Bernoulli 方程式ほうていしき

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Bernoulli 方程式ほうていしきを適切てきせつな置換ちかんによって一階線型方程式いっかいせんけいほうていしきへ帰着きちゃくする方法ほうほうを説明せつめいする。

一階線型いっかいせんけい

では、$$y$$y は 1 次じで現あらわれる。Bernoulli 方程式ほうていしきでは、右辺うへんに $$y^n$$y^n が現あらわれるため、そのままでは線型せんけいではない。しかし $$y^n$$y^n の形かたちが規則的きそくてきなので、$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} という置換ちかんで線型化せんけいかできる。

2標準形ひょうじゅんけい

Bernoulli 方程式ほうていしきBernoulli equationとは、

の形かたちに書かける一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきである。本講義ほんこうぎではまず $$n$$n を整数せいすうとして扱あつかう。$$n$$n を一般いっぱんの実数じっすうとして扱あつかう場合ばあいは、$$y^{1-n}$$y^{1-n} が実数値じっすうちで定義ていぎされ微分可能びぶんかのうな区間くかん、たとえば $$y>0$$y>0 の範囲はんいで考かんがえる。

ただし、$$n=0$$n=0 と $$n=1$$n=1 は特別とくべつである。$$n=0$$n=0 なら

であり、最初さいしょから一階線型いっかいせんけいである。$$n=1$$n=1 なら

すなわち

であり、これも一階線型いっかいせんけいである。したがって Bernoulli 置換ちかんが本質的ほんしつてきに必要ひつようなのは $$n\ne 0,1$$n\ne 0,1 の場合ばあいである。

3命題めいだい：Bernoulli 方程式ほうていしきは一階線型いっかいせんけいへ帰着きちゃくする

仮定かていとして、$$n\ne 0,1$$n\ne 0,1 であり、$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} が定義ていぎされ微分可能びぶんかのうな範囲はんいで

を考かんがえる。たとえば $$n$$n が整数せいすうなら $$y\ne 0$$y\ne 0 の範囲はんいでよい。$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} とおくと、$$u$$u は

を満みたす。これは $$u$$u に関かんする一階線型微分方程式いっかいせんけいびぶんほうていしきである。

3.1証明しょうめい

$$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} とおく。合成関数ごうせいかんすうの微分びぶんより、

である。元もとの方程式ほうていしきを $$y^n$$y^n で割わると、

である。ここで $$y^{1-n}=u$$y^{1-n}=u、また $$y^{-n}{y}^{\prime }=u^{\prime }/(1-n)$$y^{-n}y'=u'/(1-n) だから、

である。両辺りょうへんに $$1-n$$1-n を掛かけて、

を得える。

したがって Bernoulli 方程式ほうていしきは、置換ちかんによって一階線型いっかいせんけいへ帰着きちゃくする。

4解法かいほうの手順てじゅん

1. $$y^{\prime }+p\left(x\right)y=q\left(x\right)y^n$$y'+p(x)y=q(x)y^n に整理せいりする。
2. $$n=0$$n=0 または $$n=1$$n=1 でないかを確認かくにんする。
3. $$y=0$$y=0 が元もとの式しきを満みたすかを先さきに確認かくにんする。
4. $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} が定義ていぎされ微分可能びぶんかのうな範囲はんいで $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} と置おく。
5. $$u$$u の一階線型方程式いっかいせんけいほうていしきを積分因子せきぶんいんしで解とく。
6. $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} の実数値じっすうちで微分可能びぶんかのうな逆変換ぎゃくへんかんの各枝かくえだを、その成立区間せいりつくかんで選択せんたくし、元もとの方程式ほうていしきへ代入だいにゅうして検証けんしょうする。

$$y^n$$y^n で割わる操作そうさを行おこなうため、$$y=0$$y=0 の解かいを落おとさないように注意ちゅういする。

5例れい：$$y^{\prime }+y=x{y}^2$$y'+y=xy^2

は Bernoulli 方程式ほうていしきであり、$$n=2$$n=2、$$p\left(x\right)=1$$p(x)=1、$$q\left(x\right)=x$$q(x)=x である。まず $$y=0$$y=0 は元もとの式しきを満みたすので、定数解ていすうかいである。

つぎに $$y\ne 0$$y\ne 0 として、$$u=y^{1-2}=y^{-1}$$u=y^{1-2}=y^{-1} とおく。命題めいだいより、

だから

である。これは一階線型いっかいせんけいである。積分因子せきぶんいんしは

である。両辺りょうへんに $$e^{-x}$$e^{-x} を掛かけると、

である。積分せきぶんして

を得える。したがって

である。$$u=1/y$$u=1/y なので、

を得える。これに加くわえて、最初さいしょに確認かくにんした $$y=0$$y=0 も解かいである。

この式しきは、分母ぶんぼ $$x+1+C{e}^x$$x+1+Ce^x が 0 にならない連結区間れんけつくかんごとに解かいを定さだめる。分母ぶんぼの零点れいてんをまたいで解かいを延長えんちょうすることはできない。

6Logistic 方程式ほうていしきとの関係かんけい

$$r>0,K>0$$r>0, K>0 とする。Logistic 方程式ほうていしき

は

と整理せいりできるため、Bernoulli 方程式ほうていしきの特殊例とくしゅれいである。

ただし Logistic 方程式ほうていしきは自律方程式じりつほうていしきでもある。そのため、明示解めいじかいを求もとめる前まえに、右辺うへんの符号ふごうから解かいの増減ぞうげんと平衡解へいこうかいの近傍きんぼうでの向むきを判定はんていできる。

