一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきの分類ぶんるいと最初さいしょの判定はんてい

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきの形式けいしきを分析ぶんせきし、適用可能てきようかのうな解法かいほうとその選択理由せんたくりゆうを判定はんていする方法ほうほうを説明せつめいする。

一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきfirst-order differential equationとは、最高階さいこうかいの導関数どうかんすうが $$y^{\prime }$$y' である微分方程式びぶんほうていしきである。一般いっぱんには

の形かたちに書かける。

ただし、この一般形いっぱんけいをそのまま解とく万能公式ばんのうこうしきはない。初学者しょがくしゃがまず学まなぶべきことは、頻出ひんしゅつする型かたを見分みわけ、その型かたで解とける理由りゆうを説明せつめいできるようにすることである。

2最初さいしょに確認かくにんする 3 点てん

一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきが与あたえられたら、計算けいさんの前まえに次つぎを確認かくにんする。

1. 右辺うへんが $$x$$x だけの関数かんすうか。
2. $$x$$x 側がわと $$y$$y 側がわの積せきに分わけられるか。
3. $$y^{\prime }$$y' と $$y$$y が 1 次じで現あらわれるか。

この 3 点てんに加くわえて、型かたにかかわらず因子いんしで割わるときは「その因子いんしが 0 になる解かいを捨すてていないか」も確認かくにんする。その因子いんしが 0 になる枝えだを先さきに代入検算だいにゅうけんざんし、その後あとで 0 でない枝えだを計算けいさんする。包絡線ほうらくせんとしての特異解とくいかいや非一意枝ひいちえだの区別くべつは、存在一意性そんざいいちいせいを学まなんだ後あとの発展事項はってんじこうである。

この順序じゅんじょを取とる理由りゆうは、単純たんじゅんな型かたほど少すくない変形へんけいで判定はんていできるからである。複雑ふくざつな置換ちかんを先さきに試ためすと、本来ほんらいは直接積分ちょくせつせきぶんや変数分離へんすうぶんりで解とける問題もんだいを見失みうしないやすい。

3判定表はんていひょう

この表ひょうは結論けつろんだけを暗記あんきするためのものではない。重要じゅうようなのは、方程式ほうていしきの形式けいしきと適用てきようする解法かいほうとの対応理由たいおうりゆうを理解りかいすることである。

4命題めいだい1：$$y^{\prime }=f\left(x\right)$$y'=f(x) は直接積分ちょくせつせきぶんに帰着きちゃくする

方程式ほうていしきが

であり、$$f$$f が区間くかん $$I$$I で連続れんぞくであるとする。このとき、$$f$$f の原始関数げんしかんすうを $$F$$F とすれば、

が解かいである。

4.1証明しょうめい

$$F$$F は $$f$$f の原始関数げんしかんすうなので、定義ていぎより $$F^{\prime }=f$$F'=f である。$$y=F\left(x\right)+C$$y=F(x)+C とおくと、定数ていすう $$C$$C の導関数どうかんすうは 0 だから

である。したがって $$y=F\left(x\right)+C$$y=F(x)+C は方程式ほうていしきを満みたす。

この型かたでは、微分方程式びぶんほうていしきは微積分びせきぶんの「原始関数げんしかんすうを求もとめる問題もんだい」そのものである。

5命題めいだい2：$$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y) は変数分離へんすうぶんりに帰着きちゃくする

区間くかん $$I$$I と、$$y$$y の値域ちいきを含ふくむ区間くかん $$J$$J を考かんがえる。$$f$$f は $$I$$I で連続れんぞく、$$g$$g は $$J$$J で連続れんぞくかつ 0 でないとする。このとき、$$C^1$$C^1 級きゅうの関数かんすう $$y:I\to J$$y:I\to J が

を満みたすことと、ある定数ていすう $$C$$C に対たいして

という関係かんけいを満みたすことは同値どうちである。

5.1証明しょうめい

$$G^{\prime }\left(y\right)=1/g\left(y\right)$$G'(y)=1/g(y)、$$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x) となる原始関数げんしかんすう $$G,F$$G,F を取とる。微分方程式びぶんほうていしきを満みたす $$y$$y に対たいして

