方向場ほうこうば・Euler 法ほう・誤差ごさと安定性あんていせいの入口いりぐち

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、解析解かいせきかいが得えられない場合ばあいでも、方向場ほうこうばで解かいの傾向けいこうを把握はあくし、Euler 法ほうで近似解きんじかいを構成こうせいし、誤差ごさと安定性あんていせいを別概念べつがいねんとして確認かくにんする。

2何なにを解とくページか

標準形ひょうじゅんけいは

である。方向場ほうこうばDirection field は、各点かくてん $$(x,y)$$(x,y) に傾かたむき $$f(x,y)$$f(x,y) を配置はいちした図式ずしきである。Euler 法ほうEuler method は、現在点げんざいてんの傾かたむきで短みじかい直線近似ちょくせんきんじを行おこなう数値解法すうちかいほうである。

3なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

微分びぶんは局所的きょくしょてきな一次近似いちじきんじを与あたえる。したがって、現在点げんざいてんで $$y^{\prime }=f(x,y)$$y'=f(x,y) を評価ひょうかすれば、短みじかい区間くかんでは $$y$$y がどちらへ変化へんかするかを推定すいていできる。方向場ほうこうばは式しきを解とかずに全体傾向ぜんたいけいこうを確認かくにんする道具どうぐであり、Euler 法ほうはその局所近似きょくしょきんじを反復はんぷくする方法ほうほうである。

4解法かいほうの流ながれ

初期値しょきち $$y\left(x_0\right)=y_0$$y(x_0)=y_0 と刻きざみ幅はば $$h$$h を設定せっていする。Euler 法ほうでは

と更新こうしんする。最大存在区間さいだいそんざいくかんの内部ないぶにある固定こていされた有限区間ゆうげんくかんを選えらび、厳密解げんみつかいが 2 回連続微分可能かいれんぞくびぶんかのうで $$|y^{\prime }\text{'}|$$|y''| が有界ゆうかいであるとする。このとき Taylor 展開てんかい

の一次項いちじこうで切きる近似きんじである。ここでは、厳密げんみつな値あたいから 1 歩ぽだけ Euler 更新こうしんしたときの欠損けっそんを一歩欠損いっぽけっそんone-step defectと呼よぶ。この定義ていぎでは一歩欠損いっぽけっそんは $$O\left(h^2\right)$$O(h^2) である。欠損けっそんを $$h$$h で割わった量りょうを局所打切きょくしょうちきり誤差ごさと呼よぶ流儀りゅうぎでは、次数じすうは $$O\left(h\right)$$O(h) になる。

さらに、$$f$$f が解かいと数値列すうちれつの留とどまる領域りょういきで $$y$$y に関かんして Lipschitz であるとする。一歩いっぽごとの誤差ごさの増幅ぞうふくをこの Lipschitz 定数ていすうで抑おさえると、固定有限区間こていゆうげんくかんでの大域誤差たいいきごさglobal errorは $$O\left(h\right)$$O(h) になる。滑なめらかさや Lipschitz 条件じょうけんを置おかずに、この誤差次数ごさじすうを断定だんていしてはならない。

5具体例ぐたいれい

5.1増加ぞうかする例れい

で $$h=0.1$$h=0.1 とすると、Euler 法ほうは $$y_{n+1}=1.1y_n$$y_{n+1}=1.1y_n を与あたえる。したがって $$y_1=1.1,y_2=1.21$$y_1=1.1,\ y_2=1.21 である。厳密解げんみつかい $$e^x$$e^x と比較ひかくすると、刻きざみ幅はばを縮小しゅくしょうすると近似きんじが改善かいぜんする。

5.2安定性あんていせいが問題もんだいになる例れい

の厳密解げんみつかいは減衰げんすいする。Euler 法ほうでは

である。数値解すうちかいが減衰げんすいするには $$|1+ah|<1$$|1+ah|<1 が必要ひつようである。たとえば $$a=-10$$a=-10、$$h=0.3$$h=0.3 では $$1+ah=-2$$1+ah=-2 となり、厳密解げんみつかいは減衰げんすいするにもかかわらず数値解すうちかいは振動しんどうしながら増大ぞうだいする。

6精度せいどと安定性あんていせいの区別くべつ

精度せいどは、刻きざみ幅はばを小ちいさくしたとき厳密解げんみつかいへどの速はやさで接近せっきんするかを表あらわす。安定性あんていせいは、反復はんぷくが誤差ごさを増幅ぞうふくするか抑制よくせいするかを表あらわす。高精度こうせいどな方法ほうほうでも、問題もんだいと刻きざみ幅はばの組合くみあわせによって不安定ふあんていになることがある。

7陰的方法いんてきほうほうへの接続せつぞく

Forward Euler 法ほうは現在点げんざいてんの傾かたむき $$f(x_n,y_n)$$f(x_n,y_n) を使用しようする。一方いっぽう、Backward Euler 法ほうは次点じてんの傾かたむき $$f(x_{n+1},y_{n+1})$$f(x_{n+1},y_{n+1}) を使用しようし、

を解とく。未知量みちりょう $$y_{n+1}$$y_{n+1} が右辺うへんにも出現しゅつげんするため、各段階かくだんかいで方程式ほうていしきを解とく計算負担けいさんふたんが生しょうじる。しかし減衰問題げんすいもんだいでは、安定性あんていせいが改善かいぜんされることがある。

