非同次方程式ひどうじほうていしきと未定係数法みていけいすうほう

date2026-07-16document_iddoc_03a23e75eacf5a680477ecfe9c14adc8description非同次線型微分方程式を、線型作用素 L の特殊解 + 核として整理し、未定係数法の条件と共鳴補正を説明する。prerequisites二階線型定数係数微分方程式の拡張理論 / 線型作用素方程式の基本type講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationsnonhomogeneouslecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、非同次線型方程式ひどうじせんけいほうていしきの一般解いっぱんかいを同次解どうじかいと特殊解とくしゅかいに分解ぶんかいし、未定係数法みていけいすうほうが成立せいりつする条件じょうけんを明示めいじする。

2標準形ひょうじゅんけい

L [y] = a y^{'}' + b y^{'} + c y = f (x), a \neq 0

を考かんがえる。ここでは $a, b, c$ が定数ていすうである場合ばあいを中心ちゅうしんに扱あつかう。

3線型性せんけいせいによる解集合かいしゅうごうの構造こうぞう

線型性せんけいせいにより、 $y_{p}$ が $L [y_{p}] = f (x)$ を満みたし、 $y_{h}$ が $L [y_{h}] = 0$ を満みたすなら、

L [y_{h} + y_{p}] = f (x)

である。したがって一般解いっぱんかいは $y = y_{h} + y_{p}$ となる。

これは線型せんけい作用素さようそ方程式ほうていしきの一般いっぱん定理ていりそのものである。 $L [y_{p}] = f$ を満みたす特殊解とくしゅかいが 1 つあるとする。 $h \in \ker L$ なら

L [y_{p} + h] = L [y_{p}] + L [h] = f + 0 = f

なので $y_{p} + h$ は解かいである。逆ぎゃくに $y$ も $L [y] = f$ の解かいなら

L [y - y_{p}] = L [y] - L [y_{p}] = f - f = 0

であるから、 $y - y_{p} \in \ker L$ である。したがって解かい全体ぜんたいは

y_{p} + \ker L

であり、同次どうじ解空間かいくうかんは $\ker L$ である。

data/lecture/math/linear-operator/linear-operator-equation-basics.lecture.n.md

4未定係数法みていけいすうほうの条件じょうけん

未定係数法みていけいすうほうMethod of undetermined coefficients は、定数係数ていすうけいすうであり、右辺うへん $f (x)$ が多項式たこうしき・指数関数しすうかんすう・正弦せいげん・余弦よげん、またはそれらの有限和ゆうげんわ・有限積ゆうげんせきである場合ばあいに特とくに有効ゆうこうである。

この条件じょうけんが必要ひつようになる理由りゆうは、これらの関数族かんすうぞくが微分びぶんで有限次元空間ゆうげんじげんくうかんの内部ないぶに留とどまるからである。たとえば $e^{2 x}$ は微分びぶんしても $e^{2 x}$ の定数倍ていすうばいである。

候補こうほは右辺うへんをそのまま模倣もほうするのではなく、微分びぶんで閉とじる関数空間かんすうくうかんを選択せんたくする。

右辺うへんの形かたち	特殊解候補とくしゅかいこうほの基本形きほんけい	理由りゆう
$p_{n} (x)$	$n$ 次多項式じたこうしき	微分びぶんで次数じすうが下さがるだけである
$e^{α x}$	$A e^{α x}$	微分びぶんで定数倍ていすうばいになる
$\cos β x, \sin β x$	$A \cos β x + B \sin β x$	微分びぶんで 2 次元空間じげんくうかんの内部ないぶに留とどまる
$e^{α x} p_{n} (x)$	$e^{α x} q_{n} (x)$	指数因子しすういんしと多項式空間たこうしきくうかんが保たもたれる

5具体例ぐたいれい 1：右辺うへんが多項式たこうしきの場合ばあい

y^{'}' - y = x

を考かんがえる。同次解どうじかいは $y_{h} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$ である。右辺うへんが 1 次多項式じたこうしきであるため、特殊解候補とくしゅかいこうほを $y_{p} = A x + B$ と設定せっていする。この候補こうほを選択せんたくする理由りゆうは、微分びぶんしても $1, x$ の張はる有限次元空間ゆうげんじげんくうかんの内部ないぶに留とどまるためである。

y_{p^{'}}' - y_{p} = 0 - (A x + B) = - A x - B

これが $x$ に一致いっちするため、 $- A = 1$ 、 $- B = 0$ であり、 $A = - 1, B = 0$ を得える。したがって特殊解とくしゅかいは $y_{p} = - x$ であり、

