一階いっかい微分方程式びぶんほうていしきの解法診断かいほうしんだん

date2026-07-16document_iddoc_88992b92abd9529a5319c2142a42cec2description一階微分方程式が複数の型に重なることを前提に、定義域と定数解を保全して最も軽い解法を選ぶ診断手順を整理する。prerequisites一階微分方程式の分類と最初の判定 / 変数分離形と自律方程式 / 一階線型微分方程式と積分因子 / 完全微分方程式 / 同次形一階微分方程式と置換 / Bernoulli 方程式 / 積分法の基本type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、一階方程式いっかいほうていしきを構造こうぞうが明瞭めいりょうで必要ひつような変形へんけいが少すくない型かたから順じゅんに診断しんだんし、解法かいほうを選択せんたくする方法ほうほうを説明せつめいする。1 つの方程式ほうていしきが複数ふくすうの型かたに属ぞくすることがあるため、診断木しんだんきは排他的分類はいたてきぶんるいではなく優先手順ゆうせんてじゅんとして読よむ。

2診断順序しんだんじゅんじょの根拠こんきょ

診断しんだんの順序じゅんじょは、確認かくにんに必要ひつような変形量へんけいりょうで決定けっていする。変数分離形へんすうぶんりけいと自律方程式じりつほうていしきは式しきの因子構造いんしこうぞうや右辺うへんの依存関係いぞんかんけいを直接ちょくせつ確認かくにんできる。一階線型いっかいせんけいは、係数けいすうが $x$ のみに依存いぞんし、 $y$ と $y^{'}$ が線型せんけいに現あらわれるかを確認かくにんする。完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしき、Bernoulli 型がた、同次形どうじけいは、それぞれ微分形式びぶんけいしきの変換へんかんや置換ちかんを必要ひつようとするため、その後あとに確認かくにんする。

この順序じゅんじょを採用さいようすると、単純たんじゅんな構造こうぞうを複雑ふくざつな置換ちかんで覆おおう誤用ごようを避さけられる。診断しんだんは計算けいさんの前処理まえしょりであり、解法かいほうそのものではない。

3診断木しんだんき

右辺うへんの定義域ていぎいきと、これから割わる因子いんしが 0 になる場合ばあいを確認かくにんする。
$y^{'} = F (y)$ なら自律方程式じりつほうていしきとして $F (c) = 0$ の平衡解へいこうかい $y = c$ を先さきに保全ほぜんする。非平衡枝ひへいこうえだは変数分離へんすうぶんりできる。
$y^{'} = f (x) g (y)$ に整理せいりできるなら変数分離へんすうぶんりを第一候補だいいちこうほにする。ただし $g (y) = 0$ の定数解ていすうかいを除外じょがいしない。
$y^{'} + P (x) y = Q (x)$ に整理せいりできるなら積分因子せきぶんいんしを用もちいる。変数分離形へんすうぶんりけいにもなる場合ばあいは、計算手順けいさんてじゅんが短みじかい方法ほうほうを選択せんたくする。
$M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ なら、完全性かんぜんせい $M_{y} = N_{x}$ と領域条件りょういきじょうけんを確認かくにんする。
$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ なら Bernoulli 置換ちかん $u = y^{1 - n}$ を検討けんとうする。
$y^{'} = F (y / x)$ なら、 $x \neq 0$ の区間くかんで $v = y / x$ の置換ちかんを検討けんとうする。

4判定表はんていひょう

型かた	判定語はんていご	典型的てんけいてきな誤判定ごはんてい
変数分離形へんすうぶんりけい	$x$ の因子いんしと $y$ の因子いんしに分解ぶんかいできる	$x + y$ を積せきのように扱あつかう
一階線型いっかいせんけい	係数けいすうが $x$ のみに依存いぞんし、 $y, y^{'}$ が線型せんけいに出現しゅつげんする	$y y^{'}$ や $y^{2}$ を含ふくむのに線型せんけいと判定はんていする
完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしき	$M d x + N d y$ の形かたち	領域条件りょういきじょうけんを省略しょうりゃくする
Bernoulli	$y^{n}$ を含ふくむが置換ちかんで線型化せんけいかできる	非線型ひせんけいという理由りゆうだけで除外じょがいする
同次形どうじけい	$y / x$ の関数かんすう	同次線型どうじせんけいと混同こんどうする

