Lipschitz 条件じょうけんとは何なにか：連続れんぞくとの違ちがい

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、連続れんぞくであることと Lipschitz 連続れんぞくであることを区別くべつし、初期値問題しょきちもんだいの一意性いちいせいを導みちびく標準的ひょうじゅんてきな十分条件じゅうぶんじょうけんを定義ていぎする。

2用語ようごと定義ていぎ

$$y^{\prime }=f(x,y)$$y'=f(x,y) を領域りょういき $$R$$R で考かんがえる。$$y$$y に関かんする Lipschitz 条件じょうけんLipschitz condition in yとは、$$R$$R 内ないの同おなじ $$x$$x と、$$(x,y_1),(x,y_2)\in R$$(x,y_1),(x,y_2)\in R に対たいして、$$x,y_1,y_2$$x,y_1,y_2 に共通きょうつうな定数ていすう $$L\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$L\ge 0 が存在そんざいし、

が成立せいりつすることである。$$x$$x ごとに異ことなる定数ていすうを選えらぶのではなく、$$R$$R 全体ぜんたいで 1 つの $$L$$L を使つかう点てんが重要じゅうようである。

各点かくてんの周まわりの小ちいさな領域りょういきごとにこの条件じょうけんが成立せいりつするとき局所きょくしょ Lipschitzlocal Lipschitz、考かんがえる全領域ぜんりょういきで 1 つの $$L$$L を使つかえるとき大域たいいき Lipschitzglobal Lipschitzという。

3Lipschitz 条件じょうけんを導入どうにゅうする理由りゆう

各かく $$x$$x を固定こていしたときの $$y$$y 方向ほうこうの連続性れんぞくせいは、$$y$$y の十分小じゅうぶんちいさい変化へんかに対たいして $$f(x,y)$$f(x,y) の変化へんかも十分小じゅうぶんちいさくなることを保証ほしょうする。一方いっぽう、$$y$$y に関かんする Lipschitz 条件じょうけんは、その変化量へんかりょうを $$L|y_1-y_2|$$L|y_1-y_2| という線型上界せんけいじょうかいで一様いちように制御せいぎょする。ただし、この条件じょうけんだけでは $$x$$x 方向ほうこうの連続性れんぞくせいを保証ほしょうしない。初期値しょきちから出発しゅっぱつした 2 本ほんの候補解こうほかいが離はなれすぎないことを示しめすためには、$$y$$y 方向ほうこうのこの倍率制御ばいりつせいぎょが重要じゅうようである。

4一意性いちいせいに作用さようする理由りゆう

ここでは、$$f$$f が連続れんぞくであり、対象領域上たいしょうりょういきじょうで $$y$$y に関かんして共通きょうつうの定数ていすう $$L$$L を持もつ Lipschitz 条件じょうけんを満みたすとする。さらに、同一どういつの初期値しょきちを持もつ 2 解かい $$y_1,y_2$$y_1,y_2 が存在そんざいすると仮定かていし、それらが一致いっちすることだけを証明しょうめいする。解かいの存在そんざいは Lipschitz 条件じょうけんだけからは導みちびかず、後続こうぞくの存在定理そんざいていりで連続性れんぞくせいとともに扱あつかう。

まず $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}{x}_0$$x\ge x_0 とする。積分形せきぶんけいで表あらわすと、

である。したがって差さを取とると、

となる。ここで $$y$$y に関かんする Lipschitz 条件じょうけんがあれば、

を得える。この不等式ふとうしきから差さが 0 であることを導みちびくため、次つぎの Gronwall 不等式ふとうしきの特殊形とくしゅけいを使用しようする。

4.1命題めいだい：Gronwall 不等式ふとうしきの零初期値形れいしょきちけい

$$u:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$$u:[a,b]\to[0,\infty) を連続関数れんぞくかんすうとし、$$L\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$L\ge0 とする。すべての $$x\in [a,b]$$x\in[a,b] に対たいして

