多項式作用素たこうしきさようそpolynomial operatorと固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problem

date2026-07-14document_iddoc_340b965b0e5ba856024e774c97c0daa0description多項式作用素 p(T) を、核・像・固有値問題・特性方程式との関係から整理する講義である。prerequisites線型作用素方程式 / 多項式 / 固有値と固有ベクトルtype講義content_typelecturestatusactive

mathlinear-operatorpolynomial-operatoreigenvaluelecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationが突然とつぜん現あらわれる公式こうしきではなく、線型作用素せんけいさようそlinear operatorの多項式たこうしきpolynomialを調しらべる問題もんだいから自然しぜんに出でることを確認かくにんする点てんにある。

1 つの線型作用素せんけいさようそlinear operator $T : V \to V$ があるとき、多項式たこうしき

p (t) = a_{0} + a_{1} t + \dots + a_{m} t^{m}

から

p (T) = a_{0} I + a_{1} T + \dots + a_{m} T^{m}

を作つくれる。すると

p (T) x = y

も、前まえの講義こうぎと同おなじ $L x = y$ 型かたの線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきlinear operator equationである。つまり、見みるべき本質ほんしつはやはり

\ker p (T), Im p (T)

である。

2用語ようごと定義ていぎ

$T : V \to V$ を線型作用素せんけいさようそlinear operatorとする。 $T^{0} = I$ 、 $T^{k + 1} = T \circ T^{k}$ と定義ていぎする。

多項式作用素たこうしきさようそpolynomial operatorとは、多項式たこうしき $p (t) = a_{0} + a_{1} t + \dots + a_{m} t^{m}$ に対たいして

p (T) = a_{0} I + a_{1} T + \dots + a_{m} T^{m}

で定義ていぎされる線型作用素せんけいさようそlinear operatorである。

固有値こゆうちeigenvalue $λ$ と固有こゆうベクトルeigenvector $v$ は

T v = λ v, v \neq 0

を満みたす組くみである。

3方針ほうしん

この講義こうぎでは、次つぎの順じゅんで読よむ。

$p (T)$ が再ふたたび線型作用素せんけいさようそlinear operatorであることを証明しょうめいする。
$p (T) x = y$ の可解性かかいせいと一般解いっぱんかいを、核かくkernelと像ぞうimageで読よむ。
$T v = λ v$ なら $p (T) v = p (λ) v$ であることを証明しょうめいする。
定数ていすう係数けいすうの漸化式ぜんかしきと微分方程式びぶんほうていしきで、なぜ特性とくせい方程式ほうていしきが出でるかを説明せつめいする。

4命題めいだい 1： $p (T)$ は線型作用素せんけいさようそlinear operatorである

4.1主張しゅちょう

$T : V \to V$ が線型作用素せんけいさようそlinear operatorなら、任意にんいの多項式たこうしき $p (t)$ に対たいして $p (T)$ も線型作用素せんけいさようそlinear operatorである。

4.2証明しょうめい

まず $T$ が線型せんけいlinearなら、合成ごうせい $T^{k}$ も線型せんけいlinearである。これは $k$ についての帰納法きのうほうで示しめせる。 $T^{0} = I$ は線型せんけいであり、 $T^{k}$ が線型せんけいなら $T^{k + 1} = T \circ T^{k}$ も線型せんけいである。

次つぎに、線型せんけい作用素さようその線型結合せんけいけつごうlinear combinationは線型せんけいである。実際じっさい、 $S_{1}, \dots, S_{m}$ が線型せんけいで、 $c_{1}, \dots, c_{m}$ がスカラーなら

(\sum_{i} c_{i} S_{i}) (α x + β y) = \sum_{i} c_{i} S_{i} (α x + β y) = α \sum_{i} c_{i} S_{i} (x) + β \sum_{i} c_{i} S_{i} (y)

である。

したがって

p (T) = a_{0} I + a_{1} T + \dots + a_{m} T^{m}

は線型せんけいである。

5命題めいだい 2： $p (T) x = y$ は一般いっぱんの $L x = y$ と同おなじ

5.1主張しゅちょう

$L = p (T)$ と置おくと、方程式ほうていしき

p (T) x = y

の可解かかい条件じょうけんは

y \in Im p (T)

である。また、解かい $x_{p}$ が 1 つ見みつかれば、解かい全体ぜんたいは

x = x_{p} + h, h \in \ker p (T)

である。

5.2証明しょうめい

前まえ講義こうぎの定理ていり 1（可解性かかいせい）と定理ていり 2（一般解いっぱんかい）を $L = p (T)$ に適用てきようするだけである。 $p (T)$ は命題めいだい 1 により線型作用素せんけいさようそlinear operatorであるため、 $L x = y$ の一般論いっぱんろんをそのまま使用しようできる。

この点てんが重要じゅうようである。 $p (T)$ という記号きごうが複雑ふくざつでも、方程式ほうていしきの型かたは変かわっていない。可解性かかいせいは像ぞうimage、自由度じゆうどは核かくkernelで決きまる。

