存在一意性そんざいいちいせいと数値解法すうちかいほう-基本演習きほんえんしゅう

date2026-07-13document_iddoc_f4959cbbe82f1db4147d1bc3282f7b93description初期値問題の存在一意性、Lipschitz 条件、最大存在区間、Euler 法の誤差と安定性を扱う基本演習である。prerequisites初期値問題の存在・一意性と最大存在区間 / 方向場・Euler 法・誤差と安定性の入口type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathdifferential-equationsexerciseexistence-uniquenessnumerical-method

data/lecture/math/differential-equations/existence-uniqueness-and-lipschitz-condition.lecture.n.md

1演習えんしゅう方針ほうしん

この演習えんしゅうでは、微分方程式びぶんほうていしきを解とく前まえに、解かいが存在そんざいするか、一意いちいに定さだまるか、数値解すうちかいが安定あんていに計算けいさんされるかを確認かくにんする。公式こうしきで閉とじた形かたちの解かいを得えることと、解かいの存在そんざいを保証ほしょうすることは別べつの問題もんだいである。

2問題もんだい 1

初期値問題しょきちもんだい

y^{'} = x + y^{2}, y (0) = 0

について、局所解きょくしょかいの存在そんざいと一意性いちいせいを判定はんていせよ。

2.1解答例かいとうれい

○

$f (x, y) = x + y^{2}$ は連続れんぞくであり、 $y$ に関かんする偏微分へんびぶん $f_{y} = 2 y$ も初期点しょきてんの近傍きんぼうで連続れんぞくである。したがって、初期点しょきてんの近傍きんぼうで一意いちいな局所解きょくしょかいが存在そんざいする。

2.2解説かいせつ

存在そんざいには $f$ の連続性れんぞくせいが基本きほんであり、 $y$ に関かんする局所きょくしょ Lipschitz 性せいは一意性いちいせいを導みちびく標準的ひょうじゅんてきな十分条件じゅうぶんじょうけんである。 $f_{y}$ の連続性れんぞくせいは Lipschitz 性せいを確認かくにんする分わかりやすい十分条件じゅうぶんじょうけんである。

3問題もんだい 2

初期値問題しょきちもんだい

y^{'} = \sqrt{| y |}, y (0) = 0

について、一意性いちいせいが破やぶれる理由りゆうを説明せつめいせよ。

3.1解答例かいとうれい

○

$y = 0$ は解かいである。一方いっぽう、任意にんいの $a [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ に対たいして、 $x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] a$ で $y = 0$ 、 $x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] a$ で $y = (x - a)^{2} / 4$ と定さだめた関数かんすうも解かいである。したがって一意性いちいせいは成立せいりつしない。

3.2解説かいせつ

$f (y) = \sqrt{| y |}$ は連続れんぞくなので存在そんざいは期待きたいできる。しかし $y = 0$ の近傍きんぼうで Lipschitz 条件じょうけんを満みたさない。原点げんてんで待機たいきしてから動うごき始はじめる解かいが許ゆるされるため、初期条件しょきじょうけんだけでは解かいが一意いちいに定さだまらない。

4問題もんだい 3

初期値問題しょきちもんだい

y^{'} = y^{2}, y (0) = 1

を解とき、最大存在区間さいだいそんざいくかんを求もとめよ。

4.1解答例かいとうれい

○

y = \frac{1}{1 - x}

であり、最大存在区間さいだいそんざいくかんは $(- \infty, 1)$ である。

4.2解説かいせつ

変数分離へんすうぶんりにより $d y / y^{2} = d x$ である。積分せきぶんして $- 1 / y = x + C$ 、初期条件しょきじょうけんから $C = - 1$ なので $y = 1 / (1 - x)$ を得える。右辺うへん $y^{2}$ は滑なめらかであり局所一意解きょくしょいちいかいは存在そんざいするが、 $x = 1$ で blow-up する。一意いちいな解かいが存在そんざいしても、全実数ぜんじっすうで存在そんざいするとは限かぎらない。

