微分法びぶんほうdifferential calculusの基本きほん

date2026-07-15document_iddoc_16357f8f15b651428286836c48d4b48fdescription微分法を、差商、導関数、局所線型近似、微分公式へ進むための全体像として整理する講義である。prerequisites極限と連続 / 関数・定義域・グラフの解釈type講義content_typelecturestatusactive

mathcalculusderivativelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、差商さしょうdifference quotientによる変化率へんかりつの定義ていぎ、局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationとしての意味いみ、微分公式びぶんこうしきdifferentiation ruleによる計算けいさんという順序じゅんじょで微分びぶんdifferentiationを説明せつめいする。

2学習がくしゅうの順序じゅんじょ

差商さしょうの極限きょくげんが存在そんざいする各点かくてんで微分係数びぶんけいすうderivativeを定義ていぎし、これらの点てんの集合しゅうごうを定義域ていぎいきとする導関数どうかんすうderivative functionを構成こうせいする。
内点ないてんにおける微分可能性びぶんかのうせいdifferentiabilityを、左右さゆうの差商さしょうの極限きょくげんが一致いっちすることと、近似誤差きんじごさが $r (h) = o (h)$ 、すなわち $r (h) / h \to 0$ を満みたすことという 2 つの同値どうちな観点かんてんから特徴付とくちょうづける。
局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationにより、曲線きょくせんを近ちかくで直線ちょくせんへ置おき換かえる。
微分公式びぶんこうしきdifferentiation ruleを、和わ、積せき、商しょう、合成関数ごうせいかんすうcomposite functionの構造こうぞうに応おうじて選択せんたくする。

3変化へんかするものと維持いじされる解釈かいしゃく

観点かんてん	変化へんかするもの	維持いじされる解釈かいしゃく
差商さしょうdifference quotient	極限きょくげんが存在そんざいするとき、2 点てんの平均変化率へいきんへんかりつから 1 点てんの瞬間変化率しゅんかんへんかりつへ移行いこうする	微分可能びぶんかのうな点てんでは、差商さしょうの極限きょくげんが接線せっせんの傾かたむきを与あたえるという幾何学的対応きかがくてきたいおう
局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximation	曲線きょくせんを直線ちょくせんで近似きんじする	基準点きじゅんてんの値あたいと傾かたむき
微分公式びぶんこうしきdifferentiation rule	関数式かんすうしきを和わ・積せき・商しょう・合成ごうせいの構造こうぞうに分解ぶんかいして処理しょりする	導関数どうかんすうderivativeの定義ていぎに基もとづく意味いみ

5演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/calculus/derivative-definition-and-difference-quotients.exercise.n.md data/exercise/math/calculus/local-linear-approximation-and-differentiability.exercise.n.md data/exercise/math/calculus/differentiation-rules-and-structure-recognition.exercise.n.md

Foundations of Differential Calculus

1Introduction

This lecture presents differentiation in three stages: defining rates of change through difference quotients, interpreting differentiation as local linear approximation, and computing derivatives through differentiation rules.

2Learning Sequence

At each point where the difference-quotient limit exists, define the derivative at that point, and form the derivative function whose domain is the set of those points.
At an interior point, characterize differentiability from two equivalent perspectives: equality of the left and right limits of the difference quotient, and a local linear approximation whose remainder satisfies $r (h) = o (h)$ , meaning $r (h) / h \to 0$ .
Use local linear approximation to replace a curve near a reference point by a line.
Select differentiation rules according to the additive, multiplicative, quotient, or composite structure of the function.

3Quantities That Change and Interpretations That Are Retained

Perspective	Change	Interpretation retained
Difference quotient	When the limit exists, an average rate of change between two points tends to an instantaneous rate at one point	At a differentiability point, the limit of the difference quotient gives the slope of the tangent line
Local linear approximation	A curve is approximated by a line	The value and slope at the reference point
Differentiation rules	A function expression is processed by decomposing its additive, product, quotient, and composite structure	The interpretation grounded in the definition of the derivative