6命題めいだい 3：固有こゆうベクトルeigenvector上うえで $p (T)$ は $p (λ)$ になる

6.1主張しゅちょう

$T v = λ v$ 、 $v \neq 0$ とする。このとき任意にんいの多項式たこうしき $p$ について

p (T) v = p (λ) v

である。

6.2証明しょうめい

まず $T^{k} v = λ^{k} v$ を $k$ について帰納法きのうほうで示しめす。 $k = 0$ では $T^{0} v = I v = v = λ^{0} v$ である。 $T^{k} v = λ^{k} v$ と仮定かていすると

T^{k + 1} v = T (T^{k} v) = T (λ^{k} v) = λ^{k} T v = λ^{k} λ v = λ^{k + 1} v

である。

したがって

\begin{aligned} p(T)v &=(a_0I+a_1T+\cdots+a_mT^m)v\\ &=a_0v+a_1Tv+\cdots+a_mT^mv\\ &=a_0v+a_1\lambda v+\cdots+a_m\lambda^m v\\ &=p(\lambda)v \end{aligned}\begin{aligned} p(T)v &=(a_0I+a_1T+\cdots+a_mT^m)v\\ &=a_0v+a_1Tv+\cdots+a_mT^mv\\ &=a_0v+a_1\lambda v+\cdots+a_m\lambda^m v\\ &=p(\lambda)v \end{aligned}

である。

7特性方程式とくせいほうていしきが出でる理由りゆう

命題めいだい 3 から、もし $p (λ) = 0$ なら

p (T) v = p (λ) v = 0

である。したがって

v \in \ker p (T)

である。つまり、 $p (T) x = 0$ の解かいを探さがすとき、 $T$ の固有こゆうベクトルeigenvectorを使つかうと、作用素さようそ方程式ほうていしきが数かずの方程式ほうていしき

p (λ) = 0

へ落おちる。

これが特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationの抽象的ちゅうしょうてきな理由りゆうである。特性とくせい方程式ほうていしきは「たまたま試ためす式しき」ではなく、固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problemで作用素さようそをスカラーへ還元かんげんするための式しきである。

8例れい 1：漸化式ぜんかしきrecurrence relationとシフト作用素さようそshift operator

列れつ $a = (a_{n})$ に対たいして、シフト作用素さようそshift operator $E$ を

(E a)_{n} = a_{n + 1}

で定義ていぎする。定数ていすう係数けいすう線型せんけい漸化式ぜんかしき

a_{n + 2} - c_{1} a_{n + 1} - c_{2} a_{n} = 0

は

(E^{2} - c_{1} E - c_{2} I) a = 0

と書かける。ここで

p (t) = t^{2} - c_{1} t - c_{2}

と置おけば、これは

p (E) a = 0

である。

指数しすう型かたの列れつ $r^{n}$ は

E (r^{n}) = r^{n + 1} = r r^{n}

を満みたすので、 $E$ の固有列こゆうれつeigen-sequenceである。よって

p (E) (r^{n}) = p (r) r^{n}

である。したがって $r^{n}$ が解かいになる条件じょうけんは

p (r) = 0

である。これが定数ていすう係数けいすう線型せんけい漸化式ぜんかしきの特性とくせい方程式ほうていしきである。

data/lecture/math/sequence/shift-operators-and-recurrences.lecture.n.md

9例れい 2：微分作用素びぶんさようそdifferential operatorと定数ていすう係数けいすう ODE

滑なめらかな関数かんすうの空間くうかんで、微分作用素びぶんさようそdifferential operator $D$ を

D f = f^{'}

で定義ていぎする。定数ていすう係数けいすう線型せんけい微分方程式びぶんほうていしき

a y^{'}' + b y^{'} + c y = 0

は

(a D^{2} + b D + c I) y = 0

と書かける。

指数関数しすうかんすう $e^{r x}$ は

D (e^{r x}) = r e^{r x}

を満みたすので、 $D$ の固有関数こゆうかんすうeigenfunctionである。よって

(a D^{2} + b D + c I) e^{r x} = (a r^{2} + b r + c) e^{r x}

である。したがって $e^{r x}$ が解かいになる条件じょうけんは

a r^{2} + b r + c = 0

である。これは二階にかい定数ていすう係数けいすう微分方程式びぶんほうていしきの特性とくせい方程式ほうていしきである。

data/lecture/math/differential-equations/second-order-linear-constant-coefficient-odes.lecture.n.md

10同伴行列どうはんぎょうれつとの関係かんけい

モニック多項式たこうしき

p (t) = t^{n} + c_{n - 1} t^{n - 1} + \dots + c_{1} t + c_{0}

に対たいして、同伴行列どうはんぎょうれつcompanion matrixは、 $p (t)$ を特性多項式とくせいたこうしきcharacteristic polynomialとして持もつように作つくられる行列ぎょうれつである。

