極限きょくげんlimitと連続れんぞくcontinuity-基本演習きほんえんしゅう

date2026-07-15document_iddoc_cc0bc5393a1876c85f9cbea7f6634523description極限・片側極限・連続性・ε-δ 論法・中間値定理を、条件確認と境界例に注意して確認する基本演習である。prerequisites極限と連続type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathcalculusexerciselimitcontinuity

data/lecture/math/calculus/functions-domains-and-graphs.lecture.n.md data/lecture/math/calculus/limits-and-continuity.lecture.n.md

1演習方針えんしゅうほうしん

極限きょくげんlimitでは、値あたいそのものではなく、入力にゅうりょくが近ちかづくときの出力しゅつりょくの近ちかづき方かたを確認かくにんする。連続れんぞくcontinuityでは、極限きょくげんlimitが存在そんざいし、その値あたいが関数値かんすうちと一致いっちするかを確認かくにんする。

2問題もんだい 1

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

を求もとめよ。

2.1解答例かいとうれい

○

$x \neq 1$ の範囲はんいで

\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = x + 1

である。ここでは $x - 1$ で割わっているため、 $x \neq 1$ を確認かくにんする。極限きょくげんでは $x = 1$ そのものを代入だいにゅうしていないので、この約分やくぶんが使用しようできる。したがって

\lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2

である。

2.2解説かいせつ

この問題もんだいは、極限きょくげんlimitでは穴あなの位置いちの値あたいではなく、周辺しゅうへんの振舞ふるまいを確認かくにんすることを扱あつかっている。約分やくぶんは $x = 1$ では許ゆるされないが、 $x \to 1$ の過程かていでは $x \neq 1$ として扱あつかう。

2.3よくある誤あやまり

$0 / 0$ だから極限きょくげんが存在そんざいしない、と判断はんだんする誤あやまりがある。 $0 / 0$ は未定形みていけいであり、変形へんけいして周辺しゅうへんの振舞ふるまいを確認かくにんする必要ひつようがある。

3問題もんだい 2

f (x) = \frac{| x |}{x} (x \neq 0)

について、 $x \to 0$ の片側極限かたがわきょくげんone-sided limitを求もとめ、 $\lim_{x \to 0} f (x)$ が存在そんざいするかを判定はんていせよ。

3.1解答例かいとうれい

○

$x > 0$ では $| x | = x$ なので

f (x) = 1

である。したがって

\lim_{x \to 0 +} f (x) = 1

である。一方いっぽう、 $x < 0$ では $| x | = - x$ なので

f (x) = - 1

である。したがって

\lim_{x \to 0 -} f (x) = - 1

である。右極限みぎきょくげんと左極限ひだりきょくげんが一致いっちしないため、 $\lim_{x \to 0} f (x)$ は存在そんざいしない。

3.2解説かいせつ

片側極限かたがわきょくげんone-sided limitは、左右さゆうから近ちかづく経路けいろを分離ぶんりして確認かくにんする道具どうぐである。極限きょくげんlimitが存在そんざいするには、両側りょうがわの片側極限かたがわきょくげんone-sided limitが一致いっちする必要ひつようがある。

3.3よくある誤あやまり

$x = 0$ が定義域ていぎいきに含ふくまれないことだけで極限きょくげんが存在そんざいしない、と判断はんだんしてはならない。関数値かんすうちが未定義みていぎでも、左右さゆうからの近ちかづき方かたが一致いっちすれば極限きょくげんlimitは存在そんざいしうる。

4問題もんだい 3

f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-a^2}{x-a} & (x\ne a),\\ 2a & (x=a) \end{cases}f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-a^2}{x-a} & (x\ne a),\\ 2a & (x=a) \end{cases}