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - x

を得える。計算けいさんの要点ようてんは、候補こうほを推測すいそくすることではなく、候補空間こうほくうかんが微分作用びぶんさようで閉とじることを利用りようする点てんにある。

6共鳴きょうしんと補正ほせい

y^{'}' + y = \cos x

では同次解どうじかいに $\cos x, \sin x$ が含ふくまれる。したがって $A \cos x + B \sin x$ を特殊解候補とくしゅかいこうほにすると同次解どうじかいと重複ちょうふくし、新あらたな特殊解とくしゅかいを生成せいせいできない。この場合ばあいは $x (A \cos x + B \sin x)$ とし、線型独立性せんけいどくりつせいを回復かいふくする。

実際じっさい、 $y_{p} = x (A \cos x + B \sin x)$ と設定せっていして代入だいにゅうすると、一ひとつの特殊解とくしゅかいとして $y_{p} = \frac{1}{2} x \sin x$ が得えられる。 $x$ を掛かける操作そうさは暗記項目あんきこうもくではなく、同次解空間どうじかいくうかんとの重複ちょうふくを回避かいひするための線型代数的補正せんけいだいすうてきほせいである。

作用素さようその表現ひょうげんでは、最初さいしょの候補こうほが $\ker L$ に属ぞくすると、 $L$ を作用さようさせても 0 となり、右辺うへんを生成せいせいできない。そこで、 $x$ を乗じょうじた候補こうほへ変更へんこうする。これは「候補こうほを同次解空間どうじかいくうかんとの重複ちょうふくから除外じょがいし、 $L$ の像ぞうとして右辺うへんを生成せいせいする」ための補正ほせいである。ただし、 $x$ を乗じょうじる回数かいすうは根こんの重複度ちょうふくどや候補空間こうほくうかんに依存いぞんするため、共鳴補正きょうめいほせいは未定係数法みていけいすうほうの適用条件てきようじょうけんに基もとづいて決定けっていする必要ひつようがある。

7反例はんれいとなる状況じょうきょう

y^{'}' + y = \tan x

では $\tan x$ とその導関数どうかんすうは有限個ゆうげんこの候補関数こうほかんすうで閉とじない。したがって未定係数法みていけいすうほうは自然しぜんな方法ほうほうではない。この場合ばあいは定数変化法ていすうへんかほうなどを検討けんとうする。

さらに、係数けいすうが変数へんすうに依存いぞんする $y^{'}' + x y = f (x)$ のような方程式ほうていしきでは、右辺うへんが単純たんじゅんでも未定係数法みていけいすうほうの構造こうぞうは崩くずれる。未定係数法みていけいすうほうは、定数係数ていすうけいすうの線型作用素せんけいさようそが有限次元関数空間ゆうげんじげんかんすうくうかんを保たもつことに依存いぞんするためである。

8未定係数法みていけいすうほうと定数変化法ていすうへんかほうの適用範囲てきようはんいの比較ひかく

方法ほうほう	長所ちょうしょ	制約せいやく
未定係数法みていけいすうほう	計算けいさんが簡潔かんけつである	定数係数ていすうけいすうと右辺うへんの形かたちに強つよく依存いぞんする
定数変化法ていすうへんかほう	右辺うへんの形かたちに比較的ひかくてき依存いぞんしない	積分計算せきぶんけいさんが複雑ふくざつになりやすい

最初さいしょに未定係数法みていけいすうほうを試行しこうする理由りゆうは計算効率けいさんこうりつである。ただし適用条件てきようじょうけんを満みたさない場合ばあいには、定数変化法ていすうへんかほうや基本解行列きほんかいぎょうれつへの移行いこうを判断はんだんする必要ひつようがある。

9適用範囲てきようはんいと限界げんかい

未定係数法みていけいすうほうは、定数係数線型作用素ていすうけいすうせんけいさようそが有限次元関数空間ゆうげんじげんかんすうくうかんを保たもつ場合ばあいに計算効率けいさんこうりつを発揮はっきする方法ほうほうである。したがって、右辺うへんの形かたちが複雑ふくざつな場合ばあい、係数けいすうが変数へんすうに依存いぞんする場合ばあい、または同次解どうじかいとの重複ちょうふくを補正ほせいしない場合ばあいには破綻はたんする。

ただし、未定係数法みていけいすうほうが不適ふてきであることは、非同次方程式ひどうじほうていしきの可解性かかいせいを否定ひていしない。定数変化法ていすうへんかほうは右辺うへんの形かたちへの依存いぞんが弱よわく、積分表示せきぶんひょうじとして特殊解とくしゅかいを構成こうせいできる場合ばあいが多おおい。方法選択ほうほうせんたくでは、候補空間こうほくうかんが微分びぶんで閉とじるかを最初さいしょに確認かくにんする。

10前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/complex-roots-and-forced-oscillations.lecture.n.md

11次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/variation-of-parameters-and-wronskian.lecture.n.md

12演習えんしゅう

data/exercise/math/differential-equations/nonhomogeneous-equations-and-particular-solutions.exercise.n.md

Nonhomogeneous Equations and the Method of Undetermined Coefficients

1Introduction

This lecture decomposes the general solution of a nonhomogeneous linear equation into a homogeneous solution and a particular solution and states the conditions under which the method of undetermined coefficients applies.