モデル方程式ほうていしき $$y^{\prime }=ay$$y'=ay に適用てきようすると、Backward Euler 法ほうは

を与あたえる。$$a<0$$a<0 なら、任意にんいの $$h>0$$h>0 に対たいして $$1-ah=1+\left|a\right|h>1$$1-ah=1+|a|h>1 であるため、$$|1/(1-ah\left)\right|<1$$|1/(1-ah)|<1 が成立せいりつする。この比較ひかくは、数値解法すうちかいほうの選択せんたくでは精度せいどだけでなく安定性あんていせいを確認かくにんする必要ひつようがあることを示しめす。

8方向場ほうこうばで判定はんていできること

方向場ほうこうばは厳密解げんみつかいを生成せいせいしないが、解析前かいせきまえの診断しんだんに有効ゆうこうである。

9どこまで成立せいりつするか

方向場ほうこうばは解曲線かいきょくせんの候補こうほを可視化かしかする道具どうぐであり、1 本ほんの厳密解げんみつかいや安定性あんていせいの証明しょうめいを与あたえるものではない。とくに一意性いちいせいの仮定かていがない領域りょういきでは、1 本ほんの流ながれを表あらわすと解釈かいしゃくしてはならない。Euler 法ほうは入口いりぐちとして重要じゅうようだが、実用計算じつようけいさんでは Runge-Kutta 法ほう、Backward Euler 法ほう、適応刻てきおうきざみ幅はばなどを検討けんとうする。

10前まえの講義こうぎ

11次つぎの講義こうぎ

12演習えんしゅうリンク

Introduction to Direction Fields, Euler's Method, Error, and Stability

1Introduction

This lecture explains how to use direction fields to identify qualitative behavior when an analytic solution is unavailable, construct approximate solutions with Euler's method, and distinguish accuracy from numerical stability.

2Problem Setting

Consider the standard initial value problem

A direction field assigns a line segment of slope $$f(x,y)$$f(x,y) to each point $$(x,y)$$(x,y). Euler's method is a numerical method that advances along a short linear approximation determined by the slope at the current point.

3Rationale for the Method

Differentiation supplies a local linear approximation. Evaluating $$y^{\prime }=f(x,y)$$y'=f(x,y) at the current point therefore indicates the direction in which $$y$$y changes over a short interval. A direction field reveals global qualitative tendencies without solving the equation, whereas Euler's method repeatedly applies the corresponding local approximation.

4Euler Update and Error Order

Given the initial value $$y\left(x_0\right)=y_0$$y(x_0)=y_0 and a step size $$h$$h, Euler's method uses

Fix a finite interval contained in the maximal interval of existence. Assume that the exact solution is twice continuously differentiable there and that $$|y^{\prime }\text{'}|$$|y''| is bounded. The Taylor expansion

shows that Euler's method retains only the constant and linear terms. In this lecture, the discrepancy produced by taking one Euler step from an exact value is called the one-step defect. Under this convention, it is $$O\left(h^2\right)$$O(h^2). Under the alternative convention in which the defect is divided by $$h$$h and called the local truncation error, its order is $$O\left(h\right)$$O(h).

Assume in addition that $$f$$f is Lipschitz continuous in $$y$$y on a region containing both the exact solution and the numerical iterates. Controlling the amplification of successive errors by the Lipschitz constant gives a global error of $$O\left(h\right)$$O(h) on the fixed finite interval. This conclusion must not be asserted without the required smoothness and Lipschitz hypotheses.

5Examples

5.1A Growing Solution

For

and $$h=0.1$$h=0.1, Euler's method gives $$y_{n+1}=1.1y_n$$y_{n+1}=1.1y_n. Hence $$y_1=1.1$$y_1=1.1 and $$y_2=1.21$$y_2=1.21. Comparison with the exact solution $$e^x$$e^x shows that reducing the step size improves the approximation.

5.2A Stability Restriction

Consider

The exact solution decays, whereas Euler's method gives

The numerical solution decays only if $$|1+ah|<1$$|1+ah|<1. For example, if $$a=-10$$a=-10 and $$h=0.3$$h=0.3, then $$1+ah=-2$$1+ah=-2. Although the exact solution decays, the numerical solution oscillates with increasing magnitude.

6Accuracy Versus Stability

Accuracy describes how rapidly the approximation approaches the exact solution as the step size decreases. Stability describes whether the iteration amplifies or suppresses errors. Even a high-order method may be unstable for an unsuitable combination of problem and step size.

7Connection to Implicit Methods

Forward Euler uses the slope $$f(x_n,y_n)$$f(x_n,y_n) at the current point. Backward Euler instead uses the slope $$f(x_{n+1},y_{n+1})$$f(x_{n+1},y_{n+1}) at the next point and requires the equation

to be solved. Because the unknown $$y_{n+1}$$y_{n+1} also appears on the right-hand side, each step entails the additional cost of solving an equation. This construction can nevertheless improve stability for decay problems.

Applied to the model equation $$y^{\prime }=ay$$y'=ay, Backward Euler gives

If $$a<0$$a<0, then $$1-ah=1+\left|a\right|h>1$$1-ah=1+|a|h>1 for every $$h>0$$h>0, and hence $$|1/(1-ah\left)\right|<1$$|1/(1-ah)|<1 for every positive step size. This comparison demonstrates that the selection of a numerical method must account for stability as well as accuracy.

8Information Available from a Direction Field

A direction field does not produce an exact solution, but it is useful for diagnosis before analytic or numerical computation.

9Scope and Limitations

A direction field visualizes candidate solution curves; it does not provide an exact solution or a proof of stability. In a region where uniqueness has not been established, it must not be interpreted as defining a single flow. Euler's method is an essential introductory method, but practical computation may require Runge--Kutta methods, Backward Euler, or adaptive step sizes.

10Previous Lecture

11Next Lecture

12Exercises