微積分びせきぶんポータル

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、微積分びせきぶんを「変化へんかを局所的きょくしょてきに測定そくていする理論りろん」と「小ちいさな量りょうを累積るいせきする理論りろん」として整理せいりする。

微分びぶんは瞬間的しゅんかんてきな変化率へんかりつを与あたえ、積分せきぶんは連続的れんぞくてきに分布ぶんぷする量りょうを総量そうりょうへ変換へんかんする。極限きょくげんはその二ふたつを定義ていぎする基盤きばんであり、微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりは微分びぶんと積分せきぶんが互たがいに逆向ぎゃくむきの操作そうさであることを保証ほしょうする。

2このポータルの責務せきむ

このポータルは、微積分びせきぶんの中核ちゅうかくに集中しゅうちゅうする。主おもな対象たいしょうは、一変数いちへんすう関数かんすうの極限きょくげん、連続性れんぞくせい、導関数どうかんすう、定積分ていせきぶん、不定積分ふていせきぶん、基本定理きほんていり、およびそれらの初歩的しょほてき応用おうようである。

微分方程式びぶんほうていしき、多変数微積分たへんすうびせきぶん、ベクトル解析かいせきは、このポータルから接続せつぞくする独立どくりつトラックである。したがって、このポータルではそれらを詳細しょうさいに展開てんかいしない。微分方程式びぶんほうていしきの存在そんざいと一意性いちいせい、解法診断かいほうしんだん、数値解法すうちかいほうは微分方程式びぶんほうていしきトラックで扱あつかう。偏微分へんびぶん、重積分じゅうせきぶん、Jacobianじゃこびあんの体系的たいけいてき理論りろんは多変数微積分たへんすうびせきぶんトラックで扱あつかう。線積分せんせきぶん、面積分めんせきぶん、Greenぐりーん・Gaussがうす・Stokesすとーくすの定理ていりはベクトル解析かいせきトラックで扱あつかう。

この責務分割せきむぶんかつにより、微積分びせきぶんの基礎きそを圧縮あっしゅくしすぎず、発展分野はってんぶんやを入口いりぐちだけで済すませない構成こうせいにする。

3学習がくしゅう順序じゅんじょ

最初さいしょに、関数かんすうの定義域ていぎいきとグラフの解釈かいしゃくを確認かくにんする。関数値かんすうちと点てんの周辺しゅうへんにおける挙動きょどうを区別くべつすることが、極限きょくげんを定義ていぎする前提ぜんていとなる。

次つぎに極限きょくげんと連続性れんぞくせいを確認かくにんする。微分びぶんも積分せきぶんも、有限ゆうげんな計算けいさんから極限きょくげんへ移行いこうすることで定義ていぎされるためである。

次つぎに、微分法びぶんほうで局所変化きょくしょへんかを扱あつかう。接線せっせん、増減ぞうげん、近似きんじ、最適化さいてきかはここに属ぞくする。

次つぎに、差商さしょうの極限きょくげんから各点かくてんの微分係数びぶんけいすうを定義ていぎし、それらを導関数どうかんすうとして構成こうせいする。$$h\ne 0$$h\ne0 かつ $$a+h$$a+h が定義域ていぎいきに属ぞくする範囲はんいで差商さしょうを計算けいさんし、その後あとに $$h\to 0$$h\to0 の極限きょくげんを取とる順序じゅんじょが重要じゅうようである。

続つづいて、微分可能性びぶんかのうせいを局所線型近似きょくしょせんけいきんじとして解釈かいしゃくする。増分ぞうぶんに対たいする線型部分せんけいぶぶんと、定数項ていすうこうを含ふくむアフィン近似きんじを区別くべつし、差商さしょうによる定義ていぎと、増分ぞうぶん $$\left|h\right|$$|h| に比ひして無視むしできる剰余じょうよを表あらわす $$o\left(h\right)$$o(h) による特徴付とくちょうづけを接続せつぞくする。

微分公式びぶんこうしきと計算法けいさんほうでは、積せきの微分びぶん、商しょうの微分びぶん、連鎖律れんさりつ、逆関数ぎゃくかんすうの微分びぶん、対数微分たいすうびぶんを導関数どうかんすうの定義ていぎから導出どうしゅつする。関数かんすうの外側そとがわの構造こうぞうを判定はんていして公式こうしきを選択せんたくするための中核ちゅうかくページである。

