Euler 法ほうを超こえる数値解法すうちかいほう：Runge-Kutta 法ほうと陰的方法いんてきほうほう

date2026-07-16document_iddoc_bab169344901e0a1be670f7580e163afdescriptionEuler 法の限界を、Runge-Kutta 法による高次精度と陰的方法による安定性の補強へ接続する入口である。prerequisites方向場・Euler 法・誤差と安定性の入口 / 微分法の基本type講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationsnumerical-methodslecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Euler 法ほうの欠点けってんを精度せいどと安定性あんていせいに分解ぶんかいし、それぞれに対たいして Runge-Kutta 法ほうと陰的方法いんてきほうほうが対応たいおうすることを確認かくにんする。

2対象たいしょうとする初期値問題しょきちもんだい

対象たいしょうは初期値問題しょきちもんだい

y^{'} = f (t, y), y (t_{0}) = y_{0}

である。Euler 法ほうは $y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n})$ であるが、局所情報きょくしょじょうほうを 1 回かいしか利用りようしないため精度せいどが低ひくい。硬かたい（剛性ごうせい）問題もんだいstiff problemとは、精度せいどだけなら大おおきい刻きざみでもよいのに、陽的方法ようてきほうほうの安定性あんていせいが非常ひじょうに小ちいさい刻きざみを要求ようきゅうする問題もんだいである。

ここで精度せいどと安定性あんていせいを分離ぶんりすることが重要じゅうようである。精度せいどは「厳密解げんみつかいにどれだけ近ちかいか」を測はかる。安定性あんていせいは「本来ほんらい減衰げんすいすべき成分せいぶんを、数値計算すうちけいさんが人工的じんこうてきに増幅ぞうふくしないか」を測はかる。高次精度こうじせいどの方法ほうほうでも、刻きざみ幅はばが安定条件あんていじょうけんを破やぶれば破綻はたんする。

3Runge-Kutta 法ほうの発想はっそう

Runge-Kutta 法ほうは、区間内くかんないの複数ふくすうの傾かたむきを評価ひょうかし、それらを平均へいきんして次点じてんを構成こうせいする。代表だいひょうである 4 次じ Runge-Kutta 法ほうは

\begin{aligned} k_1&=f(t_n,y_n),\\ k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\ k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),\\ k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\ y_{n+1}&=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4) \end{aligned}\begin{aligned} k_1&=f(t_n,y_n),\\ k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\ k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),\\ k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\ y_{n+1}&=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4) \end{aligned}

で与あたえられる。厳密値げんみつちから 1 歩ぽだけ進すすめた値あたいと厳密解げんみつかいの差さを、ここでは一歩欠損いっぽけっそんと呼よぶ。右辺うへんが解かいの近傍きんぼうで必要ひつような階数かいすうだけ滑なめらかで、数値解すうちかいがその領域りょういきに留とどまるなら、一歩欠損いっぽけっそんは $O (h^{5})$ である。この滑なめらかさから得えられる $y$ に関かんする局所きょくしょ Lipschitz 性せいで誤差伝播ごさでんぱを抑おさえると、固定有限区間こていゆうげんくかんの大域誤差たいいきごさは $O (h^{4})$ になる。この意味いみで「4 次じ」であり、漸近的ぜんきんてきな収束域しゅうそくいきでは $h$ を半分はんぶんにすると大域誤差たいいきごさは約やく $1 / 16$ になる。

4陰的方法いんてきほうほうの発想はっそう

Backward Euler 法ほうは

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n + 1}, y_{n + 1})

である。右辺うへんに未知みちの $y_{n + 1}$ が含ふくまれるため、各段階かくだんかいで方程式ほうていしきを解とく必要ひつようがある。その代かわり、 $y^{'} = a y, a < 0$ のような減衰問題げんすいもんだいで安定性あんていせいが強つよい。

この方法ほうほうを選択せんたくする理由りゆうは、新あたらしい時刻じこくの傾かたむきを用もちいることで、減衰げんすいする解かいの向むきを数値的すうちてきに尊重そんちょうしやすくなるためである。代償だいしょうとして、各段階かくだんかいの代数方程式だいすうほうていしきに解かいが存在そんざいするか、一意いちいかを確認かくにんし、非線型ひせんけいなら近似値きんじちを反復更新はんぷくこうしんする必要ひつようがある。Newton 法ほうは、そのために導関数どうかんすうで局所線型化きょくしょせんけいかする代表的だいひょうてきな反復法はんぷくほうである。ただし、根ねの一意性いちいせいだけから Newton 反復はんぷくの収束しゅうそくは従したがわない。尺度化しゃくどかした残差ざんさ、更新量こうしんりょう、反復上限はんぷくじょうげんを問題もんだいに応おうじて監視かんしする。