が $x = a$ で連続れんぞくcontinuousであることを示しめせ。

4.1解答例かいとうれい

○

$x \neq a$ の範囲はんいで

\frac{x^{2} - a^{2}}{x - a} = \frac{(x - a) (x + a)}{x - a} = x + a

である。ここでは $x - a$ で割わるため、 $x \neq a$ を確認かくにんする。したがって

\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} (x + a) = 2 a

である。一方いっぽう、定義ていぎより $f (a) = 2 a$ である。よって

\lim_{x \to a} f (x) = f (a)

となり、 $f$ は $x = a$ で連続れんぞくcontinuousである。

4.2解説かいせつ

連続れんぞくcontinuityは、近ちかづいた先さきの極限きょくげんlimitと、その点てんでの関数値かんすうちが一致いっちするという性質せいしつである。この問題もんだいでは、穴あなを適切てきせつな値あたいで埋うめると連続れんぞくcontinuousになる。

4.3よくある誤あやまり

$x = a$ にそのまま代入だいにゅうして $0 / 0$ として終了しゅうりょうする誤あやまりがある。連続性れんぞくせいcontinuityでは、関数値かんすうちと極限きょくげんlimitを別々べつべつに確認かくにんしてから比較ひかくする。

5問題もんだい 4

$f (x) = 3 x + 2$ について、 $\lim_{x \to 1} f (x) = 5$ を $ε$ - $δ$ 論法ろんぽうで示しめせ。

5.1解答例かいとうれい

○

任意にんいの $ε > 0$ を取とる。 $0 < | x - 1 | < δ$ とすると、

| f (x) - 5 | = | 3 x + 2 - 5 | = 3 | x - 1 |

である。 $3 | x - 1 | < ε$ としたいので、 $δ = ε / 3$ と選えらべばよい。このとき

0 < | x - 1 | < δ ⟹ | f (x) - 5 | < 3 δ = ε

である。よって $\lim_{x \to 1} (3 x + 2) = 5$ である。

5.2解説かいせつ

$ε$ は出力側しゅつりょくがわの許容誤差きょようごさであり、 $δ$ は入力側にゅうりょくがわの許容幅きょようはばである。この問題もんだいでは、出力側しゅつりょくがわの誤差ごさが入力側にゅうりょくがわの誤差ごさの 3 倍ばいになるため、 $δ = ε / 3$ と設定せっていする。

5.3よくある誤あやまり

$δ$ を先さきに固定こていしてから $ε$ を決きめてしまう誤あやまりがある。極限きょくげんlimitの定義ていぎでは、任意にんいの $ε > 0$ に対たいして、それに応おうじる $δ > 0$ を選えらぶ。

6問題もんだい 5

$f (x) = x^{3} - x - 1$ について、区間くかん $[1, 2]$ に実数解じっすうかいが存在そんざいすることを中間値定理ちゅうかんちていりintermediate value theoremで示しめせ。

6.1解答例かいとうれい

○

$f$ は多項式たこうしきなので $[1, 2]$ で連続れんぞくcontinuousである。また、

f (1) = 1 - 1 - 1 = - 1, f (2) = 8 - 2 - 1 = 5

である。 $0$ は $- 1$ と $5$ の間あいだにある。したがって中間値定理ちゅうかんちていりintermediate value theoremより、ある $c \in (1, 2)$ が存在そんざいして

f (c) = 0

を満みたす。

6.2解説かいせつ

中間値定理ちゅうかんちていりintermediate value theoremを使用しようするには、区間くかんでの連続性れんぞくせいcontinuityと、端点たんてんで値あたいが目標値もくひょうちを挟はさむことを確認かくにんする。この問題もんだいは、解かいを直接ちょくせつ計算けいさんせずに存在そんざいだけを保証ほしょうする方法ほうほうを確認かくにんしている。

6.3よくある誤あやまり

端点たんてんの符号ふごうだけを確認かくにんし、連続性れんぞくせいcontinuityを確認かくにんしない誤あやまりがある。中間値定理ちゅうかんちていりintermediate value theoremは連続れんぞくcontinuousな関数かんすうに対たいする定理ていりである。