完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、

を、ある関数かんすう $$F(x,y)$$F(x,y) の全微分ぜんびぶんtotal differential

として復元ふくげんする方法ほうほうを説明せつめいする。

変数分離へんすうぶんりでは $$x$$x 側がわと $$y$$y 側がわに分わけた。一階線型いっかいせんけいでは積分因子せきぶんいんしによって積せきの導関数どうかんすうへ変換へんかんした。完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきでは、左辺全体さへんぜんたいを 1 個この関数かんすう $$F(x,y)$$F(x,y) の全微分ぜんびぶんとして表現ひょうげんする。

2標準形ひょうじゅんけい

完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきexact differential equationとは、

において、ある関数かんすう $$F(x,y)$$F(x,y) が存在そんざいして

を満みたす場合ばあいの方程式ほうていしきである。この $$F$$F をポテンシャル関数かんすう (potential function) と呼よぶ。

3命題めいだい1：完全かんぜんなら解かいは $$F(x,y)=C$$F(x,y)=C

仮定かていとして、$$Mdx+Ndy=dF$$Mdx+Ndy=dF と書かけるとする。このとき

の解かいは

で与あたえられる。

3.1証明しょうめい

$$Mdx+Ndy=dF$$Mdx+Ndy=dF だから、方程式ほうていしきは

である。曲線きょくせん $$y=y\left(x\right)$$y=y(x) に沿そって $$F(x,y(x\left)\right)$$F(x,y(x)) を考かんがえると、合成関数ごうせいかんすうの微分びぶんより

である。一方いっぽう、

なので、$$dy=y^{\prime }dx$$dy=y'dx を代入だいにゅうすると

である。$$dF=0$$dF=0 は

を意味いみする。したがって $$F(x,y(x\left)\right)$$F(x,y(x)) は一定いっていであり、

である。

逆ぎゃくに、$$F(x,y)=C$$F(x,y)=C を微分びぶんすれば $$dF=0$$dF=0 となるので、$$Mdx+Ndy=0$$Mdx+Ndy=0 を満みたす。

4完全性条件かんぜんせいじょうけん

$$M,N$$M,N が連続れんぞくに偏微分可能へんびぶんかのうで、$$F_x=M,F_y=N$$F_x=M,\ F_y=N なら、$$F$$F の混合偏微分こんごうへんびぶんは連続れんぞくであり、

より

が成立せいりつする。したがって $$M_y=N_x$$M_y=N_x は完全かんぜんであるための必要条件ひつようじょうけんである。

$$M,N$$M,N が連続れんぞくに偏微分可能へんびぶんかのうで、対象領域たいしょうりょういきが単連結たんれんけつsimply connectedなら、

は完全性かんぜんせいの必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんになる。単連結領域たんれんけつりょういきとは、領域内りょういきないの任意にんいの閉曲線へいきょくせんを、領域りょういきの外そとへ出でずに 1 点てんへ連続的れんぞくてきに縮ちぢめられる領域りょういきである。長方形ちょうほうけいや円板えんばんはその例れいである。

5命題めいだい2：完全性条件かんぜんせいじょうけんの必要性ひつようせい

仮定かていとして、$$M,N$$M,N が連続れんぞくに偏微分可能へんびぶんかのうであり、$$M=F_x,N=F_y$$M=F_x,\ N=F_y と書かけるとする。このとき

である。

5.1証明しょうめい

$$M=F_x$$M=F_x だから、$$M$$M を $$y$$y で偏微分へんびぶんすると

である。また $$N=F_y$$N=F_y だから、$$N$$N を $$x$$x で偏微分へんびぶんすると

である。$$F$$F の混合偏微分こんごうへんびぶんが連続れんぞくなら $$F_{xy}=F_{yx}$$F_{xy}=F_{yx} である。したがって

を得える。

この命題めいだいは、完全性条件かんぜんせいじょうけんがポテンシャル関数かんすうの混合偏微分こんごうへんびぶんの交換可能性こうかんかのうせいに由来ゆらいすることを示しめす。