2Standard Form

Consider

L [y] = a y^{'}' + b y^{'} + c y = f (x),

with constant coefficients $a, b, c$ and $a \neq 0$ .

3Affine Structure of the Solution Set

Suppose that $L [y_{p}] = f$ and $L [y_{h}] = 0$ . Linearity gives

L [y_{h} + y_{p}] = f .

More precisely, if $h \in \ker L$ , then $L [y_{p} + h] = f$ . Conversely, if $L [y] = f$ , then $L [y - y_{p}] = 0$ , so $y - y_{p} \in \ker L$ . The complete solution set is therefore the affine space

y_{p} + \ker L .

The homogeneous solution space is $\ker L$ . This is the general structure of a linear operator equation.

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4Conditions for the Method of Undetermined Coefficients

The {method of undetermined coefficients} is especially effective when the differential operator has constant coefficients and $f (x)$ is a polynomial, an exponential, a sine or cosine, or a finite sum or product of such functions. These function families lie in finite-dimensional spaces preserved by differentiation. A trial function must therefore span a differentiation-invariant function space rather than merely imitate the displayed forcing term.

Form of the forcing term	Basic form of a trial particular solution	Reason
$p_{n} (x)$	A polynomial of degree $n$	Differentiation only lowers the degree
$e^{α x}$	$A e^{α x}$	Differentiation produces a scalar multiple
$\cos β x, \sin β x$	$A \cos β x + B \sin β x$	Differentiation preserves their two-dimensional span
$e^{α x} p_{n} (x)$	$e^{α x} q_{n} (x)$	The exponential factor and polynomial space are preserved

5Example 1: Polynomial Forcing

Consider

y^{'}' - y = x .

The homogeneous solution is $y_{h} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}$ . Because the right-hand side is a first-degree polynomial, set $y_{p} = A x + B$ . Then

y_{p^{'}}' - y_{p} = - A x - B .

Comparison with $x$ gives $A = - 1$ and $B = 0$ . Hence

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - x .

The essential point is that the trial space spanned by $1, x$ is closed under differentiation.

6Resonance and the Trial-Function Correction

For

y^{'}' + y = \cos x,

the functions $\cos x$ and $\sin x$ belong to the homogeneous solution space. A trial function $A \cos x + B \sin x$ therefore lies in $\ker L$ and cannot produce the forcing term. Multiplication by $x$ removes this overlap, so use

y_{p} = x (A \cos x + B \sin x) .

Substitution gives one particular solution

y_{p} = \frac{1}{2} x \sin x .

Multiplication by $x$ is thus a linear-algebraic correction that moves the trial function outside the homogeneous solution space. In general, the required power of $x$ is determined by the multiplicity of the relevant characteristic root.

7Situations in Which the Method Does Not Apply Naturally

For

y^{'}' + y = \tan x,

the derivatives of $\tan x$ do not remain in a finite-dimensional trial space of the required type. The method of undetermined coefficients is therefore not natural, and variation of parameters is an appropriate alternative.

The constant-coefficient hypothesis is equally important. For an equation such as $y^{'}' + x y = f (x)$ , the variable coefficient destroys the invariant finite-dimensional structure even when the forcing term is simple.

8Comparison with Variation of Parameters

Method	Advantage	Restriction
Method of undetermined coefficients	Usually short computation	Strong dependence on constant coefficients and the form of the forcing term
Variation of parameters	Comparatively insensitive to the form of the forcing term	The resulting integrals may be difficult or non-elementary

Computational efficiency justifies trying undetermined coefficients first when its hypotheses hold. Once they fail, variation of parameters or a fundamental-matrix construction should be selected.

9Scope and Limitations

The method of undetermined coefficients is efficient precisely when a constant-coefficient linear differential operator preserves a suitable finite-dimensional function space. It fails when the forcing term has an incompatible form, coefficients vary with the independent variable, or overlap with the homogeneous solution space is left uncorrected. Failure of this method does not imply that the equation has no solution; variation of parameters often constructs a particular solution as an integral.

10Previous Lecture