二階線型定数係数にかいせんけいていすうけいすう微分方程式びぶんほうていしきの基本きほん

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、二階線型定数係数にかいせんけいていすうけいすうの微分方程式びぶんほうていしきを、公式こうしきとしてではなく、線型性せんけいせいと指数関数しすうかんすうの性質せいしつから導みちびくことを説明せつめいする。

標準形ひょうじゅんけいは

である。$$a,b,c$$a,b,c が定数ていすうであることが重要じゅうようである。係数けいすうが $$x$$x に依存いぞんする

は一般いっぱんの二階線型方程式にかいせんけいほうていしきの理論りろんで扱あつかう。

2同次どうじと非同次ひどうじ

右辺うへんが 0 の

を同次方程式どうじほうていしきhomogeneous equationという。

右辺うへんの $$f$$f が恒等的こうとうてきに 0 ではない

を非同次方程式ひどうじほうていしきinhomogeneous equationという。

非同次方程式ひどうじほうていしきでは、まず同次方程式どうじほうていしきの解かいを求もとめ、つぎに非同次項ひどうじこう $$f\left(x\right)$$f(x) に対応たいおうする特殊解とくしゅかいを 1 個こ求もとめる。

3命題めいだい1：同次解どうじかいは重かさね合あわせできる

仮定かていとして、$$y_1,y_2$$y_1,y_2 が

の解かいであるとする。このとき、任意にんいの定数ていすう $$C_1,C_2$$C_1,C_2 に対たいして

も解かいである。

3.1証明しょうめい

$$L\left[y\right]=a{y}^{\prime }\text{'}+b{y}^{\prime }+cy$$L[y]=ay''+by'+cy とおく。$$L$$L は線型せんけいである。実際じっさい、

である。仮定かていより $$L\left[y_1\right]=0,L\left[y_2\right]=0$$L[y_1]=0,\ L[y_2]=0 であるため、

である。したがって $$C_1{y}_1+C_2{y}_2$$C_1y_1+C_2y_2 も同次方程式どうじほうていしきの解かいである。

この性質せいしつを重かさね合あわせの原理げんり (superposition principle) という。

4命題めいだい2：非同次解ひどうじかいは「特殊解とくしゅかい+同次解どうじかい」

仮定かていとして、$$y_p$$y_p が

の 1 個この特殊解とくしゅかいであり、$$y_h$$y_h が対応たいおうする同次方程式どうじほうていしき

の解かいであるとする。このとき

は非同次方程式ひどうじほうていしきの解かいである。また、非同次方程式ひどうじほうていしきの任意にんいの解かいはこの形かたちに書かける。

4.1証明しょうめい

$$L\left[y\right]=a{y}^{\prime }\text{'}+b{y}^{\prime }+cy$$L[y]=ay''+by'+cy とおく。$$L$$L は線型せんけいである。前半ぜんはんは

より従したがう。

逆ぎゃくに、$$y$$y も非同次方程式ひどうじほうていしきの解かいだとする。このとき

したがって $$y-y_p$$y-y_p は同次方程式どうじほうていしきの解かいである。これを $$y_h$$y_h とおけば

である。

これは、線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきの解集合かいしゅうごうが、1 個この特殊解とくしゅかいに同次方程式どうじほうていしきの解かいを加くわえた集合しゅうごうになるという一般原理いっぱんげんりである。

5特性方程式とくせいほうていしきの導出どうしゅつ

同次方程式どうじほうていしき

を解とく。定数係数ていすうけいすうでは、$$e^{rx}$$e^{rx} を微分びぶんしても

となり、同おなじ $$e^{rx}$$e^{rx} が残のこる。したがって $$y=e^{rx}$$y=e^{rx} を代入だいにゅうすると、微分方程式びぶんほうていしきが $$r$$r の代数方程式だいすうほうていしきに変換へんかんされる。

実際じっさいに代入だいにゅうすると、

すなわち

である。$$e^{rx}\ne 0$$e^{rx}\ne 0 であるため、

を得える。これを特性方程式とくせいほうていしきcharacteristic equationという。

6一般解いっぱんかいの正当化せいとうか

これから根こんの場合分ばあいわけで一般解いっぱんかいを書かく。その根拠こんきょは、二階線型同次方程式にかいせんけいどうじほうていしきの解空間かいくうかんが 2 次元じげんであり、独立どくりつな 2 本ほんの解かいがあればすべての解かいをその線型結合せんけいけつごうで表あらわせることである。

以下いかでは、係数体けいすうたいを $$\mathbb{K}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$$\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\} とする。方程式ほうていしきを