6ポテンシャル関数かんすうの構成こうせい

完全性かんぜんせいが確認かくにんできたら、$$F_x=M$$F_x=M から $$F$$F を復元ふくげんする。

1. $$F_x=M$$F_x=M を $$x$$x で積分せきぶんする。
2. $$x$$x で積分せきぶんしたとき、$$y$$y だけの任意関数にんいかんすう $$h\left(y\right)$$h(y) を足たす。
3. $$F_y=N$$F_y=N と比較ひかくして $$h\left(y\right)$$h(y) を決きめる。

$$h\left(y\right)$$h(y) を足たす理由りゆうは、$$x$$x で偏微分へんびぶんすると $$h\left(y\right)$$h(y) は消きえるからである。

7例れい1：完全かんぜんな場合ばあい

を考かんがえる。ここで

である。

完全性かんぜんせいを確認かくにんする。

だから $$M_y=N_x$$M_y=N_x である。

つぎに $$F_x=M$$F_x=M より、

を $$x$$x で積分せきぶんして

を得える。$$y$$y で偏微分へんびぶんすると

である。これが $$N=x^2$$N=x^2 と一致いっちするため、

である。したがって $$h\left(y\right)$$h(y) は定数ていすうであり、解かいは

である。

8積分因子せきぶんいんしが必要ひつような場合ばあい

が完全かんぜんでない場合ばあいでも、対象領域たいしょうりょういきで至いたる所ところ 0 でない関数かんすう $$\mu (x,y)$$\mu(x,y) を掛かけると

が完全かんぜんになる場合ばあいがある。この $$\mu$$\mu も積分因子せきぶんいんしと呼よぶ。$$\mu$$\mu が至いたる所ところ 0 でないため、乗算前じょうざんまえと乗算後じょうざんごの方程式ほうていしきは同おなじ解曲線かいきょくせんを表あらわす。

ここで注意ちゅういする。一階線型いっかいせんけいの積分因子せきぶんいんしは、左辺さへんを

という積せきの微分びぶんにする因子いんしであった。一方いっぽう、完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきの積分因子せきぶんいんしは、$$Mdx+Ndy$$Mdx+Ndy を

という全微分ぜんびぶんにする因子いんしである。両者りょうしゃは、積分可能せきぶんかのうな微分びぶんへ変換へんかんするという共通きょうつうの機能きのうをもつ。

9一階線型いっかいせんけいとの接続せつぞく

一階線型方程式いっかいせんけいほうていしき

を

と書かく。このとき

である。一般いっぱんには

なので完全かんぜんではない。しかし、一階線型いっかいせんけいの積分因子せきぶんいんし

を掛かけると、

となる。この新あたらしい微分形式びぶんけいしきでは

だから完全かんぜんである。

したがって、一階線型いっかいせんけいの積分因子せきぶんいんしは、完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきの枠組わくぐみでは、微分形式びぶんけいしきを完全化かんぜんかする因子いんしでもある。

10適用範囲てきようはんい

完全性条件かんぜんせいじょうけん $$M_y=N_x$$M_y=N_x の十分性じゅうぶんせいは、対象領域たいしょうりょういきに依存いぞんする。単連結たんれんけつでない領域りょういきでは、この等式とうしきが成立せいりつしても大域的たいいきてきなポテンシャル関数かんすうが存在そんざいしない場合ばあいがある。

この発展的はってんてきな注意ちゅういは、線積分せんせきぶんや保存場ほぞんばで再登場さいとうじょうする。

次つぎの講義こうぎでは、右辺うへんが比ひ $$y/x$$y/x のみに依存いぞんする同次形どうじけいを扱あつかい、$$v=y/x$$v=y/x の置換ちかんによって変数分離形へんすうぶんりけいへ帰着きちゃくする方法ほうほうを説明せつめいする。

11演習えんしゅうリンク

Exact Differential Equations

1Introduction

This lecture explains how to reconstruct the differential form

as the total differential of a function $$F(x,y)$$F(x,y):

Separation of variables divides an equation into an $$x$$x-dependent side and a $$y$$y-dependent side. The integrating-factor method for first-order linear equations converts the left-hand side into the derivative of a product. Exact differential equations instead represent the entire left-hand side as the total differential of one function $$F(x,y)$$F(x,y).

