定数変化法ていすうへんかほうと Wronskian

date2026-07-16document_iddoc_7db9f0ee18d79fdd6073e08a3574c010description定数変化法と Wronskian を、連続係数をもつ二階線型非同次方程式の一般的な特殊解構成法として説明する。prerequisites非同次方程式と未定係数法 / ベクトル空間と基底type講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationsvariation-of-parameterslecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、同次方程式どうじほうていしきの基本解系きほんかいけいから非同次方程式ひどうじほうていしきの特殊解とくしゅかいを構成こうせいする定数変化法ていすうへんかほうを説明せつめいする。Wronskian の非消滅性ひしょうめつせいを区間全体くかんぜんたいの条件じょうけんとして明確化めいかくかし、積分定数せきぶんていすうの役割やくわりも整理せいりする。

2仮定かていと基本解系きほんかいけい

区間くかん $I$ 上じょうの標準形ひょうじゅんけい

y^{'}' + P (x) y^{'} + Q (x) y = R (x)

を考かんがえる。 $P, Q, R$ は $I$ 上じょうで連続れんぞくであるとする。また、 $y_{1}, y_{2}$ は対応たいおうする同次方程式どうじほうていしきの基本解きほんかい、すなわち $I$ 上じょうで線型独立せんけいどくりつな 2 解かいであるとする。

WronskianWronskian を

W (x) = | \begin{matrix} y_{1} (x) & y_{2} (x) \\ y_{1^{'}} (x) & y_{2^{'}} (x) \end{matrix} | = y_{1} y_{2^{'}} - y_{1^{'}} y_{2}

と定義ていぎする。Abel の恒等式こうとうしき

W (x) = W (x_{0}) \exp (- \int_{x_{0}}^{x} P (s) d s), x, x_{0} \in I

により、 $W (x_{0}) \neq 0$ となる一点いってん $x_{0} \in I$ があれば、 $W (x) \neq 0$ は $I$ 全体ぜんたいで成立せいりつする。反対はんたいに、 $I$ 上じょうの一点いってんで $W = 0$ なら $I$ 全体ぜんたいで $W = 0$ である。したがって、連続係数れんぞくけいすうの同次方程式どうじほうていしきでは、Wronskian の非消滅性ひしょうめつせいを点てんごとに仮定かていする必要ひつようはない。

3定数変化法ていすうへんかほうの導出どうしゅつ

特殊解とくしゅかいを

y_{p} = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x)

と設定せっていし、補助条件ほじょじょうけん

u_{1^{'}} y_{1} + u_{2^{'}} y_{2} = 0

を課かす。この条件じょうけんにより

y_{p^{'}} = u_{1} y_{1^{'}} + u_{2} y_{2^{'}}

となる。さらに微分びぶんして原方程式げんほうていしきへ代入だいにゅうすると、 $y_{1}, y_{2}$ が同次解どうじかいであるため、残存ざんそんする条件じょうけんは

u_{1^{'}} y_{1^{'}} + u_{2^{'}} y_{2^{'}} = R

である。したがって

(\begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1^{'}} & y_{2^{'}} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{1^{'}} \\ u_{2^{'}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ R \end{matrix}) .

$W \neq 0$ であるため、この連立一次方程式れんりついちじほうていしきは一意いちいに解とけ、Cramer の法則ほうそくから

u_{1^{'}} = - \frac{y_{2} R}{W}, u_{2^{'}} = \frac{y_{1} R}{W}

を得える。

4定積分ていせきぶんによる特殊解とくしゅかい

基点きてん $x_{0} \in I$ を固定こていすると、

u_{1} (x) = - \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{2} (s) R (s)}{W (s)} d s, u_{2} (x) = \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{1} (s) R (s)}{W (s)} d s

であり、

y_{p} (x) = - y_{1} (x) \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{2} (s) R (s)}{W (s)} d s + y_{2} (x) \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{1} (s) R (s)}{W (s)} d s

は特殊解とくしゅかいである。この定積分表示ていせきぶんひょうじでは $u_{1} (x_{0}) = u_{2} (x_{0}) = 0$ となる。

不定積分ふていせきぶんを用もちいる場合ばあい、 $u_{1}, u_{2}$ に任意にんいの積分定数せきぶんていすうが加くわわる。それらが $y_{p}$ に寄与きよする項こうは $C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}$ であり、同次解どうじかいへ吸収きゅうしゅうされる。したがって、一般解いっぱんかいは

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + y_{p}

である。

5具体例ぐたいれい： $y^{'}' + y = \tan x$

$\tan x$ が連続れんぞくとなる任意にんいの開区間かいくかん

I_{k} = (- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π), k \in Z

を固定こていする。 $y_{1} = \cos x$ 、 $y_{2} = \sin x$ は $I_{k}$ 上じょうの基本解系きほんかいけいであり、 $W = 1$ である。したがって

u_{1^{'}} = - \sin x \tan x, u_{2^{'}} = \cos x \tan x = \sin x .

