同次形一階微分方程式どうじけいいっかいびぶんほうていしきと置換ちかん

date2026-07-16document_iddoc_5f819de6f12e89e191c3b5195bc234f1description一階微分方程式の同次形を、比 y/x を未知関数にする置換で変数分離形へ帰着する定石として証明付きで整理する。prerequisites一階微分方程式の分類と最初の判定 / 変数分離形と自律方程式type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきの同次形どうじけいを、新あたらしい未知関数みちかんすう

v = \frac{y}{x}

によって変数分離形へんすうぶんりけいへ帰着きちゃくする方法ほうほうを説明せつめいする。

ここでいう同次形どうじけいは、二階線型にかいせんけいでいう「右辺うへんが 0」の同次どうじとは別べつの用語ようごである。本講義ほんこうぎでは、「比ひ $y / x$ のみに依存いぞんする一階方程式いっかいほうていしき」を意味いみするものとする。

2標準形ひょうじゅんけい

同次形どうじけいhomogeneous first-order equationとは、

y^{'} = F (\frac{y}{x})

に整理せいりできる一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきである。 $x = 0$ では $y / x$ が定義ていぎできないため、 $x > 0$ や $x < 0$ のように $0$ を含ふくまない区間くかんで考かんがえる。

3置換ちかん $v = y / x$ の導入どうにゅう

右辺うへんが $y / x$ のみに依存いぞんするため、その比ひを新あたらしい未知関数みちかんすう

v (x) = \frac{y (x)}{x}

とおく。

このとき

y = x v

である。積せきの微分公式びぶんこうしきより

y^{'} = v + x v^{'}

である。この式しきを元もとの方程式ほうていしきに代入だいにゅうすると、 $v$ と $x$ の方程式ほうていしきに変かわる。

4命題めいだい：同次形どうじけいは変数分離形へんすうぶんりけいへ帰着きちゃくする

仮定かていとして、

y^{'} = F (\frac{y}{x})

を $x \neq 0$ の区間くかんで考かんがえる。 $v = y / x$ とおくと、 $v$ は

x v^{'} = F (v) - v

を満みたす。特とくに $F (v) - v \neq 0$ の範囲はんいでは、

\frac{d v}{F (v) - v} = \frac{d x}{x}

という変数分離形へんすうぶんりけいに帰着きちゃくする。

4.1証明しょうめい

$v = y / x$ だから $y = x v$ である。積せきの微分公式びぶんこうしきより、

y^{'} = v + x v^{'}

である。元もとの方程式ほうていしきに代入だいにゅうすると、

v + x v^{'} = F (v)

である。したがって

x v^{'} = F (v) - v

を得える。 $x \neq 0$ かつ $F (v) - v \neq 0$ の範囲はんいでは、

\frac{d v}{F (v) - v} = \frac{d x}{x}

と分離ぶんりできる。

なお $F (a) - a = 0$ を満みたす定数ていすう $a$ があれば、 $v = a$ 、すなわち $y = a x$ は解かいである。この直線解ちょくせんかいは $F (v) - v$ で除じょする前まえに確認かくにんする。

5例れい： $y^{'} = 1 + \frac{y}{x}$

y^{'} = 1 + \frac{y}{x}

は

F (\frac{y}{x}) = 1 + \frac{y}{x}

の同次形どうじけいである。 $v = y / x$ 、つまり $y = x v$ とおくと、

y^{'} = v + x v^{'}

である。したがって

v + x v^{'} = 1 + v

となり、

x v^{'} = 1

を得える。これは

v^{'} = \frac{1}{x}

であり、直接積分ちょくせつせきぶんできる。よって

v = \log | x | + C

である。 $v = y / x$ に戻もどして、

y = x (\log | x | + C)

を得える。

6適用てきようできない例れい

y^{'} = x + y

は $y / x$ の関数かんすうだけでは表現ひょうげんできない。したがって $v = y / x$ の置換ちかんは適用てきようできない。この方程式ほうていしきは

y^{'} - y = x

と整理せいりできるので、一階線型いっかいせんけいとして扱あつかう。

data/lecture/math/differential-equations/first-order-linear-odes-and-integrating-factors.lecture.n.md

7まとめ

同次形どうじけいには、次つぎの手順てじゅんを適用てきようする。

$y^{'} = F (y / x)$ に整理せいりできるかを確認かくにんする。
$x = 0$ を含ふくまない区間くかんで考かんがえる。
$v = y / x$ 、すなわち $y = x v$ と置おく。
$y^{'} = v + x v^{'}$ を代入だいにゅうする。
$F (v) - v$ の定数根ていすうこんを除算前じょざんまえに確認かくにんし、残のこりを $v$ と $x$ の変数分離形へんすうぶんりけいへ帰着きちゃくする。

次つぎの Bernoulli 方程式ほうていしきでは、 $y^{1 - n}$ の置換ちかんによって非線型方程式ひせんけいほうていしきを一階線型方程式いっかいせんけいほうていしきへ帰着きちゃくする。

data/lecture/math/differential-equations/bernoulli-equations.lecture.n.md

8演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/classifying-and-solving-first-order-odes.exercise.n.md

Homogeneous First-Order Differential Equations and Substitution

1Introduction

This lecture explains how the substitution

v = \frac{y}{x}

reduces a homogeneous first-order differential equation to a separable equation. Here, homogeneous means dependence on the ratio $y / x$ ; it is distinct from the term homogeneous used for a second-order linear equation with zero right-hand side.

2Standard Form

A homogeneous first-order equation can be written as

y^{'} = F (\frac{y}{x}) .

Because $y / x$ is undefined at $x = 0$ , solutions are considered on intervals contained in either $x > 0$ or $x < 0$ .

3Introducing the Substitution $v = y / x$

Since the right-hand side depends only on $y / x$ , define

v (x) = \frac{y (x)}{x} .

Then $y = x v$ , and the product rule gives

y^{'} = v + x v^{'} .

Substitution converts the original equation into an equation involving $v$ and $x$ .

4Proposition: Reduction to a Separable Equation

Consider

y^{'} = F (\frac{y}{x})

on an interval where $x \neq 0$ . With $v = y / x$ , the function $v$ satisfies

x v^{'} = F (v) - v .

On a range where $F (v) - v \neq 0$ , this becomes the separable equation

\frac{d v}{F (v) - v} = \frac{d x}{x} .

4.1Proof

From $y = x v$ and the product rule,

y^{'} = v + x v^{'} .

Substitution gives

v + x v^{'} = F (v),

and hence $x v^{'} = F (v) - v$ . Since $x \neq 0$ , division by $x$ is valid; where $F (v) - v \neq 0$ , the variables can also be separated.

Before division by $F (v) - v$ , check its zeros. If $F (a) - a = 0$ , then $v = a$ and therefore $y = a x$ is a straight-line solution.

5Example: $y^{'} = 1 + y / x$

Set $v = y / x$ and $y = x v$ . Then

v + x v^{'} = 1 + v,

so $x v^{'} = 1$ and

v^{'} = \frac{1}{x} .

Integration yields

v = \log | x | + C .

Returning to $y = x v$ gives

y = x (\log | x | + C) .

6An Equation Outside the Scope

The equation

y^{'} = x + y

cannot be expressed as a function of $y / x$ alone, so the substitution $v = y / x$ does not apply. Rewriting it as

y^{'} - y = x

shows that it is a first-order linear equation.