初期値問題しょきちもんだいと境界値問題きょうかいちもんだい

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、微分方程式びぶんほうていしきと条件じょうけんを組くみ合あわせて解集合かいしゅうごうを決定けっていする方法ほうほうを説明せつめいする。微分方程式びぶんほうていしきを積分せきぶんすると、ふつう任意定数にんいていすうを含ふくむ関数族かんすうぞくが得えられる。条件じょうけんは、その関数族かんすうぞくに制約せいやくを課かすが、条件じょうけんの整合性せいごうせいによっては解かいが存在そんざいしない場合ばあいや複数ふくすうの解かいが残のこる場合ばあいもある。

たとえば

を積分せきぶんすると、

である。このままでは $$C$$C が決きまらない。$$y\left(0\right)=1$$y(0)=1 という条件じょうけんが加くわわると $$C=1$$C=1 になり、解かいは $$y=x^2+1$$y=x^2+1 に決きまる。

2初期値問題しょきちもんだい

初期値問題しょきちもんだいinitial value problemとは、ある基準点きじゅんてんで未知関数みちかんすうやその導関数どうかんすうの値あたいを指定していする問題もんだいである。たとえば

は一階いっかいの初期値問題しょきちもんだいである。

二階にかいなら、たとえば

のように、関数かんすうの値あたいと速度そくどにあたる導関数どうかんすうの値あたいを指定していすることが多おおい。

時間発展じかんはってんを表あらわす問題もんだいでは、初期値しょきちが現在げんざいの状態じょうたいを指定していし、そこから将来しょうらいの状態じょうたいを決定けっていする。ただし、独立変数どくりつへんすうが時間じかんでない場合ばあいにも、同おなじ数学的形式すうがくてきけいしきを用もちいる。

3境界値問題きょうかいちもんだい

境界値問題きょうかいちもんだいboundary value problemとは、区間くかんの端点たんてんや領域りょういきの境界きょうかいで条件じょうけんを指定していする問題もんだいである。たとえば

は境界値問題きょうかいちもんだいである。

境界値問題きょうかいちもんだいを考かんがえる理由りゆうは、棒ぼうの温度分布おんどぶんぷ、弦げんの形かたち、定常状態ていじょうじょうたいのように、両端りょうたんや境界きょうかいの条件じょうけんが全体ぜんたいの形かたちを拘束こうそくする現象げんしょうがあるからである。

4命題めいだい1：条件じょうけんは任意定数にんいていすうを制約せいやくする

仮定かていとして、微分方程式びぶんほうていしきの一般解いっぱんかいが 1 個この任意定数にんいていすう $$C$$C を含ふくむ

で与あたえられているとする。条件じょうけん $$y\left(x_0\right)=y_0$$y(x_0)=y_0 を課かすと、許容きょようされる $$C$$C は

を満みたす値あたいに制約せいやくされる。この方程式ほうていしきが一意解いちいかいを持もつときに限かぎり、$$C$$C は一意いちいに決定けっていされる。

4.1証明しょうめい

解かいが $$y=\varphi (x,C)$$y=\phi(x,C) と書かけるという仮定かていから、基準点きじゅんてん $$x_0$$x_0 での値あたいは $$\varphi (x_0,C)$$\phi(x_0,C) である。条件じょうけん $$y\left(x_0\right)=y_0$$y(x_0)=y_0 を満みたすには、

が必要ひつようである。逆ぎゃくに、この方程式ほうていしきを満みたす $$C$$C を選えらべば、

となる。したがって条件じょうけんは任意定数にんいていすうを制約せいやくする方程式ほうていしきとして機能きのうする。この方程式ほうていしきに解かいがなければ、提示ていじされた一般解族いっぱんかいぞくには条件じょうけんを満みたす要素ようそがない。複数ふくすうの解かいがあれば、複数ふくすうの候補こうほが残のこる。

この命題めいだいは、一般解族いっぱんかいぞくに条件じょうけんを課かす操作そうさを、任意定数にんいていすうに対たいする方程式ほうていしきへ帰着きちゃくできることを示しめす。