という一階線型系いっかいせんけいけいへ還元かんげんする。$$u\mapsto Au$$u\mapsto Au は連続れんぞくであり、$$u$$u について大域的たいいきてき Lipschitz 連続れんぞくである。したがって存在そんざい・一意性定理いちいせいていりにより、任意にんいの $$u\left(x_0\right)=(\alpha ,\beta {)}^T$$u(x_0)=(\alpha,\beta)^T に対たいして一意解いちいかいが存在そんざいする。

2 解かい $$y_1,y_2$$y_1,y_2 の Wronskian を

と定義ていぎする。$$W(y_1,y_2)\left(x_0\right)\ne 0$$W(y_1,y_2)(x_0)\ne0 なら、初期値しょきちベクトル $$\left(y_1\right(x_0),y_{1^{\prime }}(x_0){)}^T$$(y_1(x_0),y_1'(x_0))^T と $$\left(y_2\right(x_0),y_{2^{\prime }}(x_0){)}^T$$(y_2(x_0),y_2'(x_0))^T は線型独立せんけいどくりつである。解かいの線型結合せんけいけつごうが零関数れいかんすうなら、その初期値しょきちベクトルも零れいになるため、両りょうベクトルの独立性どくりつせいから結合係数けつごうけいすうはともに 0 である。したがって $$y_1,y_2$$y_1,y_2 は解空間かいくうかんで線型独立せんけいどくりつである。

6.1命題めいだい3：独立どくりつな 2 解かいは基本解きほんかいになる

仮定かていとして、$$a\ne 0$$a\ne 0 であり、方程式ほうていしき

を考かんがえる。この方程式ほうていしきの解空間かいくうかんは 2 次元じげんである。したがって、独立どくりつな 2 本ほんの解かい $$y_1,y_2$$y_1,y_2 が見みつかれば、任意にんいの解かいは

と書かける。

6.2証明しょうめい

$$a\ne 0$$a\ne 0 なので、方程式ほうていしきは

と書かける。ある点てん $$x_0$$x_0 を固定こていし、解かい $$y$$y に

を対応たいおうさせる。対応たいおう $$\mathrm{\Phi }$$\Phi は線型せんけいである。

上記じょうきの一階線型系いっかいせんけいけいへの還元かんげんと存在そんざい・一意性いちいせいにより、任意にんいの初期値しょきち $$(\alpha ,\beta )$$(\alpha,\beta) に対たいして、

を満みたす解かいがただ 1 本ほん存在そんざいする。したがって $$\mathrm{\Phi }$$\Phi は解空間かいくうかんから $$K^2$$\mathbb K^2 への全単射ぜんたんしゃである。よって解空間かいくうかんは $$K^2$$\mathbb K^2 と同おなじく 2 次元じげんである。

2 次元じげんの線型空間せんけいくうかんでは、独立どくりつな 2 本ほんの解かいが基底きていになる。したがって任意にんいの解かいは $$C_1{y}_1+C_2{y}_2$$C_1y_1+C_2y_2 と書かける。

この命題めいだいにより、下したの表ひょうで示しめす 2 本ほんの基本解きほんかいが独立どくりつであれば、その線型結合せんけいけつごうを一般解いっぱんかいと呼よべる。

独立性どくりつせいは Wronskian によっても確認かくにんできる。異ことなる実根じっこんでは $$(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}$$(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}、重根じゅうこんでは $$e^{2rx}$$e^{2rx}、$$\alpha \pm i\beta$$\alpha\pm i\beta から得える実数解じっすうかいの組くみでは $$\beta e^{2\alpha x}$$\beta e^{2\alpha x} であり、$$\beta \ne 0$$\beta\ne0 のもとでいずれも 0 ではない。

7根こんの場合分ばあいわけ

特性方程式とくせいほうていしき

の根こんによって、同次方程式どうじほうていしきの基本解きほんかいが変かわる。

8命題めいだい4：異ことなる実根じっこんの場合ばあい

仮定かていとして、特性方程式とくせいほうていしきが異ことなる実根じっこん $$r_1,r_2$$r_1,r_2 を持もつとする。このとき

は同次方程式どうじほうていしきの一般解いっぱんかいである。

8.1証明しょうめい

$$r_i$$r_i は特性方程式とくせいほうていしきの根こんなので、

である。$$y_i=e^{r_{i}x}$$y_i=e^{r_ix} とおくと、

である。したがって $$e^{r_{1}x},e^{r_{2}x}$$e^{r_1x},e^{r_2x} は解かいである。命題めいだい1より、その線型結合せんけいけつごう

