初期値問題しょきちもんだいの存在そんざい・一意性いちいせいと最大存在区間さいだいそんざいくかん

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、初期値問題しょきちもんだいで「解かいが存在そんざいすること」と「解かいが 1 本ほんに決定けっていされること」を分離ぶんりして理解りかいする。

2対象たいしょうとする初期値問題しょきちもんだい

標準形ひょうじゅんけいは

である。ここで問題もんだいにするのは、解かいの公式こうしきではなく、初期点しょきてん $$(x_0,y_0)$$(x_0,y_0) の近傍きんぼうで解かいが存在そんざいするか、さらに一意いちいに決定けっていされるかである。

3存在そんざいと一意性いちいせいを区別くべつする理由りゆう

解析解かいせきかいが得えられなくても、解かいの存在そんざいや一意性いちいせいは判定はんていできる。存在そんざいには右辺うへん $$f$$f の連続性れんぞくせいが基本きほんになる。一方いっぽう、$$y$$y 方向ほうこうへの局所きょくしょ Lipschitz 性せいは一意性いちいせいを導みちびく標準的ひょうじゅんてきな十分条件じゅうぶんじょうけんである。Lipschitz 性せいは必要条件ひつようじょうけんではない。

4局所存在きょくしょそんざい・一意性定理いちいせいていり

4.1Peano の存在定理そんざいていり

$$D\subset R^2$$D\subset\mathbb{R}^2 を開領域かいりょういきとし、$$(x_0,y_0)\in D$$(x_0,y_0)\in D とする。$$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R} が連続れんぞくなら、ある $$h>0$$h>0 が存在そんざいし、初期値問題しょきちもんだい

は $$|x-x_0|<h$$|x-x_0|<h で少すくなくとも 1 つの解かいをもつ。この定理ていりは一意性いちいせいを主張しゅちょうしない。

4.2Picard--Lindelof の定理ていり

$$D\subset R^2$$D\subset\mathbb{R}^2 を開領域かいりょういきとし、$$(x_0,y_0)\in D$$(x_0,y_0)\in D とする。$$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R} が連続れんぞくで、$$y$$y に関かんして局所きょくしょ Lipschitz なら、ある $$h>0$$h>0 が存在そんざいし、上うえの初期値問題しょきちもんだいは $$|x-x_0|<h$$|x-x_0|<h で一意解いちいかいをもつ。ここで一意いちいとは、同おなじ初期条件しょきじょうけんを満みたす 2 解かいが共通定義区間きょうつうていぎくかんで一致いっちすることを意味いみする。

この関係かんけいは、次つぎの二段構成にだんこうせいで整理せいりできる。

5Lipschitz 条件じょうけんが一意性いちいせいに作用さようする理由りゆう

直前ちょくぜんのページでは、同一初期値どういつしょきちを持もつ 2 解かいの差さを Lipschitz 定数ていすうで抑おさえ、Gronwall 不等式ふとうしきへ接続せつぞくした。このページでは、その機構きこうを Picard-Lindelof の仮定かていと結論けつろんとして使用しようする。

6判定表はんていひょう

7最大存在区間さいだいそんざいくかんと延長えんちょう

$$f$$f が開領域かいりょういき $$D$$D で連続れんぞくかつ $$y$$y に関かんして局所きょくしょ Lipschitz であるとする。Picard--Lindelof の定理ていりによる局所一意解きょくしょいちいかいを一致いっちする部分ぶぶんで重かさね合あわせると、初期時刻しょきじこくを含ふくむ 1 つの最大開区間さいだいかいくかん $$(\alpha ,\beta )$$(\alpha,\beta) まで一意いちいに延長えんちょうできる。これを最大存在区間さいだいそんざいくかんmaximal interval of existenceという。

