局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationの基本演習きほんえんしゅう

1問題もんだい 1

$$f\left(x\right)=\sqrt{x}$$f(x)=\sqrt{x} を $$x=9$$x=9 の近ちかくで局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationし、$$\sqrt{9.2}$$\sqrt{9.2} を近似きんじせよ。

1.1解答例かいとうれい

$$f\left(x\right)=\sqrt{x}$$f(x)=\sqrt{x} とする。差商さしょうを有理化ゆうりかすると

であるため、$$f^{\prime }\left(9\right)=1/6$$f'(9)=1/6 である。$$f\left(9\right)=3$$f(9)=3 なので、局所線型近似きょくしょせんけいきんじは

である。したがって

を得える。

1.2解説かいせつ

近似式きんじしきは基準点きじゅんてん $$x=9$$x=9 で関数値かんすうちと傾かたむきを共有きょうゆうする。実際じっさいの値あたいは $$\sqrt{9.2}\approx 3.03315$$\sqrt{9.2}\approx3.03315 であり、近似誤差きんじごさが小ちいさいことも確認かくにんできる。

1.3よくある誤あやまり

基準点きじゅんてんから離はなれても同一どういつの精度せいどが維持いじされるとは限かぎらない。局所きょくしょという語ごは、近似きんじの有効性ゆうこうせいが基準点きじゅんてんの近傍きんぼうに限定げんていされることを表あらわす。

2問題もんだい 2

$$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2 の $$x=1$$x=1 における接線せっせんを求もとめよ。

2.1解答例かいとうれい

$$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2 とする。$$f\left(1\right)=1$$f(1)=1 であり、差商さしょうは

であるため、$$f^{\prime }\left(1\right)=2$$f'(1)=2 である。したがって、接線せっせんは

である。

2.2解説かいせつ

増分ぞうぶん $$h=x-1$$h=x-1 に対たいする線型写像せんけいしゃぞうは $$L\left(h\right)=2h$$L(h)=2h であり、接線せっせん $$y=1+2h$$y=1+2h は定数項ていすうこうを含ふくむアフィン近似きんじである。

3問題もんだい 3

$$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2 とし、任意にんいの基準点きじゅんてん $$a\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R} を固定こていする。

を満みたす剰余じょうよ $$r\left(h\right)$$r(h) を求もとめ、$$r\left(h\right)=o\left(h\right)$$r(h)=o(h) であることを確認かくにんせよ。

3.1解答例かいとうれい

$$f^{\prime }\left(a\right)=2a$$f'(a)=2a であるため、

より $$r\left(h\right)=h^2$$r(h)=h^2 である。さらに

なので、$$r\left(h\right)=o\left(h\right)$$r(h)=o(h) である。

3.2解説かいせつ

一次項いちじこう $$2ah$$2ah が増分ぞうぶんに対たいする線型部分せんけいぶぶんを構成こうせいし、二次項にじこう $$h^2$$h^2 は $$\left|h\right|$$|h| に比ひして無視むしできる剰余じょうよとなる。したがって、アフィン近似きんじの全体ぜんたいは $$a^2+2ah$$a^2+2ah である。この計算けいさんは、差商さしょうによる微分可能性びぶんかのうせいと $$o\left(h\right)$$o(h) による特徴付とくちょうづけの同値性どうちせいを具体化ぐたいかする。

4関連かんれんリンク

Basic Exercises on Local Linear Approximation

1Problem 1

Find the local linear approximation of $$f\left(x\right)=\sqrt{x}$$f(x)=\sqrt{x} near $$x=9$$x=9 and use it to approximate $$\sqrt{9.2}$$\sqrt{9.2}.

1.1Sample Solution

Let $$f\left(x\right)=\sqrt{x}$$f(x)=\sqrt{x}. Rationalizing the difference quotient gives

so $$f^{\prime }\left(9\right)=1/6$$f'(9)=1/6. Since $$f\left(9\right)=3$$f(9)=3, the local linear approximation is

Therefore,

1.2Explanation

The approximation has the same value and slope as the function at the base point $$x=9$$x=9. The actual value is $$\sqrt{9.2}\approx 3.03315$$\sqrt{9.2}\approx3.03315, confirming that the approximation error is small.

1.3Common Error

The approximation need not retain the same accuracy far from the base point. The word local indicates that the approximation is valid in a neighborhood of that point.

2Problem 2

Find the tangent line to $$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2 at $$x=1$$x=1.

2.1Sample Solution

For $$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2, $$f\left(1\right)=1$$f(1)=1, and the difference quotient is

Thus $$f^{\prime }\left(1\right)=2$$f'(1)=2, and the tangent line is

2.2Explanation

For the increment $$h=x-1$$h=x-1, the linear map is $$L\left(h\right)=2h$$L(h)=2h. The tangent line $$y=1+2h$$y=1+2h is the affine approximation obtained by adding the constant term.

3Problem 3

Let $$f\left(x\right)=x^2$$f(x)=x^2 and fix an arbitrary base point $$a\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}. Find the remainder $$r\left(h\right)$$r(h) satisfying

and verify that $$r\left(h\right)=o\left(h\right)$$r(h)=o(h).

3.1Sample Solution

Since $$f^{\prime }\left(a\right)=2a$$f'(a)=2a,

so $$r\left(h\right)=h^2$$r(h)=h^2. Moreover,

Therefore, $$r\left(h\right)=o\left(h\right)$$r(h)=o(h).

3.2Explanation

The first-order term $$2ah$$2ah forms the linear part acting on the increment, while the second-order term $$h^2$$h^2 is negligible relative to $$\left|h\right|$$|h|. Thus the complete affine approximation is $$a^2+2ah$$a^2+2ah. This calculation illustrates the equivalence between differentiability defined by difference quotients and its characterization using an $$o\left(h\right)$$o(h) remainder.

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