が成立せいりつするなら、$$u\left(x\right)=0$$u(x)=0 が $$[a,b]$$[a,b] 全体ぜんたいで成立せいりつする。

4.1.1証明しょうめい

とおく。$$u$$u は連続れんぞくで非負ひふなので、$$H$$H は微分可能びぶんかのうで $$H\left(a\right)=0$$H(a)=0、$$H\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$H(x)\ge0、$$H^{\prime }\left(x\right)=u\left(x\right)$$H'(x)=u(x) を満みたす。仮定かていより

である。したがって

である。ゆえに $$e^{-Lx}H\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{e}^{-La}H\left(a\right)=0$$e^{-Lx}H(x)\le e^{-La}H(a)=0 である。一方いっぽう、$$H\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$H(x)\ge0 なので $$H\left(x\right)=0$$H(x)=0 であり、$$u\left(x\right)=H^{\prime }\left(x\right)=0$$u(x)=H'(x)=0 を得える。

共通定義区間きょうつうていぎくかんから任意にんいに $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}{x}_0$$x\ge x_0 を 1 点てん固定こていする。$$x_0$$x_0 と $$x$$x を結むすぶ閉区間へいくかんでは、両解りょうかいのグラフに同一どういつの Lipschitz 定数ていすう $$L$$L を適用てきようできるため、命題めいだいを $$u\left(t\right)=\left|y_1\right(t)-y_2(t\left)\right|$$u(t)=|y_1(t)-y_2(t)|、$$a=x_0$$a=x_0、$$b=x$$b=x に適用てきようして $$y_1\left(x\right)=y_2\left(x\right)$$y_1(x)=y_2(x) を得える。$$x<x_0$$x<x_0 を固定こていした場合ばあいは

である。$$s=x_0-t$$s=x_0-t、$$w\left(s\right)=u(x_0-s)$$w(s)=u(x_0-s) とおけば、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}s\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{x}_0-x$$0\le s\le x_0-x で

となるため、同おなじ命題めいだいから $$w=0$$w=0、したがって $$y_1\left(x\right)=y_2\left(x\right)$$y_1(x)=y_2(x) を得える。$$x$$x は共通定義区間きょうつうていぎくかんの任意にんいの点てんであるため、2 解かいはその区間全体くかんぜんたいで一致いっちする。この構造こうぞうが、Lipschitz 条件じょうけんによって一意性いちいせいが導みちびかれる理由りゆうである。

連続性れんぞくせいだけでは、この差さを定数倍ていすうばいで抑制よくせいする不等式ふとうしきを得えられない。連続れんぞくと Lipschitz 連続れんぞくの違ちがいは、値あたいの近接きんせつだけでなく、近接きんせつの速度そくどを制御せいぎょできるかにある。

5具体例ぐたいれい

5.1Lipschitz 条件じょうけんを満みたす例れい

$$f\left(y\right)=3y+1$$f(y)=3y+1 では

であるため、$$L=3$$L=3 と選択せんたくできる。

5.2連続れんぞくだが Lipschitz でない例れい

$$f\left(y\right)=\sqrt{\left|y\right|}$$f(y)=\sqrt{|y|} は $$y=0$$y=0 で連続れんぞくである。しかし

は $$y\to 0$$y\to 0 で発散はっさんする。したがって $$y=0$$y=0 の近傍きんぼうで 1 つの定数ていすう $$L$$L により差さを抑制よくせいできない。

5.3$$\mathit{\partial }f/\mathit{\partial }y$$\partial f/\partial y の連続性れんぞくせいとの関係かんけい

初期点しょきてんを内部ないぶに含ふくむ閉へいかつ有界ゆうかいな小長方形しょうちょうほうけい $$R$$R を取とる。$$\mathit{\partial }f/\mathit{\partial }y$$\partial f/\partial y が $$R$$R で連続れんぞくなら、「閉へいかつ有界ゆうかいな領域上りょういきじょうの連続関数れんぞくかんすうは最大値さいだいちを持もつ」という性質せいしつにより