である。したがって $$G\left(y\right(x\left)\right)-F\left(x\right)$$G(y(x))-F(x) は $$I$$I で定数ていすうであり、

を得える。逆ぎゃくに、この関係式かんけいしきを $$x$$x で微分びぶんすると、合成関数ごうせいかんすうの微分公式びぶんこうしきより

である。$$g\left(y\right)\ne 0$$g(y)\ne 0 より

を得える。

ここで $$g\left(y\right)=0$$g(y)=0 となる定数解ていすうかいは、$$g\left(y\right)$$g(y) で割わる操作そうさの前まえに別べつに確認かくにんする必要ひつようがある。

6命題めいだい3：$$y^{\prime }+p\left(x\right)y=q\left(x\right)$$y'+p(x)y=q(x) は積せきの微分びぶんへ帰着きちゃくする

仮定かていとして、方程式ほうていしきが

であるとする。もし区間くかん $$I$$I で 0 にならない関数かんすう $$\mu \left(x\right)$$\mu(x) が

を満みたすなら、元もとの方程式ほうていしきは区間くかん $$I$$I で

と同値どうちである。

6.1証明しょうめい

元もとの方程式ほうていしきの両辺りょうへんに $$\mu$$\mu を掛かけると、

である。仮定かてい $${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x) より、

となる。積せきの微分公式びぶんこうしきから

なので、

を得える。逆ぎゃくに、この式しきを積せきの微分公式びぶんこうしきで展開てんかいし、0 でない $$\mu$$\mu で除じょすれば元もとの方程式ほうていしきを回復かいふくする。したがって両者りょうしゃは同値どうちである。

この命題めいだいが積分因子せきぶんいんしの根拠こんきょである。$$\mu$$\mu を突然とつぜん掛かけるのではなく、積せきの微分びぶんを逆向ぎゃくむきに作つくるために選えらぶ。

7完全微分形かんぜんびぶんけいの判定基準はんていきじゅん

の形かたちでは、目標もくひょうは $$x$$x と $$y$$y を分わけることではない。ある関数かんすう $$F(x,y)$$F(x,y) があって

と表現ひょうげんできるかを判定はんていする。もし $$F_x=M,F_y=N$$F_x=M,\ F_y=N なら、方程式ほうていしきは $$dF=0$$dF=0 であり、解かいは

で与あたえられる。

完全微分形かんぜんびぶんけいでは偏微分へんびぶんと全微分ぜんびぶんを使つかうため、詳細しょうさいは専用せんようページで扱あつかう。

8誤用ごようしやすい例れい

は $$x$$x と $$y$$y が和わで結むすばれている。したがって

のように分離ぶんりしてはならない。一方いっぽう、

と表現ひょうげんできるので、これは一階線型いっかいせんけいである。外観がいかんの単純たんじゅんさではなく、標準形ひょうじゅんけいへ変形可能へんけいかのうかによって判定はんていする。

9後続こうぞくの学習順序がくしゅうじゅんじょ

このページでは分類ぶんるいの根拠こんきょだけを示しめした。次つぎに、実際じっさいの計算けいさんと注意点ちゅういてんを順番じゅんばんに学まなぶ。

10演習えんしゅうリンク

Classification and Initial Diagnosis of First-Order Differential Equations

1Introduction

This lecture explains how to analyze the form of a first-order differential equation and identify both an applicable solution method and the reason for selecting it.

A first-order differential equation is a differential equation whose highest derivative is $$y^{\prime }$$y'. It can generally be written as

There is no universal formula that solves this general form. The initial objective is therefore to recognize frequently occurring classes and explain why their structure permits a particular method.

2Three Initial Checks

Before calculating, check the following features of a first-order equation.

1. Is the right-hand side a function of $$x$$x alone?
2. Can the dependence on $$x$$x and $$y$$y be separated into factors?
3. Do $$y^{\prime }$$y' and $$y$$y occur linearly?

