常微分方程式じょうびぶんほうていしきの数値解法すうちかいほう-基本演習きほんえんしゅう

date2026-07-16document_iddoc_50de630b0683451582cd90bbb0248096descriptionRunge-Kutta 法の精度、陽的・陰的 Euler 法の安定性、非線型陰的ステップの解法を区別して確認する演習である。prerequisites方向場・Euler 法・誤差と安定性の入口 / Euler 法を超える数値解法：Runge-Kutta 法と陰的方法type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathdifferential-equationsexercisenumerical-methodsstability

data/lecture/math/differential-equations/beyond-euler-runge-kutta-and-implicit-methods.lecture.n.md

1演習えんしゅう方針ほうしん

この演習えんしゅうでは、精度せいど、安定性あんていせい、1 歩ぽごとの方程式ほうていしきを解とく負担ふたんを分わけて評価ひょうかする。高次精度こうじせいどであることだけでは、硬かたい問題もんだいを大おおきい刻きざみで安定あんていに解とけるとは限かぎらない。

2問題もんだい 1

4 次じ Runge-Kutta 法ほうで

y^{'} = y, y (0) = 1

を刻きざみ幅はば $h = 0.1$ で 1 歩ぽだけ計算けいさんせよ。

2.1解答例かいとうれい

○

k_{1} = 1, k_{2} = 1.05, k_{3} = 1.0525, k_{4} = 1.10525

なので、

y_{1} = 1 + \frac{0.1}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}) = 1.105170833 \dots

である。

2.2解説かいせつ

正確値せいかくちは $e^{0.1} = 1.105170918 \dots$ である。1 歩ぽの計算けいさんだけでも、区間くかんの途中とちゅうの傾かたむきを組くみ合あわせる効果こうかを確認かくにんできる。

3問題もんだい 2

十分じゅうぶんに滑なめらかな問題もんだいを 4 次じ Runge-Kutta 法ほうで解とき、固定こていした終点しゅうてんで刻きざみ幅はば $h$ と $h / 2$ の誤差ごさを比較ひかくする。漸近収束域ぜんきんしゅうそくいきでは、その比ひをどのように予想よそうするか。また、この比較ひかくだけで厳密誤差保証げんみつごさほしょうになるか。

3.1解答例かいとうれい

○

大域誤差たいいきごさが $C h^{4} + o (h^{4})$ と表あらわされる範囲はんいでは、 $h / 2$ の誤差ごさは $h$ の誤差ごさの約やく $1 / 16$ になる。ただし、刻きざみがまだ十分じゅうぶんに小ちいさくない場合ばあいや、丸まるめ誤差ごさ・不安定性ふあんていせいが支配的しはいてきな場合ばあいにはこの比ひは現あらわれない。半減比較はんげんひかくだけは厳密げんみつな上界じょうかいの証明しょうめいではない。

4問題もんだい 3

Forward Euler 法ほうと Backward Euler 法ほうを

y^{'} = - 20 y

へ刻きざみ幅はば $h = 0.2$ で適用てきようし、それぞれの増幅率ぞうふくりつを求もとめよ。真しんの解かいの減衰げんすいと整合せいごうするのはどちらか。

4.1解答例かいとうれい

○

Forward Euler 法ほうの増幅率ぞうふくりつは

1 - 20 h = - 3

で、絶対値ぜったいちが 1 を超こえるため不安定ふあんていである。Backward Euler 法ほうの増幅率ぞうふくりつは

\frac{1}{1 + 20 h} = \frac{1}{5}

であり、減衰げんすいと整合せいごうする。

4.2解説かいせつ

この比較ひかくは Backward Euler 法ほうの線型減衰問題せんけいげんすいもんだいに対たいする安定性あんていせいを示しめす。陰的方法いんてきほうほうならすべての問題もんだいで無条件むじょうけんに安定あんてい、という主張しゅちょうではない。

5問題もんだい 4

Backward Euler 法ほうを

y^{'} = - y^{3}

へ適用てきようする。 $z = y_{n + 1}$ が満みたす方程式ほうていしきを書かき、 $h > 0$ のとき実数解じっすうかいが一意いちいであることを説明せつめいせよ。また、反復計算はんぷくけいさんをどの量りょうで停止ていしすべきか。

5.1解答例かいとうれい

○

方程式ほうていしきは

F (z) = z + h z^{3} - y_{n} = 0

である。 $F^{'} (z) = 1 + 3 h z^{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 1$ なので $F$ は狭義単調増加きょうぎたんちょうぞうかであり、さらに $z \to \pm \infty$ で $F (z) \to \pm \infty$ だから、実数解じっすうかいはちょうど 1 つある。真しんの根ねを $z_{*}$ とすると、平均値へいきんちの定理ていりから $| z - z_{*} | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] | F (z) |$ である。この問題もんだいでは残差ざんさの許容値きょようちが根ねの誤差ごさも直接ちょくせつ抑おさえる。反復はんぷくは $| F (z) |$ と更新量こうしんりょうを確認かくにんし、反復上限はんぷくじょうげんも設もうける。

6問題もんだい 5

y^{'} = - 1000 (y - \cos t) - \sin t, y (0) = 1

を考かんがえる。正確解せいかくかいが $y (t) = \cos t$ であることを確認かくにんし、Forward Euler 法ほうでは解かいの時間尺度じかんしゃくどに比くらべて非常ひじょうに小ちいさい刻きざみが必要ひつようになる理由りゆうを述のべよ。方法選択ほうほうせんたくの候補こうほも挙あげよ。

6.1解答例かいとうれい

○

$y = \cos t$ を代入だいにゅうすると、両辺りょうへんはともに $- \sin t$ になる。解かいからの微小びしょうなずれ $e$ は $e^{'} = - 1000 e$ に従したがい、Forward Euler 法ほうの増幅率ぞうふくりつは $1 - 1000 h$ である。減衰げんすいには $0 < h < 0.002$ が必要ひつようになる。解かい $\cos t$ 自体じたいは時間尺度じかんしゃくど 1 で変化へんかするのに、陽的方法ようてきほうほうの安定性あんていせいが刻きざみを制限せいげんするため、この問題もんだいは硬かたい。候補こうほとして Backward Euler 法ほうなど、負ふの実軸方向じくほうこうに広ひろい安定領域あんていりょういきをもつ陰的方法いんてきほうほうを検討けんとうする。