5問題もんだい 4

Forward Euler 法ほうで

y^{'} = - 2 y, y (0) = 1

を刻きざみ幅はば $h = 0.25$ で二歩にほだけ計算けいさんせよ。

5.1解答例かいとうれい

○

更新式こうしんしきは $y_{n + 1} = y_{n} + h (- 2 y_{n}) = (1 - 2 h) y_{n}$ である。 $h = 0.25$ なので $y_{n + 1} = 0.5 y_{n}$ であり、 $y_{1} = 0.5$ 、 $y_{2} = 0.25$ である。

5.2解説かいせつ

Forward Euler 法ほうは接線せっせんの傾かたむきで短時間たんじかんだけ進すすむ近似きんじである。正確せいかくな値あたいから 1 歩ぽだけ更新こうしんしたときの一歩誤差いっぽごさ、すなわち欠損けっそんは、真しんの解かいが十分じゅうぶんに滑なめらかなとき $O (h^{2})$ である。さらに $f$ の $y$ に関かんする Lipschitz 性せいなどを仮定かていすると、固定有限区間こていゆうげんくかんの大域誤差たいいきごさは $O (h)$ になる。欠損けっそんを $h$ で割わった量りょうを局所打切きょくしょうちきり誤差ごさと呼よぶ流儀りゅうぎでは、その次数じすうは $O (h)$ である。精度せいどと安定性あんていせいは別概念べつがいねんである。

6問題もんだい 5

Forward Euler 法ほうを

y^{'} = - 10 y

へ適用てきようする。数値解すうちかいが減衰げんすいするための刻きざみ幅はば $h$ の条件じょうけんを求もとめ、 $h = 0.3$ が不安定ふあんていになる理由りゆうを述のべよ。

6.1解答例かいとうれい

○

更新式こうしんしきは $y_{n + 1} = (1 - 10 h) y_{n}$ である。減衰げんすいには $| 1 - 10 h | < 1$ が必要ひつようなので、 $0 < h < 0.2$ である。 $h = 0.3$ では $1 - 10 h = - 2$ となり、絶対値ぜったいちが 1 を超こえるため不安定ふあんていである。

6.2解説かいせつ

真しんの解かい $e^{- 10 x}$ は単調たんちょうに減衰げんすいする。しかし数値法すうちほうでは、更新係数こうしんけいすうの絶対値ぜったいちが 1 を超こえると誤差ごさが拡大かくだいする。微分方程式びぶんほうていしきが安定あんていでも、数値解法すうちかいほうと刻きざみ幅はばの選択せんたくが不適切ふてきせつなら計算けいさんは不安定ふあんていになりうる。

7問題もんだい 6

閉とじた式しきで解とくことが困難こんなんな初期値問題しょきちもんだいに対たいして、解析解かいせきかい、数値解すうちかい、定性的解析ていせいてきかいせきの役割やくわりを一文いちぶんずつ説明せつめいせよ。

7.1解答例かいとうれい

○

解析解かいせきかいは、式しきとして構造こうぞうを理解りかいする役割やくわりを持もつ。数値解すうちかいは、具体的ぐたいてきな初期値しょきちに対たいして近似値きんじちを計算けいさんする役割やくわりを持もつ。定性的解析ていせいてきかいせきは、平衡点へいこうてん、安定性あんていせい、増減ぞうげん、長時間挙動ちょうじかんきょどうを読解どっかいする役割やくわりを持もつ。

7.2解説かいせつ

解とけないという語ごを、解かいが存在そんざいしないという意味いみで使用しようしてはならない。初等関数しょとうかんすうで表現ひょうげんできない場合ばあいでも、存在一意性そんざいいちいせい、数値計算すうちけいさん、定性的解析ていせいてきかいせきにより情報じょうほうを取得しゅとくできる。