/(x-1)$$\lim_{x\to1}(x^2-1)/(x-1), factor and cancel for $$x\ne 1$$x\ne1 to obtain $$x+1$$x+1; the limit is therefore $$2$$2.

Squeeze theorem: If $$g\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}f\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}h\left(x\right)$$g(x)\le f(x)\le h(x) near $$a$$a and both outer functions tend to $$L$$L, then $$f\left(x\right)$$f(x) also tends to $$L$$L. For example, $$-\left|x\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}x\sin (1/x)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\left|x\right|$$-|x|\le x\sin(1/x)\le|x| implies $$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (1/x)=0$$\lim_{x\to0}x\sin(1/x)=0.

With angles measured in radians, the following basic limit holds:

4.33. Discontinuities Covered in This Lecture

The following classification concerns discontinuities at finite points, excluding those involving infinite limits.

4.44. Important Properties of Continuous Functions

Intermediate value theorem: If $$f$$f is continuous on $$[a,b]$$[a,b], then for every $$c$$c between $$f\left(a\right)$$f(a) and $$f\left(b\right)$$f(b) there is some $$\xi \in [a,b]$$\xi\in[a,b] with $$f\left(\xi \right)=c$$f(\xi)=c. If $$c$$c lies strictly between the endpoint values, then $$\xi \in (a,b)$$\xi\in(a,b).

Thus, a continuous function on an interval cannot omit an intermediate value. In particular, if $$f\left(0\right)<0<f\left(1\right)$$f(0)<0<f(1), a zero exists in $$[0,1]$$[0,1]; this result supports the bisection method.

Extreme value theorem: A continuous function on a closed bounded interval $$[a,b]$$[a,b] attains both its maximum and minimum, as a consequence of compactness.

4.55. Why Epsilon-Delta Is Necessary

Defining “approaches” only by saying that $$f\left(x\right)$$f(x) is close to $$L$$L whenever $$x$$x is close to $$a$$a is circular because “close” remains undefined. Epsilon-delta inequalities quantify both tolerances and reduce the assertion to inequalities that can be manipulated mathematically.

5Decision Criteria

• If direct substitution gives a zero denominator, test whether factorization permits cancellation.
• For a product of a quantity tending to zero and a bounded quantity, consider the squeeze theorem.
• If $$f\left(a\right)$$f(a) is undefined, distinguish existence of the limit from continuity.
• To establish the existence of a zero, consider the intermediate value theorem.

6Scope of the Results

The epsilon-delta definition of a limit does not itself require completeness of the real numbers. Existence theorems such as the intermediate value theorem do use completeness in their proofs, and analogous statements can fail over the rational numbers. Multivariable limits require control over all approaches to the target point, not merely agreement along a selected collection of directions.

7Final Form

8Summary

A limit formalizes convergence near a target point through inequalities, while continuity requires agreement between that limit and the function value. The intermediate value theorem guarantees that a continuous function on an interval omits no intermediate value.

9Exercises

10Related Material