5分岐ぶんきごとの確認点かくにんてん

分岐ぶんき	確認かくにんする式しきの特徴とくちょう	失敗しっぱいしやすい判断はんだん
変数分離形へんすうぶんりけい	$y^{'} = f (x) g (y)$ または $A (y) y^{'} = B (x)$	$x + y$ を $f (x) g (y)$ と誤認ごにんする
一階線型いっかいせんけい	$y^{'}$ と $y$ が一次いちじで、係数けいすうが $x$ のみ	$y y^{'}$ や $y^{2}$ を含ふくむ式しきを線型せんけいと判定はんていする
完全微分方程式かんぜんびぶんほうていしき	$M d x + N d y = 0$ で $M_{y} = N_{x}$	領域りょういきの穴あなや、単連結性たんれんけつせいなど大域的完全性たいいきてきかんぜんせいを保証ほしょうする十分条件じゅうぶんじょうけんを省略しょうりゃくする
Bernoulli	$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$	$n = 0, 1$ の退化たいかを通常つうじょうの Bernoulli 型がたとして処理しょりする
同次形どうじけい	$y^{'} = F (y / x)$	同次線型どうじせんけい $L [y] = 0$ と混同こんどうする

6具体例ぐたいれい

y^{'} = x y

は変数分離形へんすうぶんりけいであると同時どうじに、 $y^{'} - x y = 0$ という一階線型いっかいせんけいでもある。まず $y = 0$ が定数解ていすうかいであることを保全ほぜんし、 $y \neq 0$ の枝えだでは計算手順けいさんてじゅんが短みじかい変数分離へんすうぶんりを選択せんたくする。

y^{'} + x y = 1

は分離ぶんりではなく $P (x) = x, Q (x) = 1$ の一階線型いっかいせんけいである。したがって積分因子せきぶんいんしを選択せんたくする。

7変形後へんけいごに診断しんだんが変化へんかする例れい

y^{'} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2}, x \neq 0

は $x > 0$ または $x < 0$ の各区間かくくかんで考かんがえる。 $v = y / x$ と置換ちかんすると $y = v x$ 、 $y^{'} = v + x v^{'}$ であるため、

v + x v^{'} = v + v^{2}

となり、 $x v^{'} = v^{2}$ の変数分離形へんすうぶんりけいへ変換へんかんされる。 $v^{2}$ で割わる前まえに、 $v = 0$ 、すなわち $y = 0$ が解かいであることも確認かくにんする。

この例れいでは、 $y / x$ だけを通とおして $x, y$ が現あらわれることが同次形置換どうじけいちかんの根拠こんきょになる。置換後ちかんごにも除算じょざんで失うしなう枝えだの確認かくにんを繰くり返かえし、 $x = 0$ を横切よこぎる解かいをこの計算けいさんから主張しゅちょうしない。

8診断不能しんだんふのうな場合ばあいの扱あつかい

y^{'} = \sin (x y)

のような方程式ほうていしきは、上うえの初等的しょとうてきな型かたに直接ちょくせつ該当がいとうしない。右辺うへん $f (x, y) = \sin (x y)$ と $y$ による偏導関数へんどうかんすう $f_{y} (x, y) = x \cos (x y)$ は連続れんぞくである。局所解きょくしょかいの存在そんざいには $f$ の連続性れんぞくせいを、一意性いちいせいには $y$ に関かんする局所きょくしょ Lipschitz 連続性れんぞくせいを使用しようすることを、後続こうぞくの存在そんざい・一意性定理いちいせいていりの講義こうぎで確認かくにんする。この場合ばあいは、初等解法しょとうかいほうの探索たんさくを継続けいぞくするより、後続こうぞくの講義こうぎで導入どうにゅうする方向場ほうこうば・数値解法すうちかいほう・定性的解析ていせいてきかいせきへ移行いこうする判断はんだんが妥当だとうである。

9適用範囲てきようはんい

この診断木しんだんきは初等解法しょとうかいほうの入口いりぐちである。診断木しんだんきのどこにも該当がいとうしない方程式ほうていしきでも、解かいが存在そんざいしないとは限かぎらない。数値解法すうちかいほうや定性的解析ていせいてきかいせきへ移行いこうする判断はんだんが必要ひつようになる。

10演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/classifying-and-solving-first-order-odes.exercise.n.md

11次つぎに参照さんしょうするページ

data/lecture/math/differential-equations/lipschitz-condition-and-continuity.lecture.n.md

Selecting a Solution Method for First-Order Differential Equations

1Introduction

This lecture explains how to identify the structure of a first-order differential equation and select a solution method, beginning with forms that require the least transformation. Because one equation may belong to several classes, the diagnostic tree is a priority order rather than an exclusive classification.

2Rationale for the Diagnostic Order

The order is determined by the amount of algebraic transformation required to recognize each structure. Separable and autonomous equations can be identified directly from factorization and dependence of the right-hand side. A first-order linear equation is identified by checking whether $y$ and $y^{'}$ occur linearly, with coefficients depending only on $x$ . Exact differential equations, Bernoulli equations, and homogeneous first-order equations are considered afterward because they require conversion to a differential form or an appropriate substitution.