実平面じつへいめんでは、閉へいかつ有界ゆうかいな部分集合ぶぶんしゅうごうをコンパクト集合しゅうごうcompact setという。

有限端点ゆうげんたんてん、たとえば $$\beta <\mathrm{\infty }$$\beta<\infty で延長えんちょうが停止ていしするなら、$$x\to {\beta }^{-}$$x\to\beta^- で解かいのグラフ $$(x,y(x\left)\right)$$(x,y(x)) は $$D$$D のどのコンパクト部分集合ぶぶんしゅうごうにも留とどまり続つづけられない。もし終端近傍しゅうたんきんぼうでコンパクト集合しゅうごう $$K\subset D$$K\subset D に留とどまるなら、$$f$$f は $$K$$K 上じょうで有界ゆうかいなので $$\left|y^{\prime }\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}M$$|y'|\le M となる。したがって $$y\left(x\right)$$y(x) は $$x\to {\beta }^{-}$$x\to\beta^- で Cauchy となり、有限極限ゆうげんきょくげん $$y_{\beta }$$y_\beta を持もつ。$$K$$K は閉へいじているため $$(\beta ,y_{\beta })\in K\subset D$$(\beta,y_\beta)\in K\subset D であり、この点てんで局所存在きょくしょそんざい・一意性定理いちいせいていりを再適用さいてきようすれば $$\beta$$\beta を越こえて延長えんちょうでき、最大性さいだいせいに反はんする。$$D=R^2$$D=\mathbb{R}^2 なら、有限端点ゆうげんたんてんで停止ていしするためには $$\left|y\right(x\left)\right|$$|y(x)| が有界ゆうかいでなくなる。局所一意性きょくしょいちいせいだけから $$\alpha =-\mathrm{\infty },\beta =\mathrm{\infty }$$\alpha=-\infty,\ \beta=\infty を結論けつろんしてはならない。

一方いっぽう、$$f$$f が全平面ぜんへいめんで連続れんぞくかつ $$y$$y に関かんして $$x$$x に一様いちような大域たいいき Lipschitz 条件じょうけん

を満みたすとする。任意にんいの $$T>0$$T>0 に対たいし、初期時刻しょきじこくを中心ちゅうしんとする有限時間区間ゆうげんじかんくかん $$|x-x_0|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}T$$|x-x_0|\le T では、連続性れんぞくせいにより $$\left|f\right(x,0\left)\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{M}_T$$|f(x,0)|\le M_T となる。したがって

である。$$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}{x}_0$$x\ge x_0 とし、$$A=\left|y_0\right|+M_{T}T$$A=|y_0|+M_TT とおくと、積分形せきぶんけいから $$u\left(x\right)=\left|y\right(x\left)\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}A+L{\int }_{x_0}^{x}u\left(t\right)dt$$u(x)=|y(x)|\le A+L\int_{x_0}^x u(t)\,dt である。$$z\left(x\right)=A+L{\int }_{x_0}^{x}u\left(t\right)dt$$z(x)=A+L\int_{x_0}^x u(t)\,dt とおけば $$z^{\prime }\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}Lz$$z'\le Lz かつ $$z\left(x_0\right)=A$$z(x_0)=A なので、$$e^{-Lx}z\left(x\right)$$e^{-Lx}z(x) の単調性たんちょうせいから $$u\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}A{e}^{L(x-x_0)}$$u(x)\le Ae^{L(x-x_0)} を得える。$$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{x}_0$$x\le x_0 でも積分区間せきぶんくかんを反転はんてんして同様どうようである。したがって有限時間区間ゆうげんじかんくかんで $$\left|y\right(x\left)\right|$$|y(x)| は有限ゆうげんに保たもたれ、有限時間爆発ゆうげんじかんばくはつは発生はっせいしない。延長不能条件えんちょうふのうじょうけんから最大存在区間さいだいそんざいくかんは $$\mathbb{R}$$\mathbb{R} である。

8具体例ぐたいれい

8.1一意いちいに存在そんざいする例れい

では $$f(x,y)=y$$f(x,y)=y であり、$$\mathit{\partial }f/\mathit{\partial }y=1$$\partial f/\partial y=1 は連続れんぞくである。したがって局所的きょくしょてきに一意解いちいかいが存在そんざいする。実際じっさい、解かいは $$y=e^x$$y=e^x である。

8.2一意性いちいせいが破綻はたんする例れい

では $$f\left(y\right)=\sqrt{\left|y\right|}$$f(y)=\sqrt{|y|} は連続れんぞくであるため、Peano の定理ていりにより局所解きょくしょかいの存在そんざいは保証ほしょうされる。しかし $$y=0$$y=0 の近傍きんぼうで Lipschitz 条件じょうけんが成立せいりつしない。実際じっさい、$$y\left(x\right)=0$$y(x)=0 は解かいであり、任意にんいの $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$a\ge 0 に対たいして