も解かいである。

さらに、2 解かいの Wronskian は

であるから、$$e^{r_{1}x},e^{r_{2}x}$$e^{r_1x},e^{r_2x} は独立どくりつである。命題めいだい3により、その線型結合せんけいけつごうは一般解いっぱんかいである。

二階にかいの初期値問題しょきちもんだいでは、初期値しょきち $$y\left(x_0\right),y^{\prime }\left(x_0\right)$$y(x_0),y'(x_0) の 2 個こが与あたえられる。異ことなる実根じっこんの場合ばあい、2 個この定数ていすう $$C_1,C_2$$C_1,C_2 はこれらの条件じょうけんによって一意いちいに決定けっていされる。

9重根じゅうこんに対応たいおうする第二解だいにかい $$x{e}^{rx}$$xe^{rx} の導出どうしゅつ

特性方程式とくせいほうていしきが

のように重根じゅうこん $$\rho$$\rho を持もつとする。$$e^{\rho x}$$e^{\rho x} は解かいであるが、二階にかいの方程式ほうていしきでは基本解きほんかいが 2 本ほん必要ひつようである。第二解だいにかいの候補こうほとして $$x{e}^{\rho x}$$xe^{\rho x} を代入だいにゅうする。

9.1検算けんざん

$$L=a{D}^2+bD+c$$L=aD^2+bD+c と書かく。重根じゅうこん $$\rho$$\rho を持もつことは、多項式たこうしき

について

が成立せいりつすることを意味いみする。計算けいさんすると、

である。したがって

である。$$e^{\rho x}$$e^{\rho x} の係数けいすうは $$2a\rho +b=p^{\prime }\left(\rho \right)$$2a\rho+b=p'(\rho)、$$x{e}^{\rho x}$$xe^{\rho x} の係数けいすうは $$a{\rho }^2+b\rho +c=p\left(\rho \right)$$a\rho^2+b\rho+c=p(\rho) である。どちらも 0 なので

である。

よって重根じゅうこんの場合ばあいの一般解いっぱんかいは

である。

10複素根ふくそこんと振動しんどう

特性方程式とくせいほうていしきが

を根こんに持もつとする。複素数ふくそすうを使つかえば

が解かいである。Euler 公式こうしき

より、実数値じっすうちの解かいとして

を取とれる。

$$\alpha <0$$\alpha<0 なら振幅しんぷくが減衰げんすいし、$$\alpha =0$$\alpha=0 なら減衰げんすいしない振動しんどうになる。このため二階線型にかいせんけいの複素根ふくそこんは、力学りきがくや電気回路でんきかいろの振動しんどうと直接ちょくせつつながる。

11例れい1：異ことなる実根じっこん

の特性方程式とくせいほうていしきは

である。$$(r-1)(r-2)=0$$(r-1)(r-2)=0 より $$r=1,2$$r=1,2 であるため、

である。

12例れい2：重根じゅうこん

では特性方程式とくせいほうていしきが

である。したがって

である。

13例れい3：複素根ふくそこん

では

より $$r=\pm 2i$$r=\pm 2i である。したがって実数値じっすうちの一般解いっぱんかいは

である。

14非同次方程式ひどうじほうていしきへの拡張かくちょう

では、命題めいだい2により

と書かく。ここで $$y_h$$y_h は同次方程式どうじほうていしきの一般解いっぱんかい、$$y_p$$y_p は非同次方程式ひどうじほうていしきの特殊解とくしゅかいである。

$$f\left(x\right)$$f(x) が指数関数しすうかんすう、三角関数さんかくかんすう、多項式たこうしきのような場合ばあいには、未定係数法みていけいすうほうによって特殊解とくしゅかいを構成こうせいできることがある。より一般いっぱんには定数変化法ていすうへんかほうを適用てきようする。

15作用素法さようそほうへの接続せつぞく

微分作用素びぶんさようそを

と書かくと、

は

と書かける。ここで

とおけば、

である。

この作用素的定式化さようそてきていしきかでは、同次方程式どうじほうていしき $$P\left(D\right)y=0$$P(D)y=0 は線型作用素せんけいさようその核かくを決定けっていする問題もんだいである。非同次方程式ひどうじほうていしき $$P\left(D\right)y=f$$P(D)y=f では、$$f$$f の像ぞうへの所属しょぞくを判定はんていし、可解かかいな場合ばあいには特殊解とくしゅかいによる核かくの平行移動へいこういどうとして解集合かいしゅうごうを記述きじゅつする。