5例れい1：一階いっかいの初期値問題しょきちもんだい

を考かんがえる。まず方程式ほうていしきだけを解とくと、

である。ここで $$y\left(0\right)=1$$y(0)=1 を使つかうと、

だから

である。

検算けんざんする。$$y=e^{-x}$$y=e^{-x} なら $$y^{\prime }=-e^{-x}=-y$$y'=-e^{-x}=-y であり、また $$y\left(0\right)=1$$y(0)=1 である。したがって方程式ほうていしきと条件じょうけんの両方りょうほうを満みたす。

6例れい2：二階にかいの境界値問題きょうかいちもんだい

を考かんがえる。$$y^{\prime }\text{'}=0$$y''=0 を 1 回かい積分せきぶんすると $$y^{\prime }=A$$y'=A、さらに積分せきぶんすると

である。境界条件きょうかいじょうけん $$y\left(0\right)=0$$y(0)=0 から $$B=0$$B=0、$$y\left(1\right)=1$$y(1)=1 から $$A=1$$A=1 である。したがって

である。

初期値問題しょきちもんだいでも境界値問題きょうかいちもんだいでも、基本的きほんてきな操作そうさは同おなじである。まず一般解いっぱんかいを求もとめ、条件じょうけんを代入だいにゅうして任意定数にんいていすうを制約せいやくする。

$n$n 個この任意定数にんいていすうがある場合ばあいでも、$n$n 個この条件じょうけんがあれば自動的じどうてきに決きまるわけではない。一般いっぱんには、条件じょうけんの代入だいにゅうによって任意定数にんいていすうに関かんする方程式系ほうていしきけいが得えられ、その可解性かかいせいと一意性いちいせいを確認かくにんする必要ひつようがある。線型同次せんけいどうじ ODE の解空間かいくうかんを張はる線型独立せんけいどくりつな解かいを基底解きていかいbasis solutionという。線型せんけい ODE の一般解いっぱんかいの同次部分どうじぶぶんを基底解きていかいの線型結合せんけいけつごうで表あらわし、線型せんけいな条件じょうけんを課かす場合ばあいには、この方程式系ほうていしきけいは連立一次方程式れんりついちじほうていしきとなる。その係数行列けいすうぎょうれつが正則せいそくであれば、任意定数にんいていすうは一意いちいに決定けっていされる。

$n$n 階線型同次かいせんけいどうじ ODE の基底解きていかいを $$y_1,\dots ,y_n$$y_1,\ldots,y_n とする。同一どういつの点てん $$x_0$$x_0 で $$y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}$$y,y',\ldots,y^{(n-1)} の値あたいを指定していする標準的ひょうじゅんてきな初期条件しょきじょうけんでは、積分定数せきぶんていすうに関かんする係数行列けいすうぎょうれつは

である。この行列式ぎょうれつしきを $$x_0$$x_0 における Wronskian $$W(y_1,\dots ,y_n)\left(x_0\right)$$W(y_1,\ldots,y_n)(x_0) という。Wronskian が 0 でなければ、この行列ぎょうれつは正則せいそくであり、積分定数せきぶんていすうは一意いちいに決定けっていされる。一方いっぽう、異ことなる端点たんてんに課かす境界条件きょうかいじょうけんや一般いっぱんの線型条件せんけいじょうけんでは、別途べっと構成こうせいされる条件行列じょうけんぎょうれつの正則性せいそくせいを判定はんていする必要ひつようがあり、その行列式ぎょうれつしきは一般いっぱんには Wronskian ではない。

7初期値問題しょきちもんだいと境界値問題きょうかいちもんだいの違ちがい

ここで固有振動こゆうしんどうという言葉ことばが出でてくるが、このページでは詳くわしく扱あつかわない。境界条件きょうかいじょうけんを満みたす特別とくべつな振動しんどうだけが許ゆるされる問題もんだいがあり、その先さきで固有値こゆうちや固有関数こゆうかんすうを学まなぶ。

8注意ちゅうい：条件じょうけんの本数ほんすうだけでは十分じゅうぶんでない

二階にかいの微分方程式びぶんほうていしきでは、一般解いっぱんかいに通常つうじょう 2 個この任意定数にんいていすうが現あらわれる。そのため 2 個この条件じょうけんが必要ひつようになることが多おおい。しかし、条件じょうけんが 2 個こあれば必かならず 1 本ほんの解かいが存在そんざいする、というわけではない。

