微分びぶんdifferentiationと導関数どうかんすうderivative-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-26document_iddoc_ba1635a66ffdb3405559f20c6ea33010description差商・導関数・局所線型近似・微分公式・微分可能性を、適用条件と境界例に注意して確認する基本演習である。prerequisites微分法の基本 / 微分公式と計算法 / 極限と連続type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathcalculusexercisederivativelinear-approximation

data/lecture/math/calculus/differentiation-basics.lecture.n.md data/lecture/math/calculus/differentiation-rules-and-computation.lecture.n.md

1演習方針えんしゅうほうしん

導関数どうかんすうderivativeは、差商さしょうdifference quotientの極限きょくげんlimitであり、局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationの係数けいすうである。微分公式びぶんこうしきdifferentiation ruleを使用しようするときは、どの構造こうぞうに対たいする公式こうしきかを確認かくにんする。

2問題もんだい 1

定義ていぎから $f (x) = x^{2}$ の導関数どうかんすうderivativeを求もとめよ。

2.1解答例かいとうれい

○

導関数どうかんすうderivativeの定義ていぎより、

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h}

である。 $h \neq 0$ の範囲はんいで

\frac{(x + h)^{2} - x^{2}}{h} = \frac{2 x h + h^{2}}{h} = 2 x + h

である。ここでは $h$ で割わるため、 $h \neq 0$ を確認かくにんする。したがって

f^{'} (x) = \lim_{h \to 0} (2 x + h) = 2 x

である。

2.2解説かいせつ

この問題もんだいは、微分びぶんdifferentiationが瞬間しゅんかんの変化率へんかりつを極限きょくげんとして定義ていぎすることを確認かくにんしている。公式こうしきを使つかう前まえに、差商さしょうdifference quotientがどのように傾かたむきへ近ちかづくかを把握はあくすることが重要じゅうようである。

2.3よくある誤あやまり

$h = 0$ を途中とちゅうで代入だいにゅうして $0 / 0$ にしてしまう誤あやまりがある。差商さしょうdifference quotientでは、まず $h \neq 0$ で式しきを整理せいりし、その後あとで $h \to 0$ の極限きょくげんlimitを取とる。

3問題もんだい 2

$f (x) = \sqrt{x}$ について、 $x = 4$ における局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationを用もちいて $\sqrt{4.1}$ を近似きんじせよ。

3.1解答例かいとうれい

○

$f (4) = 2$ であり、

f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

なので $f^{'} (4) = 1 / 4$ である。したがって $x = 4$ の近ちかくで

f (x) \approx f (4) + f^{'} (4) (x - 4) = 2 + \frac{1}{4} (x - 4)

である。 $x = 4.1$ を代入だいにゅうして

\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4} \cdot 0.1 = 2.025

を得える。

3.2解説かいせつ

局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationは、曲線きょくせんを接線せっせんで置おき換かえる見方みかたである。変かわるのは関数かんすうそのものではなく、近ちかくで扱あつかう近似式きんじしきである。保存ほぞんされるのは、基準点きじゅんてんでの値あたいと傾かたむきである。

3.3よくある誤あやまり

局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationを遠とおい点てんへ無条件むじょうけんに使つかう誤あやまりがある。基準点きじゅんてんから離はなれるほど、高次こうじの項こうの影響えいきょうが大おおきくなる。

4問題もんだい 3

$f (x) = x^{2} \sin x$ の導関数どうかんすうderivativeを求もとめよ。

4.1解答例かいとうれい

○

$f$ は $x^{2}$ と $\sin x$ の積せきであるため、積せきの微分公式びぶんこうしきproduct ruleを使用しようする。

\frac{d}{d x} (x^{2} \sin x) = 2 x \sin x + x^{2} \cos x

である。

4.2解説かいせつ

積せきの微分公式びぶんこうしきproduct ruleは、一方いっぽうだけを微分びぶんすればよいという規則きそくではない。積せきの両方りょうほうが変化へんかするため、 $f^{'} g + f g^{'}$ の 2 項こうが必要ひつようになる。

4.3よくある誤あやまり

$(x^{2} \sin x)^{'} = 2 x \cos x$ としてしまう誤あやまりがある。これは 2 つの因子いんしを同時どうじに微分びぶんしてしまう公式適用こうしきてきようミスである。

5問題もんだい 4

g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}

の導関数どうかんすうderivativeを求もとめよ。

5.1解答例かいとうれい

○

$g$ の定義域ていぎいきは $x \neq 1$ である。商しょうの微分公式びぶんこうしきquotient ruleを使用しようすると、

g^{'} (x) = \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^{2}} = \frac{- 2}{(x - 1)^{2}}

である。分母ぶんぼに $(x - 1)^{2}$ があるため、 $x \neq 1$ の範囲はんいで成立せいりつする。

5.2解説かいせつ

商しょうの微分公式びぶんこうしきquotient ruleでは、分母ぶんぼが 0 でない範囲はんいを先さきに確認かくにんする。この問題もんだいでは $x = 1$ で関数かんすうそのものが定義ていぎされないため、導関数どうかんすうderivativeも $x = 1$ では扱あつかわない。

5.3よくある誤あやまり

分子ぶんしと分母ぶんぼを別々べつべつに微分びぶんして $1 / 1$ とする誤あやまりがある。商しょうの微分公式びぶんこうしきquotient ruleは、分子ぶんしと分母ぶんぼの変化へんかが同時どうじに効きくことを補正ほせいする公式こうしきである。

6問題もんだい 5

$f (x) = | x |$ が $x = 0$ で微分可能びぶんかのうdifferentiableでないことを示しめせ。

6.1解答例かいとうれい

○

右側みぎがわからの差商さしょうdifference quotientは

\lim_{h \to 0 +} \frac{| h | - 0}{h} = \lim_{h \to 0 +} 1 = 1

である。一方いっぽう、左側ひだりがわからは

\lim_{h \to 0 -} \frac{| h | - 0}{h} = \lim_{h \to 0 -} (- 1) = - 1

である。左右さゆうの極限きょくげんが一致いっちしないため、 $f$ は $x = 0$ で微分可能びぶんかのうdifferentiableではない。

6.2解説かいせつ

連続れんぞくcontinuousであっても微分可能びぶんかのうdifferentiableとは限かぎらない。 $| x |$ は $0$ で折おれ曲まがるため、接線せっせんの傾かたむきが左右さゆうで一致いっちしない。

6.3よくある誤あやまり

$| 0 | = 0$ だから微分可能びぶんかのうdifferentiableだと判断はんだんする誤あやまりがある。微分可能性びぶんかのうせいdifferentiabilityは点てんの値あたいだけでなく、周辺しゅうへんからの近ちかづき方かたで決きまる。