同伴どうはん行列ぎょうれつが重要じゅうようなのは、抽象的ちゅうしょうてきな多項式たこうしき $p (t)$ を「ある線型せんけい作用素さようその固有値問題こゆうちもんだい」として実現じつげんする標準ひょうじゅんモデルになるからである。漸化式ぜんかしきでは、状態じょうたいベクトル

(\begin{matrix} a_{n + k - 1} \\ a_{n + k - 2} \\ ⋮ \\ a_{n} \end{matrix})

を 1 歩ほ進すすめる行列ぎょうれつが同伴どうはん行列型ぎょうれつがたになる。すると、漸化式ぜんかしきの特性とくせい方程式ほうていしきと同伴どうはん行列ぎょうれつの固有値問題こゆうちもんだいが一致いっちする。

ここで混同こんどうしてはならないのは、同伴どうはん行列ぎょうれつは「多項式たこうしき作用素さようそ $p (T)$ の一般いっぱん定義ていぎ」ではなく、特定とくていの多項式たこうしきを行列ぎょうれつの特性とくせい多項式たこうしきとして実現じつげんする具体的ぐたいてきな模型もけいだという点てんである。一般論いっぱんろんは $p (T)$ と $\ker p (T)$ であり、同伴どうはん行列ぎょうれつはそれを座標ざひょうで実現じつげんする代表例だいひょうれいである。

data/lecture/math/linear-algebra/companion-matrix-basics.lecture.n.md

11どこまで成立せいりつするか

$p (T)$ の定義ていぎは、 $T$ が同おなじ空間くうかん $V$ から $V$ へ戻もどる線型作用素せんけいさようそlinear operatorであるときに成立せいりつする。 $T : V \to W$ で $V$ と $W$ が異ことなる場合ばあい、一般いっぱんには $T^{2}$ が定義ていぎできないため、多項式たこうしき $p (T)$ はそのまま作つくれない。

また、 $p (λ) = 0$ から $v \in \ker p (T)$ は従したがうが、 $\ker p (T)$ のすべてが単純たんじゅんな固有こゆうベクトルだけで張はられるとは限かぎらない。重根じゅうこんや対角化たいかくか不能ふのうな場合ばあいには、一般化いっぱんか固有こゆうベクトルgeneralized eigenvectorや Jordan 構造こうぞうが現あらわれる。この点てんは、一般化いっぱんか前まえの固有こゆうベクトルだけの議論ぎろんと、一般化いっぱんか後のちの一般化固有空間いっぱんかこゆうくうかんgeneralized eigenspaceの議論ぎろんを分わけて扱あつかう必要ひつようがある。

12最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p (T) = a_{0} I + a_{1} T + \dots + a_{m} T^{m}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p (T) x = y issolvable ⟺ y \in Im p (T)

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p (T) x_{p} = y \Rightarrow {x ∣ p (T) x = y} = x_{p} + \ker p (T)

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] T v = λ v \Rightarrow p (T) v = p (λ) v

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] p (λ) = 0 \Rightarrow v \in \ker p (T)

13一言ひとことでいうと

特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationは、線型作用素せんけいさようそlinear operatorの多項式たこうしきpolynomial $p (T)$ を固有こゆうベクトルeigenvector上うえで数かずの方程式ほうていしき $p (λ) = 0$ に変換へんかんしたものである。

14演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/linear-operator/linear-operator-equations.exercise.n.md

多項式作用素たこうしきさようそpolynomial operatorと固有値問題こゆうちもんだいeigenvalue problem

1導入どうにゅう

2用語ようごと定義ていぎ

3方針ほうしん

4命題めいだい 1：p(T)p(T) は線型作用素せんけいさようそlinear operatorである

4.1主張しゅちょう

4.2証明しょうめい

5命題めいだい 2：p(T)x=yp(T)x=y は一般いっぱんの Lx=yLx=y と同おなじ

5.1主張しゅちょう

5.2証明しょうめい

6命題めいだい 3：固有こゆうベクトルeigenvector上うえで p(T)p(T) は p(λ)p(\lambda) になる

6.1主張しゅちょう

6.2証明しょうめい

7特性方程式とくせいほうていしきが出でる理由りゆう

8例れい 1：漸化式ぜんかしきrecurrence relationとシフト作用素さようそshift operator

9例れい 2：微分作用素びぶんさようそdifferential operatorと定数ていすう係数けいすう ODE

10同伴行列どうはんぎょうれつとの関係かんけい

11どこまで成立せいりつするか

12最終形さいしゅうけい

13一言ひとことでいうと

14演習えんしゅうリンク

15関連かんれんリンク

4命題めいだい 1： $p (T)$ は線型作用素せんけいさようそlinear operatorである

5命題めいだい 2： $p (T) x = y$ は一般いっぱんの $L x = y$ と同おなじ

6命題めいだい 3：固有こゆうベクトルeigenvector上うえで $p (T)$ は $p (λ)$ になる