が有限ゆうげんになる。各かく $$x$$x を固定こていして平均値定理へいきんちていりを使つかえば、$$R$$R 上じょうで $$y$$y に関かんする Lipschitz 条件じょうけんを得える。開かいまたは非有界ひゆうかいな領域りょういきで、連続れんぞくというだけから有界性ゆうかいせいを結論けつろんしてはならない。また、これは十分条件じゅうぶんじょうけんであり、必要条件ひつようじょうけんではない。

6適用範囲てきようはんい

Lipschitz 条件じょうけんは一意性いちいせいを保証ほしょうする標準的ひょうじゅんてきな条件じょうけんである。しかし、Lipschitz 条件じょうけんが破綻はたんしても、必かならず非一意ひいちいになるわけではない。定理ていりの仮定かていが不成立ふせいりつであることは、結論けつろんの否定ひていを意味いみしない。

局所きょくしょ Lipschitz 性せいだけでは、全時間ぜんじかんでの存在そんざいまでは結論けつろんできない。大域存在たいいきそんざいには、Lipschitz 性せいに加くわえて右辺うへんの定義域ていぎいきや成長せいちょうを確認かくにんする。次つぎのページで、連続性れんぞくせいによる局所存在きょくしょそんざいと Lipschitz 性せいによる一意性いちいせいを区別くべつし、局所解きょくしょかいをどこまで延長えんちょうできるかを最大存在区間さいだいそんざいくかんとして扱あつかう。

7直前ちょくぜんの講義こうぎ

8次つぎに参照さんしょうするページ

9演習えんしゅうリンク

The Lipschitz Condition and Its Difference from Continuity

1Introduction

This lecture distinguishes continuity from Lipschitz continuity and defines a standard sufficient condition for uniqueness in an initial value problem.

2Terminology and Definition

Consider $$y^{\prime }=f(x,y)$$y'=f(x,y) on a region $$R$$R. The Lipschitz condition in $$y$$y means that there exists a constant $$L\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$L\ge0, independent of $$x,y_1,y_2$$x,y_1,y_2, such that

whenever $$(x,y_1),(x,y_2)\in R$$(x,y_1),(x,y_2)\in R have the same value of $$x$$x. The essential point is that one constant $$L$$L applies throughout $$R$$R rather than being chosen separately for each $$x$$x.

If this condition holds on a sufficiently small region around every point, then $$f$$f is locally Lipschitz in $$y$$y. If one constant $$L$$L applies on the entire region under consideration, then $$f$$f is globally Lipschitz in $$y$$y.

3Motivation for the Lipschitz Condition

For each fixed $$x$$x, continuity in the $$y$$y direction ensures that sufficiently small changes in $$y$$y produce sufficiently small changes in $$f(x,y)$$f(x,y). The Lipschitz condition in $$y$$y gives the stronger quantitative bound $$L|y_1-y_2|$$L|y_1-y_2|, uniformly on the region under consideration. This condition alone does not imply continuity in the $$x$$x direction. Its linear control in the $$y$$y direction is what prevents two candidate solutions issuing from the same initial value from separating.

4How the Condition Produces Uniqueness

Assume that $$f$$f is continuous and satisfies a Lipschitz condition in $$y$$y with one constant $$L$$L on the region under consideration. Also assume that two solutions $$y_1,y_2$$y_1,y_2 with the same initial value already exist; the purpose is only to prove that they coincide. The existence of a solution does not follow from the Lipschitz condition alone. A subsequent existence theorem will treat existence by using continuity separately from uniqueness.

First suppose that $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}{x}_0$$x\ge x_0. The integral form of each solution is

Taking the difference gives

If $$f$$f is Lipschitz in $$y$$y with constant $$L$$L, then

The following zero-initial-value form of Gronwall's inequality converts this estimate into equality of the two solutions.