たとえば

を考かんがえる。1 回かい積分せきぶんすると $$y^{\prime }=A$$y'=A、もう 1 回かい積分せきぶんすると

である。ここで境界きょうかいでの導関数どうかんすうを指定していする条件じょうけん

を課かす。$$y^{\prime }=A$$y'=A だから、$$y^{\prime }\left(0\right)=0$$y'(0)=0 から $$A=0$$A=0 である。一方いっぽう、$$y^{\prime }\left(1\right)=1$$y'(1)=1 から $$A=1$$A=1 でなければならない。これは矛盾むじゅんする。したがって、この境界値問題きょうかいちもんだいには解かいがない。

一方いっぽう、境界条件きょうかいじょうけんが

なら、$$A=0$$A=0 だけが決きまり、$$B$$B は任意にんいである。したがって

がすべて解かいであり、解かいは無限個むげんこある。

このように、条件じょうけんの本数ほんすうが階数かいすうと合あっていても、境界条件きょうかいじょうけんの位置いちと方程式ほうていしきの性質せいしつによって、解かいがない場合ばあいや複数ふくすうある場合ばあいが起おこる。

この問題もんだいは、存在そんざいと一意性いちいせいの理論りろんにおける主要しゅような分析対象ぶんせきたいしょうである。

9読よみ方かたの手順てじゅん

1. 未知関数みちかんすうと独立変数どくりつへんすうを確認かくにんする。
2. 階数かいすうを確認かくにんする。
3. 条件じょうけんが同おなじ点てんに集あつまっているか、端点たんてんや境界きょうかいに置おかれているかを確認かくにんする。
4. 一般解いっぱんかいが得えられる場合ばあいは、それを求もとめる。
5. 条件じょうけんを代入だいにゅうして任意定数にんいていすうに対たいする制約方程式せいやくほうていしきを解とき、許容きょようされる定数ていすうを決定けっていする。
6. 最後さいごに元もとの方程式ほうていしきと条件じょうけんへ代入だいにゅうして検算けんざんする。

10次つぎの講義こうぎ

次つぎに、一階微分方程式いっかいびぶんほうていしきを方程式ほうていしきの形式けいしきに応おうじて分類ぶんるいし、適用可能てきようかのうな解法かいほうを判定はんていする。

11演習えんしゅうリンク

Initial Value Problems and Boundary Value Problems

1Introduction

This lecture explains how a differential equation and prescribed conditions jointly determine a solution set. Integrating a differential equation commonly produces a family of functions containing arbitrary constants. Conditions constrain that family, but incompatible or dependent conditions may leave no solution or multiple solutions.

For example, integrating

gives

The constant $$C$$C is undetermined until a condition is imposed. The condition $$y\left(0\right)=1$$y(0)=1 yields $$C=1$$C=1 and therefore selects the solution $$y=x^2+1$$y=x^2+1.

2Initial Value Problems

An initial value problem specifies the value of an unknown function and, when required, some of its derivatives at a common reference point. For example,

is a first-order initial value problem.

For a second-order equation, one commonly prescribes both the function and its first derivative:

When the independent variable represents time, these data may specify the current state from which an evolution is determined. The same mathematical form is also used when the independent variable is not time.

3Boundary Value Problems

A boundary value problem specifies conditions at the endpoints of an interval or on the boundary of a domain. For example,

is a boundary value problem.

Boundary value problems arise when endpoint or boundary data constrain an entire spatial profile, as in steady-state temperature distributions, the shapes of strings, and other equilibrium configurations.

4Proposition 1: Conditions Constrain Arbitrary Constants

Suppose that a general solution of a differential equation is given by

where $$C$$C is an arbitrary constant. Imposing $$y\left(x_0\right)=y_0$$y(x_0)=y_0 restricts the admissible values of $$C$$C to solutions of

The constant $$C$$C is determined uniquely only if this equation has a unique solution.