7適用範囲てきようはんい

Bernoulli 型がたは、非線型方程式ひせんけいほうていしきのうち特別とくべつに線型化せんけいかできる型かたである。非線型ひせんけいというだけで Bernoulli 型がたとは限かぎらない。$$y^n$$y^n が標準形ひょうじゅんけいに従したがって現あらわれているかを確認かくにんする必要ひつようがある。

また、置換ちかんは $$y\ne 0$$y\ne 0 の範囲はんいで行おこなう。$$y=0$$y=0 で元もとの方程式ほうていしきが定義ていぎされ、かつ $$y=0$$y=0 が実際じっさいに解かいとなる場合ばあいは、その定数解ていすうかいを別べつに扱あつかう。

8演習えんしゅうリンク

Bernoulli Equations

1Introduction

This lecture explains how an appropriate substitution reduces a Bernoulli equation to a first-order linear equation.

In the first-order linear equation

the unknown $$y$$y occurs to the first power. A Bernoulli equation also contains a term $$y^n$$y^n and is therefore generally nonlinear. Its power-law structure nevertheless permits linearization through the substitution $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n}.

2Standard Form

A Bernoulli equation is a first-order differential equation that can be written as

This lecture first treats integer values of $$n$$n. For a general real exponent $$n$$n, the analysis must be restricted to an interval on which $$y^{1-n}$$y^{1-n} is real-valued and differentiable; the region $$y>0$$y>0 is a standard choice.

The cases $$n=0$$n=0 and $$n=1$$n=1 are exceptional. If $$n=0$$n=0, the equation is

which is already first-order linear. If $$n=1$$n=1, then

or equivalently

which is also first-order linear. Thus the Bernoulli substitution is essential only when $$n\ne 0,1$$n\ne0,1.

3Proposition: Reduction of a Bernoulli Equation to First-Order Linear Form

Assume that $$n\ne 0,1$$n\ne0,1 and consider

on a region where $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} is defined and differentiable. For integer $$n$$n, it is sufficient to work where $$y\ne 0$$y\ne0. Under the substitution $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n}, the function $$u$$u satisfies

This is a first-order linear differential equation in $$u$$u.

3.1Proof

Set $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n}. The chain rule gives

Dividing the original equation by $$y^n$$y^n gives

Since $$y^{1-n}=u$$y^{1-n}=u and $$y^{-n}{y}^{\prime }=u^{\prime }/(1-n)$$y^{-n}y'=u'/(1-n), this equation becomes

Multiplication by $$1-n$$1-n yields

Therefore, the substitution reduces the Bernoulli equation to a first-order linear equation.

4Solution Procedure

1. Rewrite the equation as $$y^{\prime }+p\left(x\right)y=q\left(x\right)y^n$$y'+p(x)y=q(x)y^n.
2. Check whether $$n=0$$n=0 or $$n=1$$n=1.
3. Before division, determine whether $$y=0$$y=0 satisfies the original equation.
4. On a region where $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} is defined and differentiable, set $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n}.
5. Solve the resulting first-order linear equation in $$u$$u by an integrating factor.
6. On each interval of validity, select every real-valued differentiable branch of the inverse transformation from $$u=y^{1-n}$$u=y^{1-n} to $$y$$y, and verify it in the original equation.

Because the derivation divides by $$y^n$$y^n, the zero solution must be checked beforehand so that it is not discarded.

5Example: $$y^{\prime }+y=x{y}^2$$y'+y=xy^2

The equation

is a Bernoulli equation with $$n=2$$n=2, $$p\left(x\right)=1$$p(x)=1, and $$q\left(x\right)=x$$q(x)=x. The function $$y=0$$y=0 satisfies the original equation and is therefore a constant solution.

For $$y\ne 0$$y\ne0, set $$u=y^{1-2}=y^{-1}$$u=y^{1-2}=y^{-1}. The proposition gives

and hence

This is first-order linear. Its integrating factor is

Multiplication by $$e^{-x}$$e^{-x} gives

Integration yields

so

Since $$u=1/y$$u=1/y,

Together with this family, the previously identified function $$y=0$$y=0 is also a solution.

For each value of $$C$$C, the displayed formula defines a solution on every connected interval on which the denominator $$x+1+C{e}^x$$x+1+Ce^x is nonzero. The solution cannot be extended across a zero of the denominator.

6Connection with the Logistic Equation

Assume $$r>0$$r>0 and $$K>0$$K>0. The logistic equation

can be rewritten as

so it is a special Bernoulli equation.

The logistic equation is also autonomous. Before deriving an explicit solution, the sign of its right-hand side can therefore be used to determine monotonicity of solutions and their direction near equilibrium solutions.

7Scope

Bernoulli equations form a special class of nonlinear equations that can be linearized. A differential equation is not of Bernoulli type merely because it is nonlinear; the power $$y^n$$y^n must occur in the standard form specified above.

Moreover, the substitution is performed where $$y\ne 0$$y\ne0. If the original equation is defined at $$y=0$$y=0 and $$y=0$$y=0 is actually a solution, that constant solution must be treated separately.

8Exercises