微分公式びぶんこうしきdifferentiation ruleと構造判定こうぞうはんていの基本演習きほんえんしゅう

1問題もんだい 1

$$(x^2+1)\sin x$$(x^2+1)\sin x を微分びぶんせよ。

1.1解答例かいとうれい

積せきの微分公式びぶんこうしきproduct ruleより

である。

1.2解説かいせつ

積せきでは2因子いんしの変化へんかを両方りょうほうとも反映はんえいする。$$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$(fg)'=f'g+fg' であり、$$f^{\prime }{g}^{\prime }$$f'g' ではない。

2問題もんだい 2

$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}{x}^2+1x-1$$\dfrac{x^2+1}{x-1} を微分びぶんせよ。

2.1解答例かいとうれい

定義域ていぎいきは $$x\ne 1$$x\ne1 である。商しょうの微分公式びぶんこうしきquotient ruleより

である。

2.2解説かいせつ

元もとの関数かんすうの定義域ていぎいきは $$\mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}$$\mathbb{R}\setminus\{1\} である。導関数どうかんすうの式しきを得えた後あとも、この定義域ていぎいきを維持いじする。

3問題もんだい 3

$$e^{x^2}\cos x$$e^{x^2}\cos x を微分びぶんせよ。

3.1解答例かいとうれい

積せきの微分公式びぶんこうしきproduct ruleと連鎖律れんさりつchain ruleより

である。

3.2解説かいせつ

合成関数ごうせいかんすう $$e^{x^2}$$e^{x^2} の微分びぶんでは、外側そとがわの指数関数しすうかんすうの微分びぶんに、内側うちがわの関数かんすう $$x^2$$x^2 の導関数どうかんすう $$2x$$2x を乗じょうじる。

4問題もんだい 4

$$x>0$$x>0 において $$f\left(x\right)=x^x$$f(x)=x^x を微分びぶんせよ。

4.1解答例かいとうれい

$$y=x^x$$y=x^x とおく。$$x>0$$x>0 なので対数たいすうを取とると

である。両辺りょうへんを $$x$$x で微分びぶんして

を得える。したがって

である。

4.2解説かいせつ

底ていと指数しすうの双方そうほうが変数へんすうであるため、通常つうじょうの冪関数べきかんすうまたは指数関数しすうかんすうの公式こうしきを直接ちょくせつは適用てきようできない。対数微分たいすうびぶんにより、指数しすうを積せきへ変換へんかんしてから微分びぶんする。

5関連かんれんリンク

Basic Exercises on Differentiation Rules and Structural Recognition

1Problem 1

Differentiate $$(x^2+1)\sin x$$(x^2+1)\sin x.

1.1Sample Solution

By the product rule, the derivative is

1.2Explanation

Both factors contribute to the change of a product: $$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$(fg)'=f'g+fg', not $$f^{\prime }{g}^{\prime }$$f'g'.

2Problem 2

Differentiate $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}{x}^2+1x-1$$\dfrac{x^2+1}{x-1}.

2.1Sample Solution

The domain is $$x\ne 1$$x\ne1. By the quotient rule,

2.2Explanation

The domain of the original function is $$\mathbb{R}\setminus \left\{1\right\}$$\mathbb{R}\setminus\{1\}. This restriction remains in force after deriving a formula for the derivative.

3Problem 3

Differentiate $$e^{x^2}\cos x$$e^{x^2}\cos x.

3.1Sample Solution

The product rule and chain rule give

3.2Explanation

The derivative of the inner function $$x^2$$x^2 must multiply the derivative of the outer exponential function.

4Problem 4

For $$x>0$$x>0, differentiate $$f\left(x\right)=x^x$$f(x)=x^x.

4.1Sample Solution

Set $$y=x^x$$y=x^x. Since $$x>0$$x>0, taking logarithms gives

Differentiating both sides with respect to $$x$$x yields

Therefore,

4.2Explanation

Both the base and exponent are variable, so neither the ordinary power rule nor the exponential rule applies directly. Logarithmic differentiation converts the exponent into a product before differentiation.

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