4.1Proof

The representation $$y=\varphi (x,C)$$y=\phi(x,C) gives $$y\left(x_0\right)=\varphi (x_0,C)$$y(x_0)=\phi(x_0,C). Hence the condition $$y\left(x_0\right)=y_0$$y(x_0)=y_0 requires

Conversely, any value of $$C$$C satisfying this equation gives

Thus the condition becomes an equation constraining the arbitrary constant. If that equation has no solution, the conditioned problem has no solution within the stated general family; if it has multiple solutions, multiple candidates remain.

This proposition shows that imposing a condition on a general family can be reduced to solving an equation for its arbitrary constants.

5Example 1: A First-Order Initial Value Problem

Consider

Solving the differential equation alone gives

The initial condition yields

so

Verification is essential: $$y^{\prime }=-e^{-x}=-y$$y'=-e^{-x}=-y and $$y\left(0\right)=1$$y(0)=1, so the function satisfies both the equation and the condition.

6Example 2: A Second-Order Boundary Value Problem

Consider

Integrating twice gives $$y^{\prime }=A$$y'=A and then

The boundary condition $$y\left(0\right)=0$$y(0)=0 gives $$B=0$$B=0, while $$y\left(1\right)=1$$y(1)=1 gives $$A=1$$A=1. Therefore,

The same basic operation occurs in initial and boundary value problems: determine a general solution and substitute the conditions to constrain its arbitrary constants.

The presence of $$n$$n arbitrary constants and $$n$$n conditions does not by itself ensure unique determination. In general, substitution produces a system of equations for the constants, and its solvability and uniqueness must be checked. Linearly independent solutions that span the solution space of a homogeneous linear ODE are called basis solutions. When the homogeneous part of a general linear ODE solution is expressed as a linear combination of basis solutions and the imposed conditions are linear, the resulting system is linear. If its coefficient matrix is nonsingular, the arbitrary constants are uniquely determined.

Let $$y_1,\dots ,y_n$$y_1,\ldots,y_n be a basis of solutions of an $$n$$nth-order homogeneous linear ODE. For standard initial conditions specifying $$y,y^{\prime },\dots ,y^{(n-1)}$$y,y',\ldots,y^{(n-1)} at the same point $$x_0$$x_0, the coefficient matrix for the integration constants is

Its determinant is the Wronskian $$W(y_1,\dots ,y_n)\left(x_0\right)$$W(y_1,\ldots,y_n)(x_0). If the Wronskian is nonzero, the matrix is nonsingular and the integration constants are uniquely determined. For boundary conditions imposed at different endpoints or for general linear conditions, one must instead test the separately constructed condition matrix; its determinant is not generally a Wronskian.

7Comparison of Initial and Boundary Value Problems

The term normal mode appears in the table but is not developed here. In some problems, only particular oscillations satisfy the boundary conditions; their analysis leads to eigenvalues and eigenfunctions.

8Caution: The Number of Conditions Is Not Sufficient

A second-order differential equation commonly has a general solution containing two arbitrary constants, so two conditions are often required. Nevertheless, two conditions do not guarantee the existence of exactly one solution.

Consider

Twice integrating gives

Now impose the derivative boundary conditions

The first requires $$A=0$$A=0, whereas the second requires $$A=1$$A=1. These requirements are inconsistent, so the boundary value problem has no solution.

By contrast, if

then only $$A=0$$A=0 is fixed and $$B$$B remains arbitrary. Hence every constant function

is a solution, and the problem has infinitely many solutions.

Thus, even when the number of conditions matches the order, the placement of the conditions and the structure of the equation may lead to no solution or multiple solutions. Existence and uniqueness theory analyzes precisely these questions.

9Analysis Procedure

1. Identify the unknown function and independent variable.
2. Determine the order of the equation.
3. Determine whether the conditions are imposed at one reference point or distributed across endpoints or a boundary.
4. Determine a general solution when one is available.
5. Substitute the conditions, solve the resulting constraint equations, and identify the admissible constants.
6. Substitute the result into the original equation and all prescribed conditions to verify it.

10Next Lecture

The next lecture classifies first-order differential equations by form and explains how to identify applicable solution methods.

11Exercises