5具体例ぐたいれい

$y^{'} = - 10 y, y (0) = 1$ に対たいして Forward Euler 法ほうは $y_{n + 1} = (1 - 10 h) y_{n}$ である。 $h = 0.3$ では倍率ばいりつが $- 2$ となり不安定ふあんていである。一方いっぽう、Backward Euler 法ほうは

y_{n + 1} = y_{n} - 10 h y_{n + 1}

より

y_{n + 1} = \frac{1}{1 + 10 h} y_{n}

となり、任意にんいの $h > 0$ で減衰げんすいする。

この例れいでは、厳密解げんみつかい $e^{- 10 t}$ は単調減衰たんちょうげんすいする。Forward Euler 法ほうで $h = 0.3$ を採用さいようすると、倍率ばいりつが $- 2$ となるため、符号ふごうを反転はんてんしながら絶対値ぜったいちが増加ぞうかする。これは微分方程式びぶんほうていしきの性質せいしつではなく、数値法すうちほうが生成せいせいした人工的挙動じんこうてききょどうである。

6選択基準せんたくきじゅん

複素数ふくそすう $λ \in C$ をもつ試験方程式しけんほうていしき $y^{'} = λ y$ に数値法すうちほうを適用てきようしたときの一歩いっぽの増幅率ぞうふくりつ（倍率ばいりつ）amplification factorを $R (z)$ 、 $z = h λ$ と書かく。 $Re z$ は $z$ の実部じつぶである。A 安定性あんていせいA-stabilityとは、左半平面ひだりはんへいめん $Re z < 0$ の全域ぜんいきで $| R (z) | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1$ となる性質せいしつである。A 安定あんていであり、さらに左半平面内ひだりはんへいめんないで $| z | \to \infty$ のとき $R (z) \to 0$ となる強つよい減衰性げんすいせいを L 安定性あんていせいL-stability と呼よぶ。Backward Euler 法ほうはその両方りょうほうを満みたす。

状況じょうきょう	候補こうほ	理由りゆう
滑なめらかで非剛性ひごうせいの問題もんだい	4 次じ Runge-Kutta 法ほう	少すくない実装負担じっそうふたんで高次精度こうじせいどを得えやすい
急速減衰きゅうそくげんすいと遅おそい成分せいぶんが混在こんざいする硬かたい問題もんだい	A 安定性あんていせいや L 安定性あんていせいをもつ陰的方法いんてきほうほう	負ふの実軸方向じくほうこうの減衰成分げんすいせいぶんを安定あんていに扱あつかいやすい
精度検証せいどけんしょうが必要ひつような計算けいさん	刻きざみ幅はばの半減比較はんげんひかく	漸近収束域ぜんきんしゅうそくいきでの誤差減少ごさげんしょうを経験的けいけんてきに確認かくにんする

7適用範囲てきようはんいと限界げんかい

Runge-Kutta 法ほうは精度せいどを改善かいぜんする標準手段ひょうじゅんしゅだんであるが、硬かたい問題もんだいでは刻きざみ幅はばを極端きょくたんに小ちいさく要求ようきゅうすることがある。すべての陰的方法いんてきほうほうが無条件むじょうけんに安定あんていなのではなく、安定領域あんていりょういきを方法ほうほうごとに確認かくにんする。刻きざみ半減比較はんげんひかくも単独たんどくの厳密誤差保証げんみつごさほしょうではない。

8演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/numerical-ode-methods.exercise.n.md

9前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/direction-fields-euler-method-error-and-stability.lecture.n.md

10次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/analytic-numerical-and-qualitative-ode-methods.lecture.n.md

Beyond Euler's Method: An Introduction to Runge--Kutta and Implicit Methods

1Introduction

This lecture separates the limitations of Euler's method into accuracy and stability and explains how Runge--Kutta methods and implicit methods address these respective limitations.

2Problem Under Consideration

Consider the initial-value problem

y^{'} = f (t, y), y (t_{0}) = y_{0.}

Euler's method is $y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n})$ . Because it uses local information only once per step, its accuracy is low. A {stiff problem} is a problem for which accuracy alone would permit a relatively large step size, but the stability of an explicit method requires a very small step size.