This order prevents a simple structure from being obscured by an unnecessarily complicated substitution. Diagnosis is a preliminary step before computation; it is not itself a solution method.

3Diagnostic Tree

Determine the domain of the right-hand side and identify every factor that may vanish before dividing by it.
If $y^{'} = F (y)$ , treat the equation as autonomous and first preserve every equilibrium solution $y = c$ satisfying $F (c) = 0$ . The non-equilibrium branches are separable.
If the equation can be written as $y^{'} = f (x) g (y)$ , use separation of variables as the first candidate, while retaining constant solutions for which $g (y) = 0$ .
If the equation can be written as $y^{'} + P (x) y = Q (x)$ , use an integrating factor. If it is also separable, choose the method with the shorter computation.
If the equation has the form $M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0$ , check the exactness condition $M_{y} = N_{x}$ together with the domain conditions.
If the equation has the form $y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$ , consider the Bernoulli substitution $u = y^{1 - n}$ .
If the equation has the form $y^{'} = F (y / x)$ , consider the substitution $v = y / x$ on an interval where $x \neq 0$ .

4Classification Table

Type	Diagnostic feature	Typical misclassification
Separable	Can be factored into an $x$ -dependent factor and a $y$ -dependent factor	Treating $x + y$ as though it were a product
First-order linear	$y$ and $y^{'}$ occur linearly, with coefficients depending only on $x$	Classifying an equation containing $y y^{'}$ or $y^{2}$ as linear
Exact differential equation	Has the differential form $M d x + N d y$	Omitting the domain conditions
Bernoulli	Contains $y^{n}$ and can be linearized by substitution	Excluding it merely because it is nonlinear
Homogeneous first-order	Depends on $y / x$	Confusing it with a homogeneous linear equation

5Checks for Each Branch

Branch	Structural feature to verify	Common error
Separable	$y^{'} = f (x) g (y)$ or $A (y) y^{'} = B (x)$	Mistaking $x + y$ for $f (x) g (y)$
First-order linear	$y^{'}$ and $y$ occur to the first power, with coefficients depending only on $x$	Classifying an equation containing $y y^{'}$ or $y^{2}$ as linear
Exact differential equation	$M d x + N d y = 0$ with $M_{y} = N_{x}$	Ignoring holes in the domain or a sufficient global condition such as simple connectivity
Bernoulli	$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$	Treating the degenerate cases $n = 0, 1$ as ordinary Bernoulli cases
Homogeneous first-order	$y^{'} = F (y / x)$	Confusing it with the homogeneous linear equation $L [y] = 0$

6Examples

The equation

y^{'} = x y

is separable and is also first-order linear in the form $y^{'} - x y = 0$ . First retain the constant solution $y = 0$ . On the branch $y \neq 0$ , separation of variables is preferable because it requires fewer steps.

The equation

y^{'} + x y = 1

is not separable; it is first-order linear with $P (x) = x$ and $Q (x) = 1$ . An integrating factor is therefore appropriate.

7Example in Which the Classification Changes after Substitution

Consider

y^{'} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{2}, x \neq 0,

on an interval contained in either $x > 0$ or $x < 0$ . Set $v = y / x$ , so that $y = v x$ and $y^{'} = v + x v^{'}$ . Substitution gives

v + x v^{'} = v + v^{2},

which becomes the separable equation $x v^{'} = v^{2}$ . Before division by $v^{2}$ , also retain the solution $v = 0$ , corresponding to $y = 0$ .

In this example, dependence on $x$ and $y$ only through the ratio $y / x$ justifies the homogeneous substitution. After substitution, one must again check for branches that division would discard. This calculation does not justify a solution that crosses $x = 0$ .

8When No Elementary Branch Applies

An equation such as

y^{'} = \sin (x y)

does not directly belong to any of the elementary classes above. The right-hand side $f (x, y) = \sin (x y)$ and its partial derivative with respect to $y$ ,

f_{y} (x, y) = x \cos (x y),

are continuous. A subsequent lecture on existence and uniqueness will use continuity of $f$ to establish local existence and local Lipschitz continuity in $y$ to establish uniqueness. In this situation, it is appropriate to proceed from the search for an elementary solution to direction fields, numerical methods, and qualitative analysis introduced in subsequent lectures.

9Scope

This diagnostic tree is an entry point to elementary methods. Failure to match any branch does not imply that the equation has no solution. It may instead indicate that numerical methods or qualitative analysis are required.

10Exercises