関数かんすうfunction・定義域ていぎいきdomain・グラフの解釈かいしゃく

date2026-07-15document_iddoc_7fa7c38e00dc0374c37c8156edd423f4description極限・連続・微分の導入に先立ち、関数の定義域、端点、除外点、およびグラフ上の接近を解説する講義である。prerequisites関数の基本 / 座標平面の基本type講義content_typelecturestatusactive

mathcalculusfunctionlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、極限きょくげんlimitや微分びぶんdifferentiationを導入どうにゅうする前まえに、定義域ていぎいきに属ぞくする入力にゅうりょくと、極限きょくげんを考察こうさつする点てんを明確めいかくにする。

関数かんすうfunctionは、定義域ていぎいきの各入力かくにゅうりょくをただ 1 つの出力しゅつりょくへ対応たいおうさせる規則きそくである。ただし、関数かんすうを式しきだけでは特定とくていできない。許容きょようされる入力にゅうりょくの集合しゅうごう、すなわち定義域ていぎいきdomainも明示めいじする必要ひつようがある。

2グラフによる直感的ちょっかんてきな解釈かいしゃく

グラフにおける極限きょくげんlimitは、関数かんすうが対象たいしょうの点てんでとる値あたいではなく、その点てんの周辺しゅうへんにおける関数値かんすうちの挙動きょどうを表あらわす。定義域ていぎいきから除外じょがいされ、両側りょうがわから接近可能せっきんかのうな点てんでも、左右さゆうからの関数値かんすうちが同一どういつの値あたいへ収束しゅうそくすれば、極限きょくげんlimitは存在そんざいしうる。

定義域ていぎいきが区間くかんである場合ばあい、その端点たんてんには定義域内ていぎいきないから一方向いちほうこうにしか接近せっきんできない。右端みぎたんでは左側ひだりがわから、左端ひだりたんでは右側みぎがわからの挙動きょどうを考察こうさつするため、片側極限かたがわきょくげんone-sided limitが必要ひつようとなる。

3厳密げんみつな整理せいり

定義域ていぎいきdomainを $D$ とする。 $a$ での極限きょくげんlimitを考察こうさつするには、 $a$ が $D$ に属ぞくすることではなく、 $a$ が $D$ の集積点しゅうせきてんaccumulation pointであることが必要ひつようである。すなわち、任意にんいの $δ > 0$ に対たいして、 $0 < | x - a | < δ$ を満みたす $x \in D$ が存在そんざいしなければならない。

$f$ が $a$ で連続れんぞくcontinuousであることを確認かくにんするには、次つぎの 3 条件じょうけんを個別こべつに確認かくにんする。

$f (a)$ が定義ていぎされている。
$\lim_{x \to a} f (x)$ が存在そんざいする。
$\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ が成立せいりつする。

4具体例ぐたいれい

問題もんだいとして、 $D = R ∖ {1}$ 上じょうの関数かんすう $f : D \to R$ を $f (x) = (x^{2} - 1) / (x - 1)$ によって定義ていぎする。 $x = 1$ では分母ぶんぼが 0 になるため、 $1$ は定義域ていぎいきdomainから除のぞかれる。しかし $x \neq 1$ では $f (x) = x + 1$ である。したがって、穴あなの周辺しゅうへんでは直線ちょくせん $y = x + 1$ と同おなじ振舞ふるまいをする。

この例れいは、関数値かんすうちfunction value、定義域ていぎいきdomain、極限きょくげんlimitを区別くべつする必要性ひつようせいを示しめす。

5演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/calculus/limits-and-continuity.exercise.n.md

Functions, Domains, and Interpreting Graphs

1Introduction

Before introducing limits and differentiation, this lecture clarifies which inputs belong to the domain and at which point a limit is being considered.

A function is a rule that assigns exactly one output to each input in its domain. A formula alone, however, does not determine a function. One must also specify its domain, the set of permitted inputs.

2Intuitive Interpretation from a Graph

On a graph, a limit describes the behavior of function values near a point, rather than the value that the function takes at that point. Even at a point excluded from the domain but approachable from both sides, the limit can exist when the function values from the left and right converge to the same value.

When the domain is an interval, each endpoint can be approached from only one direction within the domain. At a right endpoint, examine behavior from the left; at a left endpoint, examine behavior from the right. This is why one-sided limits are necessary.

3Precise Formulation

Let the domain be $D$ . To consider the limit at $a$ , the necessary condition is not that $a$ belong to $D$ , but that $a$ be an accumulation point of $D$ . Equivalently, for every $δ > 0$ , there must be some $x \in D$ satisfying $0 < | x - a | < δ$ .

To verify that $f$ is continuous at $a$ , check the following three conditions separately.

$f (a)$ is defined.
$\lim_{x \to a} f (x)$ exists.
$\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ .

4Example

Let $D = R ∖ {1}$ and define $f : D \to R$ by $f (x) = (x^{2} - 1) / (x - 1)$ . Since the denominator is zero at $x = 1$ , the number $1$ is excluded from the domain. For $x \neq 1$ , however, $f (x) = x + 1$ . Thus, around the hole, the function has the same behavior as the line $y = x + 1$ .

This example demonstrates the necessity of distinguishing a function value, the domain, and a limit.

5Exercises