2Standard Form

An exact differential equation is an equation

for which there exists a function $$F(x,y)$$F(x,y) satisfying

The function $$F$$F is called a potential function.

3Proposition 1: Solutions of an Exact Equation Have the Form $$F(x,y)=C$$F(x,y)=C

Suppose that $$Mdx+Ndy=dF$$M\,dx+N\,dy=dF. Then the solutions of

are represented implicitly by

3.1Proof

Since $$Mdx+Ndy=dF$$M\,dx+N\,dy=dF, the equation is $$dF=0$$dF=0. Along a differentiable curve $$y=y\left(x\right)$$y=y(x), the chain rule gives

Substitution of $$dy=y^{\prime }dx$$dy=y'\,dx into

gives

Thus $$dF=0$$dF=0 implies

Consequently, $$F$$F is constant along each solution curve, so $$F(x,y)=C$$F(x,y)=C. Conversely, differentiation of $$F(x,y)=C$$F(x,y)=C gives $$dF=0$$dF=0 and therefore recovers the original equation.

4Exactness Condition

If $$M$$M and $$N$$N are continuously differentiable and $$F_x=M$$F_x=M and $$F_y=N$$F_y=N, then the mixed partial derivatives of $$F$$F are continuous, so

Therefore,

is necessary for exactness.

If $$M$$M and $$N$$N are continuously differentiable and the domain is simply connected, then

is also sufficient for exactness. A simply connected domain is a domain in which every closed curve can be continuously contracted to a point without leaving the domain. Rectangles and disks are standard examples.

5Proposition 2: Necessity of the Exactness Condition

Suppose that $$M$$M and $$N$$N are continuously differentiable and that $$M=F_x$$M=F_x and $$N=F_y$$N=F_y. Then

5.1Proof

Since $$M=F_x$$M=F_x,

Since $$N=F_y$$N=F_y,

Continuity of the mixed partial derivatives gives $$F_{xy}=F_{yx}$$F_{xy}=F_{yx}, and hence

Thus the exactness condition follows from the interchangeability of the mixed partial derivatives of the potential function.

6Constructing the Potential Function

Once exactness has been established, reconstruct $$F$$F from $$F_x=M$$F_x=M:

1. Integrate $$F_x=M$$F_x=M with respect to $$x$$x.
2. Add an arbitrary function $$h\left(y\right)$$h(y), because integration with respect to $$x$$x leaves the $$y$$y-dependent part undetermined.
3. Compare $$F_y$$F_y with $$N$$N to determine $$h\left(y\right)$$h(y).

The term $$h\left(y\right)$$h(y) is necessary because its partial derivative with respect to $$x$$x is zero.

7Example 1: An Exact Equation

Consider

Here,

The exactness condition holds because

To reconstruct the potential, integrate

with respect to $$x$$x:

Differentiation with respect to $$y$$y gives

Comparison with $$N=x^2$$N=x^2 yields

Thus $$h$$h is constant, and the solution is

8When an Integrating Factor Is Required

Even when

is not exact, multiplication by a function $$\mu (x,y)$$\mu(x,y) that is nonzero everywhere on the domain may produce the exact equation

Such a function $$\mu$$\mu is also called an integrating factor. Because $$\mu$$\mu is nonzero everywhere, the equations before and after multiplication represent the same solution curves.

For a first-order linear equation, an integrating factor converts the left-hand side into the product derivative

For a differential form, an integrating factor converts $$Mdx+Ndy$$M\,dx+N\,dy into a total differential

Both uses transform an equation into a directly integrable differential.

9Connection with First-Order Linear Equations

Rewrite

as

Then

In general,

so the form is not exact. Multiplication by the linear integrating factor

gives

For the transformed form,

so it is exact. Hence the integrating factor for a first-order linear equation is also an exactness-producing factor in the framework of differential forms.

10Scope

The sufficiency of $$M_y=N_x$$M_y=N_x depends on the domain. On a domain that is not simply connected, this equality may hold even though no global potential function exists.

This topological qualification reappears in the study of line integrals and conservative vector fields.

The next lecture treats equations whose right-hand side depends only on the ratio $$y/x$$y/x and explains how the substitution $$v=y/x$$v=y/x reduces them to separable equations.

11Exercises