4.1Proposition: Zero-Initial-Value Form of Gronwall's Inequality

Let $$u:[a,b]\to [0,\mathrm{\infty })$$u:[a,b]\to[0,\infty) be continuous, and let $$L\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$L\ge0. If

for every $$x\in [a,b]$$x\in[a,b], then $$u\left(x\right)=0$$u(x)=0 throughout $$[a,b]$$[a,b].

4.1.1Proof

Define

Because $$u$$u is continuous and nonnegative, $$H$$H is differentiable and satisfies $$H\left(a\right)=0$$H(a)=0, $$H\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$H(x)\ge0, and $$H^{\prime }\left(x\right)=u\left(x\right)$$H'(x)=u(x). The hypothesis gives

Consequently,

It follows that $$e^{-Lx}H\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{e}^{-La}H\left(a\right)=0$$e^{-Lx}H(x)\le e^{-La}H(a)=0. Since $$H\left(x\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$H(x)\ge0, we must have $$H\left(x\right)=0$$H(x)=0, and hence $$u\left(x\right)=H^{\prime }\left(x\right)=0$$u(x)=H'(x)=0.

Fix an arbitrary point $$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}{x}_0$$x\ge x_0 in the common domain. On the compact interval joining $$x_0$$x_0 to $$x$$x, the same Lipschitz constant $$L$$L applies along both solution graphs. Apply the proposition to $$u\left(t\right)=\left|y_1\right(t)-y_2(t\left)\right|$$u(t)=|y_1(t)-y_2(t)| with $$a=x_0$$a=x_0 and $$b=x$$b=x. It follows that $$y_1\left(x\right)=y_2\left(x\right)$$y_1(x)=y_2(x). If instead a point $$x<x_0$$x<x_0 is fixed, the corresponding estimate is

Set $$s=x_0-t$$s=x_0-t and $$w\left(s\right)=u(x_0-s)$$w(s)=u(x_0-s) for $$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}s\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{x}_0-x$$0\le s\le x_0-x. Then

so the same proposition gives $$w=0$$w=0 and therefore $$y_1\left(x\right)=y_2\left(x\right)$$y_1(x)=y_2(x). Since $$x$$x was arbitrary, the two solutions coincide throughout their common domain. This is the mechanism by which the Lipschitz condition yields uniqueness.

Continuity alone does not provide an estimate that controls the difference by a constant multiple. The distinction is not merely whether nearby inputs have nearby outputs, but whether the rate of their separation can be uniformly controlled.

5Examples

5.1A Function That Satisfies a Lipschitz Condition

For $$f\left(y\right)=3y+1$$f(y)=3y+1,

so one may choose $$L=3$$L=3.

5.2A Continuous Function That Is Not Lipschitz

The function $$f\left(y\right)=\sqrt{\left|y\right|}$$f(y)=\sqrt{|y|} is continuous at $$y=0$$y=0. However,

diverges as $$y\to 0$$y\to0. Hence no single constant $$L$$L controls the difference on a neighborhood of $$0$$0.

5.3Relation to Continuity of $$\mathit{\partial }f/\mathit{\partial }y$$\partial f/\partial y

Let $$R$$R be a closed and bounded rectangle whose interior contains the initial point. If $$\mathit{\partial }f/\mathit{\partial }y$$\partial f/\partial y is continuous on $$R$$R, the extreme value theorem gives the finite constant

For each fixed $$x$$x, the mean value theorem then establishes the Lipschitz condition in $$y$$y on $$R$$R. On an open or unbounded region, continuity alone does not imply boundedness. Moreover, continuity of the partial derivative is sufficient for the Lipschitz condition but is not necessary.

6Scope

The Lipschitz condition is a standard sufficient condition for uniqueness. Failure of the condition does not necessarily imply nonuniqueness; failure of a theorem's hypothesis does not imply the negation of its conclusion.

Local Lipschitz continuity alone does not establish existence for all time. Global existence also requires examination of the domain and growth of the right-hand side. The next lecture distinguishes local existence obtained from continuity from uniqueness obtained from Lipschitz continuity, and then studies continuation of a local solution through its maximal interval of existence.

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9Exercises