It is essential to distinguish accuracy from stability. Accuracy quantifies proximity to the exact solution. Stability determines whether a numerical computation avoids artificially amplifying components that should decay. Even a high-order method fails if its step size violates the applicable stability condition.

3Principle of Runge--Kutta Methods

Runge--Kutta methods evaluate several slopes within a step and combine them to construct the next approximation. The classical fourth-order Runge--Kutta method is

\begin{aligned} k_1&=f(t_n,y_n),\\ k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\ k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),\\ k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\ y_{n+1}&=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4). \end{aligned}\begin{aligned} k_1&=f(t_n,y_n),\\ k_2&=f(t_n+h/2,y_n+hk_1/2),\\ k_3&=f(t_n+h/2,y_n+hk_2/2),\\ k_4&=f(t_n+h,y_n+hk_3),\\ y_{n+1}&=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4). \end{aligned}

Here, the difference between the exact solution after one step and the result of applying one numerical step from the exact starting value is called the {one-step defect}. If the right-hand side is sufficiently smooth in a neighborhood of the solution and the numerical solution remains in that region, the one-step defect is $O (h^{5})$ . The resulting local Lipschitz continuity with respect to $y$ controls error propagation, and the global error on a fixed finite interval is $O (h^{4})$ . This is the meaning of “fourth order.” Within the asymptotic convergence regime, halving $h$ therefore reduces the global error by approximately a factor of $1 / 16$ .

4Principle of Implicit Methods

Backward Euler is defined by

y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n + 1}, y_{n + 1}) .

Because the unknown $y_{n + 1}$ occurs on the right-hand side, an equation must be solved at every step. In return, the method has strong stability properties for decay problems such as $y^{'} = a y$ with $a < 0$ .

The use of the slope at the new time level enables the numerical method to respect the direction of a decaying solution more reliably. The associated cost is the need to establish existence and uniqueness of a solution to the algebraic equation at each step and, in the nonlinear case, to update an approximation iteratively. Newton's method is a standard iteration that uses a derivative to form a local linearization. Uniqueness of the root alone, however, does not imply convergence of Newton iteration. A practical computation must monitor a scaled residual, the update magnitude, and an iteration limit selected for the problem.

5Example

For $y^{'} = - 10 y, y (0) = 1$ , Forward Euler gives $y_{n + 1} = (1 - 10 h) y_{n}$ . With $h = 0.3$ , its amplification factor is $- 2$ , so the method is unstable. Backward Euler instead gives

y_{n + 1} = y_{n} - 10 h y_{n + 1},

and hence

y_{n + 1} = \frac{1}{1 + 10 h} y_{n} .

The numerical solution therefore decays for every $h > 0$ .

In this example, the exact solution $e^{- 10 t}$ decreases monotonically. When Forward Euler uses $h = 0.3$ , multiplication by $- 2$ reverses the sign and increases the magnitude at every step. This behavior is an artifact of the numerical method, not a property of the differential equation.

6Selection Criteria

Apply a numerical method to the test equation $y^{'} = λ y$ with $λ \in C$ . Denote its one-step {amplification factor} by $R (z)$ , where $z = h λ$ , and let $Re z$ denote the real part of $z$ . A method is {A-stable} if $| R (z) | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1$ throughout the left half-plane $Re z < 0$ . An A-stable method is {L-stable} if it additionally satisfies $R (z) \to 0$ as $| z | \to \infty$ within the left half-plane. Backward Euler has both properties.

Situation	Candidate	Rationale
Smooth, nonstiff problem	Classical fourth-order Runge--Kutta method	Provides high-order accuracy with modest implementation complexity
Stiff problem containing both rapidly decaying and slow components	An implicit method with A-stability or L-stability	Handles decay modes along the negative real axis stably
Computation requiring an empirical accuracy check	Comparison after halving the step size	Assesses error reduction within the asymptotic convergence regime

7Scope and Limitations

Runge--Kutta methods are standard instruments for improving accuracy, but a stiff problem may require an extremely small step size when an explicit Runge--Kutta method is used. Not every implicit method is unconditionally stable; the stability region must be examined for each method. A step-halving comparison by itself is not a rigorous bound on the exact error.

8Exercises

data/exercise/math/differential-equations/numerical-ode-methods.exercise.n.md

9Previous Lecture

data/lecture/math/differential-equations/direction-fields-euler-method-error-and-stability.lecture.n.md

10Next Lecture

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