一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきの分類ぶんるいと解法かいほう-基本演習きほんえんしゅう

date2026-07-13document_iddoc_bb27e9e5eae800696bc6445fd8fc2774description一階微分方程式の型判定、変数分離形、一階線型、完全微分方程式、Bernoulli 方程式、Logistic 方程式を扱う基本演習である。prerequisites一階微分方程式の分類と最初の判定 / 一階微分方程式の解法診断type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathdifferential-equationsexercisefirst-order

data/lecture/math/differential-equations/first-order-ode-solution-diagnostics.lecture.n.md

1演習えんしゅう方針ほうしん

この演習えんしゅうでは、計算けいさんを開始かいしする前まえに、方程式ほうていしきの型かたを判定はんていする。変数分離へんすうぶんりで直接ちょくせつ分離ぶんりできるか、一階線型いっかいせんけいとして積分因子せきぶんいんしを導入どうにゅうするか、完全微分かんぜんびぶんとしてポテンシャル関数かんすうを復元ふくげんするかを区別くべつすることが目的もくてきである。

2問題もんだい 1

次つぎの方程式ほうていしきに当あてはまる型かたをすべて挙あげ、その中なかから変形へんけいの軽かるい第一候補だいいちこうほの解法かいほうを選えらべ。型かたは排他的はいたてきとは限かぎらない。

y^{'} = x y, y^{'} + 2 y = e^{- x}, (2 x y + 1) d x + x^{2} d y = 0, y^{'} = y - y^{2}, y^{'} = \sin (x y)

2.1解答例かいとうれい

○

順じゅんに、(1) 変数分離形へんすうぶんりけいかつ一階線型いっかいせんけいで第一候補だいいちこうほは変数分離へんすうぶんり、(2) 一階線型いっかいせんけいで積分因子せきぶんいんし、(3) 完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきであり、 $x \neq 0$ の区間くかんでは一階線型いっかいせんけいでもあるが、第一候補だいいちこうほは除算不要じょざんふようの完全形かんぜんけい、(4) 自律じりつ・変数分離へんすうぶんり・Bernoulli にも該当がいとうする Logistic 方程式ほうていしきで、平衡解へいこうかいを保全ほぜんして変数分離へんすうぶんり、(5) 標準的ひょうじゅんてきな一階初等解法いっかいしょとうかいほうに直結ちょっけつしない型かたである。

2.2解説かいせつ

$y^{'} = x y$ は $d y / y = x d x$ と分離ぶんりでき、 $y^{'} - x y = 0$ と書かけば線型せんけいでもある。 $y^{'} + 2 y = e^{- x}$ は $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ の標準形ひょうじゅんけいである。 $(2 x y + 1) d x + x^{2} d y = 0$ は $M_{y} = 2 x$ 、 $N_{x} = 2 x$ なので完全性かんぜんせいを満みたす。また $x \neq 0$ では $y^{'} + (2 / x) y = - 1 / x^{2}$ と書かけるため一階線型いっかいせんけいでもあるが、完全形かんぜんけいなら $x^{2}$ で割わらずに解とける。 $y^{'} = y - y^{2}$ は $y^{'} = y (1 - y)$ であり、平衡解へいこうかいをもつ Logistic 型がたである。 $y^{'} = \sin (x y)$ は分離ぶんり、線型せんけい、完全かんぜん、Bernoulli の判定はんていに直結ちょっけつしない。

3問題もんだい 2

初期値問題しょきちもんだい

y^{'} = x y, y (0) = 1

を解とけ。

3.1解答例かいとうれい

○

y = e^{x^{2} / 2}

3.2解説かいせつ

$y^{'} = x y$ は $y \neq 0$ の範囲はんいで

\frac{d y}{y} = x d x

と分離ぶんりできる。積分せきぶんして

\log | y | = \frac{x^{2}}{2} + C

を得える。初期条件しょきじょうけん $y (0) = 1$ から $C = 0$ であり、解かいは $y = e^{x^{2} / 2}$ である。変数分離へんすうぶんりでは、分離後ぶんりごに初期条件しょきじょうけんを戻もどして定数ていすうを決定けっていする。

4問題もんだい 3

初期値問題しょきちもんだい

y^{'} + 2 y = e^{- x}, y (0) = 0

を積分因子せきぶんいんしで解とけ。

4.1解答例かいとうれい

○

y = e^{- x} - e^{- 2 x}

4.2解説かいせつ

標準形ひょうじゅんけいは $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ であり、ここでは $P (x) = 2$ である。積分因子せきぶんいんしは

μ (x) = e^{\int 2 d x} = e^{2 x}

となる。したがって

(e^{2 x} y)^{'} = e^{2 x} e^{- x} = e^{x}

である。積分せきぶんして $e^{2 x} y = e^{x} + C$ 、すなわち $y = e^{- x} + C e^{- 2 x}$ を得える。初期条件しょきじょうけんから $0 = 1 + C$ なので $C = - 1$ である。