も解かいになる。同一どういつの初期条件しょきじょうけんから複数ふくすうの解かいが出現しゅつげんするため、一意性いちいせいは成立せいりつしない。

8.3最大存在区間さいだいそんざいくかんが有限ゆうげんで終おわる例れい

では分離ぶんりにより

を得える。この解かいは $$x=1$$x=1 で発散はっさんするため、初期時刻しょきじこく 0 を含ふくむ最大存在区間さいだいそんざいくかんは $$(-\mathrm{\infty },1)$$(-\infty,1) である。右辺うへんは全平面ぜんへいめんで滑なめらかでも、局所きょくしょ Lipschitz 性せいだけでは有限時間爆発ゆうげんじかんばくはつを防ふせげない。

9適用上てきようじょうの注意ちゅうい

• $$\mathit{\partial }f/\mathit{\partial }y$$\partial f/\partial y の連続性れんぞくせいを必要条件ひつようじょうけんとして扱あつかってはならない。
• 解かいが存在そんざいすることと、初等関数しょとうかんすうで表現ひょうげんできることを混同こんどうしてはならない。
• 局所解きょくしょかいの存在そんざいと大域解たいいきかいの存在そんざいを混同こんどうしてはならない。

10適用範囲てきようはんい

ここで扱あつかった定理ていりは一階初期値問題いっかいしょきちもんだいの局所理論きょくしょりろんである。境界値問題きょうかいちもんだいや偏微分方程式へんびぶんほうていしきでは、別べつの条件じょうけんと理論りろんが必要ひつようになる。

11次つぎの講義こうぎ

12演習えんしゅうリンク

Existence, Uniqueness, and the Maximal Interval for an Initial Value Problem

1Introduction

This lecture distinguishes the existence of a solution to an initial value problem from the uniqueness of that solution.

2Initial Value Problem under Consideration

The standard form is

The principal questions are not whether an explicit formula is available, but whether a solution exists near the initial point $$(x_0,y_0)$$(x_0,y_0) and whether that solution is uniquely determined.

3Why Existence and Uniqueness Must Be Distinguished

Existence and uniqueness can often be decided even when no analytic formula is available. Continuity of the right-hand side $$f$$f is the basic hypothesis for existence. Local Lipschitz continuity in the $$y$$y-variable is a standard sufficient condition for uniqueness, but it is not necessary.

4Local Existence and Uniqueness Theorems

4.1Peano Existence Theorem

Let $$D\subset R^2$$D\subset\mathbb{R}^2 be open and let $$(x_0,y_0)\in D$$(x_0,y_0)\in D. If $$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R} is continuous, then there exists $$h>0$$h>0 such that the initial value problem

has at least one solution on $$|x-x_0|<h$$|x-x_0|<h. This theorem does not assert uniqueness.

4.2Picard--Lindelof Theorem

Let $$D\subset R^2$$D\subset\mathbb{R}^2 be open and let $$(x_0,y_0)\in D$$(x_0,y_0)\in D. If $$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R} is continuous and locally Lipschitz in $$y$$y, then there exists $$h>0$$h>0 such that the initial value problem has a unique solution on $$|x-x_0|<h$$|x-x_0|<h. Uniqueness means that any two solutions with the same initial condition coincide wherever both are defined.

The two levels of conclusion can be summarized as

and the useful sufficient test

5Why the Lipschitz Condition Produces Uniqueness

The preceding lecture bounded the difference between two solutions with the same initial value by a Lipschitz constant and then applied the zero-initial-value form of Gronwall's inequality. Here that mechanism is used through the hypotheses and conclusion of the Picard--Lindelof theorem.

6Decision Table

7Maximal Interval of Existence and Continuation

Assume that $$f$$f is continuous on an open region $$D$$D and locally Lipschitz in $$y$$y. Local unique solutions furnished by the Picard--Lindelof theorem agree on overlaps and therefore combine into a unique solution on a maximal open interval $$(\alpha ,\beta )$$(\alpha,\beta) containing the initial time. This interval is the maximal interval of existence.

In the plane, a closed and bounded subset is called a compact set.