不定積分ふていせきぶんの一例いちれいとして

u_{1} = - \log | \sec x + \tan x | + \sin x, u_{2} = - \cos x

を選択せんたくできる。これを $u_{1} y_{1} + u_{2} y_{2}$ へ代入だいにゅうすると、交差項こうさこうが相殺そうさいされ、

y_{p} = - \cos x \log | \sec x + \tan x |

を得える。この式しきは選択せんたくした $I_{k}$ 上じょうで定義ていぎされ、直接代入ちょくせつだいにゅうにより $y_{p^{'}}' + y_{p} = \tan x$ を確認かくにんできる。異ことなる積分定数せきぶんていすうの選択せんたくは同次解どうじかいを追加ついかするだけである。

6方法ほうほうの選択せんたくと限界げんかい

未定係数法みていけいすうほうは適用条件てきようじょうけんを満みたす場合ばあいに計算量けいさんりょうが少すくない。定数変化法ていすうへんかほうは $R$ の関数形かんすうけいへの依存いぞんが弱よわいが、基本解系きほんかいけいを事前じぜんに構成こうせいする必要ひつようがあり、積分せきぶんが初等関数しょとうかんすうで表示ひょうじできるとは限かぎらない。また、 $P, Q, R$ が同時どうじに連続れんぞくとなる一ひとつの区間くかんごとに適用てきようする必要ひつようがある。

一次線型連立系いちじせんけいれんりつけいにも基本解行列きほんかいぎょうれつを用もちいる対応たいおうする公式こうしきがある。その詳細しょうさいは後続こうぞくの連立系れんりつけいの講義こうぎで扱あつかう。

7前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/nonhomogeneous-equations-and-undetermined-coefficients.lecture.n.md

8次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/euler-cauchy-and-higher-order-equations.lecture.n.md

9演習えんしゅう

data/exercise/math/differential-equations/nonhomogeneous-equations-and-particular-solutions.exercise.n.md

Variation of Parameters and the Wronskian

1Introduction

This lecture develops variation of parameters, which constructs a particular solution of a nonhomogeneous equation from a fundamental pair of homogeneous solutions. It formulates nonvanishing of the Wronskian as an interval-wide condition and explains the role of constants of integration.

2Hypotheses and a Fundamental Pair

On an interval $I$ , consider

y^{'}' + P (x) y^{'} + Q (x) y = R (x),

where $P, Q, R$ are continuous on $I$ . Let $y_{1}, y_{2}$ be a fundamental pair for the corresponding homogeneous equation; that is, they are linearly independent solutions on $I$ .

Define the {Wronskian} by

W (x) = | \begin{matrix} y_{1} (x) & y_{2} (x) \\ y_{1^{'}} (x) & y_{2^{'}} (x) \end{matrix} | = y_{1} y_{2^{'}} - y_{1^{'}} y_{2.}

Abel's identity states that

W (x) = W (x_{0}) \exp (- \int_{x_{0}}^{x} P (s) d s), x, x_{0} \in I .

Thus, if $W (x_{0}) \neq 0$ at one point of $I$ , then $W (x) \neq 0$ throughout $I$ . Conversely, vanishing at one point implies vanishing throughout the interval. For a homogeneous equation with continuous coefficients, nonvanishing need not be assumed separately at every point.

3Derivation of Variation of Parameters

Set

y_{p} = u_{1} (x) y_{1} (x) + u_{2} (x) y_{2} (x)

and impose

u_{1^{'}} y_{1} + u_{2^{'}} y_{2} = 0.

Then $y_{p^{'}} = u_{1} y_{1^{'}} + u_{2} y_{2^{'}}$ . Differentiating once more and substituting into the original equation leaves

u_{1^{'}} y_{1^{'}} + u_{2^{'}} y_{2^{'}} = R .

Therefore,

(\begin{matrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1^{'}} & y_{2^{'}} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{1^{'}} \\ u_{2^{'}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ R \end{matrix}) .

Since $W \neq 0$ on $I$ , Cramer's rule gives

u_{1^{'}} = - \frac{y_{2} R}{W}, u_{2^{'}} = \frac{y_{1} R}{W} .

4Definite-Integral Formula

Fix a base point $x_{0} \in I$ . Then

u_{1} (x) = - \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{2} (s) R (s)}{W (s)} d s, u_{2} (x) = \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{1} (s) R (s)}{W (s)} d s,

so a particular solution is

y_{p} (x) = - y_{1} (x) \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{2} (s) R (s)}{W (s)} d s + y_{2} (x) \int_{x_{0}}^{x} \frac{y_{1} (s) R (s)}{W (s)} d s .

This choice satisfies $u_{1} (x_{0}) = u_{2} (x_{0}) = 0$ . If indefinite integrals are used instead, their arbitrary constants contribute $C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}$ and are absorbed into the homogeneous solution. Hence the general solution is

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + y_{p} .

5Example: $y^{'}' + y = \tan x$

Fix any interval on which $\tan x$ is continuous,

I_{k} = (- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π), k \in Z .

The functions $y_{1} = \cos x$ and $y_{2} = \sin x$ form a fundamental pair on $I_{k}$ , with $W = 1$ . Thus,

u_{1^{'}} = - \sin x \tan x, u_{2^{'}} = \sin x .

One choice of antiderivatives is

u_{1} = - \log | \sec x + \tan x | + \sin x, u_{2} = - \cos x .

The cross terms cancel in $u_{1} y_{1} + u_{2} y_{2}$ , yielding

y_{p} = - \cos x \log | \sec x + \tan x | .

This expression is defined on the selected interval $I_{k}$ , and direct substitution verifies $y_{p^{'}}' + y_{p} = \tan x$ . Different integration constants merely add a homogeneous solution.

6Method Selection and Limitations

Undetermined coefficients has lower computational cost when its hypotheses hold. Variation of parameters is less dependent on the form of $R$ , but a fundamental pair must already be known, and the resulting integrals need not be elementary. The method must be applied separately on each interval where $P, Q, R$ are simultaneously continuous.

An analogous formula using a fundamental matrix exists for first-order linear systems. Its details are deferred to the subsequent lectures on systems.

7Previous Lecture