積分法せきぶんほうでは、小区間しょうくかんごとの寄与きよを累積るいせきして総量そうりょうを得える。面積めんせきは代表例だいひょうれいだが、距離きょり、仕事しごと、質量しつりょう、確率かくりつも同おなじ原理げんりで記述きじゅつされる。

次つぎに、リーマン和わによる定積分ていせきぶんの定義ていぎと、原始関数げんしかんすう・不定積分ふていせきぶんの相違そういを確認かくにんする。

微分積分学びぶんせきぶんがくの基本定理きほんていりは、累積量るいせきりょうを微分びぶんすると密度みつどが回復かいふくし、原始関数げんしかんすうの差さで定積分ていせきぶんを計算けいさんできることを述のべる。微分びぶんと積分せきぶんを接続せつぞくする中心定理ちゅうしんていりである。

積分公式せきぶんこうしきと計算法けいさんほうでは、置換積分ちかんせきぶんを連鎖律れんさりつの逆向ぎゃくむきとして、部分積分ぶぶんせきぶんを積せきの微分びぶんの逆向ぎゃくむきとして導出どうしゅつする。原始関数げんしかんすうの探索たんさくを公式暗記こうしきあんきに閉とじず、被積分関数ひせきぶんかんすうの構造こうぞうから方針ほうしんを選択せんたくするための講義こうぎである。

応用おうようページでは、微分びぶんを使用しようすべき局面きょくめんと、積分せきぶんを使用しようすべき局面きょくめんを分類ぶんるいする。公式こうしきの選択せんたくではなく、問題もんだいの構造こうぞうを判定はんていするための整理せいりである。

4発展はってんトラックとの接続せつぞく

偏微分へんびぶんと重積分じゅうせきぶんの講義こうぎは、一変数いちへんすう微積分びせきぶんから多変数たへんすうの理論りろんへ移行いこうするための橋渡はしわたしである。詳細しょうさいな連鎖律れんさりつ、Jacobianじゃこびあん、変数変換へんすうへんかん、極値判定きょくちはんていは多変数微積分たへんすうびせきぶんで扱あつかう。

微分方程式びぶんほうていしきの入口いりぐちは、導関数どうかんすうを含ふくむ条件じょうけんから未知関数みちかんすうを決定けっていする問題もんだいを導入どうにゅうする。一階いっかいや二階にかいの分類ぶんるいは接続用せつぞくようの基礎きそとして残のこし、本格的ほんかくてきな存在一意性そんざいいちいせい、方向場ほうこうば、数値解法すうちかいほう、連立系れんりつけいは独立どくりつトラックで扱あつかう。

場ばの変化へんかや流束りゅうそくを扱あつかう段階だんかいでは、ベクトル解析かいせきへ進すすむ。微積分びせきぶんの積分せきぶんが区間くかんにおける累積るいせきを扱あつかうのに対たいし、ベクトル解析かいせきでは曲線きょくせん、曲面きょくめん、領域りょういきにおける累積るいせきを扱あつかう。

5最終形さいしゅうけい

微積分びせきぶんの基本きほんは、次つぎの対応たいおうで整理せいりできる。

したがって、微積分びせきぶんポータルでは基礎きその役割やくわりを明確めいかくにし、発展はってんトラックではそれぞれの理論りろんを十分じゅうぶんに展開てんかいする。この分担ぶんたんを保持ほじすることで、入口いりぐちと専門内容せんもんないようの混同こんどうを避さけられる。

6変かわるものと保存ほぞんされるもの

微積分びせきぶんcalculusでは、操作そうさを公式こうしきとして暗記あんきするより、その操作そうさが何なにを変かえ、何なにを保存ほぞんするかを確認かくにんすると理解りかいしやすい。

この表ひょうは後あとで詳くわしく扱あつかう性質せいしつを先取さきどりしている。どの公式こうしきも、目的もくてきは式しきを変形へんけいすること自体じたいではなく、見みたい量りょうを読よみやすい形かたちへ移うつすことである。

7演習えんしゅうリンク