If continuation stops at a finite endpoint, for example if $$\beta <\mathrm{\infty }$$\beta<\infty, then as $$x\to {\beta }^{-}$$x\to\beta^- the graph $$(x,y(x\left)\right)$$(x,y(x)) cannot remain in any compact subset of $$D$$D. If it eventually remained in a compact set $$K\subset D$$K\subset D, continuity would bound $$f$$f on $$K$$K, so $$\left|y^{\prime }\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}M$$|y'|\le M. Hence $$y\left(x\right)$$y(x) would be Cauchy as $$x\to {\beta }^{-}$$x\to\beta^- and would have a finite limit $$y_{\beta }$$y_\beta. Since $$K$$K is closed, $$(\beta ,y_{\beta })\in K\subset D$$(\beta,y_\beta)\in K\subset D. Reapplying the local theorem at this point would continue the solution beyond $$\beta$$\beta, contradicting maximality. In particular, when $$D=R^2$$D=\mathbb{R}^2, termination at a finite endpoint requires $$\left|y\right(x\left)\right|$$|y(x)| to become unbounded. Local uniqueness alone does not imply $$\alpha =-\mathrm{\infty }$$\alpha=-\infty and $$\beta =\mathrm{\infty }$$\beta=\infty.

Now suppose that $$f$$f is continuous on all of $$R^2$$\mathbb{R}^2 and satisfies a global Lipschitz condition in $$y$$y, uniform in $$x$$x:

For any $$T>0$$T>0, continuity gives a bound $$\left|f\right(x,0\left)\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{M}_T$$|f(x,0)|\le M_T on the finite interval $$|x-x_0|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}T$$|x-x_0|\le T. Hence

For $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}{x}_0$$x\ge x_0, set $$A=\left|y_0\right|+M_{T}T$$A=|y_0|+M_TT. The integral equation gives $$u\left(x\right)=\left|y\right(x\left)\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}A+L{\int }_{x_0}^{x}u\left(t\right)dt$$u(x)=|y(x)|\le A+L\int_{x_0}^x u(t)\,dt. Defining $$z\left(x\right)=A+L{\int }_{x_0}^{x}u\left(t\right)dt$$z(x)=A+L\int_{x_0}^x u(t)\,dt gives $$z^{\prime }\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}Lz$$z'\le Lz and $$z\left(x_0\right)=A$$z(x_0)=A, so monotonicity of $$e^{-Lx}z\left(x\right)$$e^{-Lx}z(x) yields $$u\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}A{e}^{L(x-x_0)}$$u(x)\le Ae^{L(x-x_0)}. Reversing the integration interval gives the analogous estimate for $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{x}_0$$x\le x_0. Thus $$\left|y\right(x\left)\right|$$|y(x)| remains finite on every finite time interval. Finite-time blow-up is impossible, and the continuation criterion implies that the maximal interval of existence is all of $$\mathbb{R}$$\mathbb{R}.

8Examples

8.1An Initial Value Problem with a Unique Solution

For

we have $$f(x,y)=y$$f(x,y)=y and $$\mathit{\partial }f/\mathit{\partial }y=1$$\partial f/\partial y=1, which is continuous. A unique local solution therefore exists. In fact, the solution is $$y=e^x$$y=e^x.

8.2Failure of Uniqueness

For

the function $$f\left(y\right)=\sqrt{\left|y\right|}$$f(y)=\sqrt{|y|} is continuous, so the Peano theorem guarantees a local solution. It is not Lipschitz near $$y=0$$y=0. The function $$y\left(x\right)=0$$y(x)=0 is a solution, and for every $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$a\ge0,

is also a solution. Thus the same initial condition produces multiple solutions, and uniqueness fails.

8.3A Finite Maximal Interval of Existence

For

separation of variables gives

The solution diverges at $$x=1$$x=1, so the maximal interval containing the initial time $$0$$0 is $$(-\mathrm{\infty },1)$$(-\infty,1). Although the right-hand side is smooth on the entire plane, local Lipschitz continuity alone does not prevent finite-time blow-up.

9Cautions in Applying the Theorems

• Continuity of $$\mathit{\partial }f/\mathit{\partial }y$$\partial f/\partial y must not be treated as a necessary condition for uniqueness.
• Existence of a solution must not be confused with representability by elementary functions.
• Local existence must not be confused with global existence.

10Scope

The theorems treated here constitute a local theory for first-order initial value problems. Boundary value problems and partial differential equations require different hypotheses and theories.

11Next Lecture

12Exercises