Whenever division by a factor is contemplated, also determine whether setting that factor equal to zero yields a solution. First verify the zero-factor branch by substitution; only then analyze branches on which the factor is nonzero. Distinguishing envelope-type singular solutions from nonunique solution branches is a later topic that depends on existence and uniqueness theory.

This order is efficient because simpler classes can be identified with fewer transformations. Prematurely attempting a complicated substitution may obscure an equation that is solvable by direct integration or separation of variables.

3Classification Table

The table is not intended for memorization in isolation. Its purpose is to explain the correspondence between equation structure and solution method.

4Proposition 1: $$y^{\prime }=f\left(x\right)$$y'=f(x) Reduces to Direct Integration

Suppose that

and that $$f$$f is continuous on an interval $$I$$I. If $$F$$F is an antiderivative of $$f$$f on $$I$$I, then

is a solution for every constant $$C$$C.

4.1Proof

By definition, $$F^{\prime }=f$$F'=f. If $$y=F\left(x\right)+C$$y=F(x)+C, then the derivative of $$C$$C is zero, so

Thus $$y=F\left(x\right)+C$$y=F(x)+C satisfies the equation. In this class, solving the differential equation is precisely the problem of determining antiderivatives.

5Proposition 2: $$y^{\prime }=f\left(x\right)g\left(y\right)$$y'=f(x)g(y) Reduces to Separation of Variables

Let $$I$$I be an interval, and let $$J$$J be an interval containing the range of $$y$$y. Suppose that $$f$$f is continuous on $$I$$I and that $$g$$g is continuous and nonzero on $$J$$J. A continuously differentiable function $$y:I\to J$$y:I\to J satisfies

if and only if, for some constant $$C$$C, it satisfies

on $$I$$I.

5.1Proof

Choose antiderivatives $$G$$G and $$F$$F such that $$G^{\prime }\left(y\right)=1/g\left(y\right)$$G'(y)=1/g(y) and $$F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$$F'(x)=f(x). If $$y$$y satisfies the differential equation, then

Hence $$G\left(y\right(x\left)\right)-F\left(x\right)$$G(y(x))-F(x) is constant on $$I$$I, which gives the separated relation. Conversely, differentiating

and applying the chain rule gives

and the hypothesis $$g\left(y\right)\ne 0$$g(y)\ne 0 yields

Constant solutions arising from zeros of $$g\left(y\right)$$g(y) must be checked separately before dividing by $$g\left(y\right)$$g(y).

6Proposition 3: $$y^{\prime }+p\left(x\right)y=q\left(x\right)$$y'+p(x)y=q(x) Reduces to a Product Derivative

Suppose that

on an interval $$I$$I. If a function $$\mu \left(x\right)$$\mu(x) is nonzero on $$I$$I and satisfies

then the original equation is equivalent on $$I$$I to

6.1Proof

Multiplying the original equation by $$\mu$$\mu gives

Since $${\mu }^{\prime }=\mu p\left(x\right)$$\mu'=\mu p(x),

The product rule gives

and hence

Conversely, division by the nonzero function $$\mu$$\mu recovers the original equation, which proves equivalence. The integrating factor is chosen specifically to construct a product derivative.

7Criterion for Exact Differential Form

For an equation of the form

the objective is not to separate $$x$$x and $$y$$y. Instead, determine whether there is a function $$F(x,y)$$F(x,y) such that

If $$F_x=M$$F_x=M and $$F_y=N$$F_y=N, then the equation is $$dF=0$$dF=0, and its solutions are represented implicitly by

Exact equations require partial derivatives and total differentials, so their detailed treatment is deferred to the dedicated lecture.

8A Common Misclassification

The equation

contains $$x$$x and $$y$$y additively. It therefore cannot be separated as

Instead, it can be written as

so it is a first-order linear equation. Classification depends on reducibility to a standard form, not on superficial simplicity.

9Subsequent Learning Sequence

This page has established the reasons for the classification. The following lectures develop the calculations and qualifications for each method.

10Exercise