5問題もんだい 4

微分方程式びぶんほうていしき

(2 x y + 1) d x + x^{2} d y = 0

を完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきとして解とけ。

5.1解答例かいとうれい

○

x^{2} y + x = C

5.2解説かいせつ

$M = 2 x y + 1$ 、 $N = x^{2}$ とおくと、 $M_{y} = 2 x$ 、 $N_{x} = 2 x$ である。したがって単連結たんれんけつな領域りょういきでは完全かんぜんである。ポテンシャル関数かんすう $Φ$ は

Φ_{x} = 2 x y + 1

を満みたすので、 $x$ で積分せきぶんして

Φ = x^{2} y + x + h (y)

と表あらわせる。さらに $Φ_{y} = x^{2} + h^{'} (y)$ が $N = x^{2}$ に一致いっちするため、 $h^{'} (y) = 0$ である。よって $Φ = C$ が解曲線かいきょくせんである。

6問題もんだい 5

初期値問題しょきちもんだい

y^{'} = y - y^{2}, y (0) = \frac{1}{2}

を解とき、平衡解へいこうかいとの関係かんけいを説明せつめいせよ。

6.1解答例かいとうれい

○

y = \frac{1}{1 + e^{- x}}

平衡解へいこうかいは $y = 0, 1$ であり、この初期値しょきちの解かいは $x \to \infty$ で $1$ に近ちかづく。

6.2解説かいせつ

$y^{'} = y (1 - y)$ は変数分離へんすうぶんりにより

\frac{d y}{y (1 - y)} = d x

となる。部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかいにより

\log | \frac{y}{1 - y} | = x + C

を得える。 $y (0) = 1 / 2$ から $C = 0$ であるため $y / (1 - y) = e^{x}$ 、すなわち $y = 1 / (1 + e^{- x})$ である。右辺うへん $y (1 - y)$ の符号ふごうから、 $0 < y < 1$ では増加ぞうかし、 $y = 1$ が安定あんていな平衡解へいこうかいである。

7問題もんだい 6

$y^{'} = \sin (x y)$ に対たいして、上うえの分類ぶんるいに基もとづく初等解法しょとうかいほうを機械的きかいてきに適用てきようできない理由りゆうを述のべよ。

7.1解答例かいとうれい

○

$\sin (x y)$ は $x$ だけの因子いんしと $y$ だけの因子いんしに分離ぶんりされず、 $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ の形かたちにもならず、完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしきの形かたちにも直接変形ちょくせつへんけいされない。したがって、まず存在一意性そんざいいちいせい、数値解法すうちかいほう、定性的解析ていせいてきかいせきへ切きり替かえるのが自然しぜんである。

7.2解説かいせつ

一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきでは、解法かいほうを選択せんたくする前まえに型かたを確認かくにんする。どの標準型ひょうじゅんがたにも直結ちょっけつしない場合ばあい、無理むりに公式こうしきへ代入だいにゅうしない。存在一意性そんざいいちいせい、方向場ほうこうば、数値解法すうちかいほう、近似きんじの役割やくわりを確認かくにんすることが次つぎの作業さぎょうである。

8問題もんだい 7

微分方程式びぶんほうていしき

y^{'} = {(\frac{y}{x})}^{2}

について、定義域ていぎりょういきを確認かくにんし、 $v = y / x$ で変形へんけいせよ。変形後へんけいごに割わる因子いんしが 0 になる解かいを先さきに保全ほぜんし、一般解いっぱんかいを求もとめよ。

8.1解答例かいとうれい

○

方程式ほうていしきは $x \neq 0$ で定義ていぎされるため、 $x > 0$ または $x < 0$ の区間くかんで解とく。 $y = v x$ とおくと

v + x v^{'} = v^{2}, x v^{'} = v (v - 1)

となる。 $v (v - 1)$ で割わる前まえに $v = 0, 1$ 、すなわち $y = 0, x$ を解かいとして確認かくにんする。 $v \neq 0, 1$ では

\frac{d v}{v (v - 1)} = \frac{d x}{x}

を積分せきぶんして $\log | (v - 1) / v | = \log | x | + C$ を得える。定数ていすうを取とり直なおすと

y = \frac{x}{1 - C x}

である。 $C = 0$ は $y = x$ を含ふくみ、 $y = 0$ は別べつに保全ほぜんした解かいである。

8.2解説かいせつ

置換ちかんの前まえには元方程式もとほうていしきの定義域ていぎりょういきを、除算じょざんの前まえには 0 になる因子いんしを確認かくにんする。解かいを述のべる区間くかんは $x = 0$ と、 $C \neq 0$ なら $x = 1 / C$ を含ふくまない連結区間れんけつくかんである。