初学段階しょがくだんかいでは、まず特性方程式とくせいほうていしきによる解法かいほうを修得しゅうとくする。作用素法さようそほうは、その代数的構造だいすうてきこうぞうを抽象化ちゅうしょうかする理論的枠組りろんてきわくぐみとして位置付いちづけられる。

16まとめ

二階線型定数係数方程式にかいせんけいていすうけいすうほうていしきには、次つぎの解法手順かいほうてじゅんを適用てきようする。

1. 同次どうじか非同次ひどうじかを確認かくにんする。
2. 同次方程式どうじほうていしきでは $$e^{rx}$$e^{rx} を仮定かていし、特性方程式とくせいほうていしきを導出どうしゅつする。
3. 根こんが異ことなる実根じっこん、重根じゅうこん、複素根ふくそこんのどれかで場合分ばあいわけする。
4. 非同次ひどうじでは $$y=y_h+y_p$$y=y_h+y_p と分わける。
5. 最後さいごに初期条件しょきじょうけんや境界条件きょうかいじょうけんで任意定数にんいていすうを決きめる。

17前まえの講義こうぎ

18次つぎの講義こうぎ

定数係数ていすうけいすうにおける特性根とくせいこんの方法ほうほうを確立かくりつしたら、変数係数へんすうけいすうを含ふくむ一般いっぱんの二階線型方程式にかいせんけいほうていしきの理論りろんへ進すすむ。

19演習えんしゅうリンク

Fundamentals of Second-Order Linear Differential Equations with Constant Coefficients

1Introduction

This lecture derives the solution method for second-order linear differential equations with constant coefficients from linearity and the properties of exponential functions, rather than presenting it merely as a formula.

The standard form is

The assumption that $$a,b,c$$a,b,c are constants is essential. Equations with coefficients depending on $$x$$x,

require a more general framework.

2Homogeneous and Nonhomogeneous Equations

An equation whose right-hand side is zero,

is called a {homogeneous equation}. An equation for which $$f$$f is not identically zero,

is called a {nonhomogeneous equation}. To solve a nonhomogeneous equation, first solve the associated homogeneous equation and then find one particular solution corresponding to the forcing term $$f\left(x\right)$$f(x).

3Proposition 1: Homogeneous Solutions Satisfy Superposition

Suppose that $$y_1,y_2$$y_1,y_2 solve

Then, for arbitrary constants $$C_1,C_2$$C_1,C_2,

is also a solution.

3.1Proof

Define $$L\left[y\right]=a{y}^{\prime }\text{'}+b{y}^{\prime }+cy$$L[y]=ay''+by'+cy. The operator $$L$$L is linear, since

By assumption, $$L\left[y_1\right]=0$$L[y_1]=0 and $$L\left[y_2\right]=0$$L[y_2]=0. Hence

so $$C_1{y}_1+C_2{y}_2$$C_1y_1+C_2y_2 is a homogeneous solution. This property is the {superposition principle}.

4Proposition 2: A Nonhomogeneous Solution Is a Particular Solution Plus a Homogeneous Solution

Suppose that $$y_p$$y_p is one particular solution of

and $$y_h$$y_h solves the associated homogeneous equation

Then $$y=y_p+y_h$$y=y_p+y_h solves the nonhomogeneous equation. Conversely, every solution of the nonhomogeneous equation has this form.

4.1Proof

With $$L\left[y\right]=a{y}^{\prime }\text{'}+b{y}^{\prime }+cy$$L[y]=ay''+by'+cy, linearity gives

Conversely, if $$y$$y is any other solution of the nonhomogeneous equation, then

Thus $$y-y_p$$y-y_p is a homogeneous solution. Writing it as $$y_h$$y_h yields

Equivalently, the solution set of a linear operator equation consists of one particular solution plus every solution of the corresponding homogeneous equation.

5Derivation of the Characteristic Equation

Consider the homogeneous equation

For constant coefficients, differentiation preserves the exponential factor:

It is therefore natural to try $$y=e^{rx}$$y=e^{rx}. Substitution gives

or

Since $$e^{rx}\ne 0$$e^{rx}\ne0, one obtains

This algebraic equation is the {characteristic equation}.

6Justification of the General Solution

The root classification below produces general solutions because the solution space of a second-order linear homogeneous equation is two-dimensional. Once two linearly independent solutions are known, every solution is their linear combination.

In what follows, the scalar field is $$\mathbb{K}\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$$\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}. Reduce the equation to the first-order linear system

The map $$u\mapsto Au$$u\mapsto Au is continuous and globally Lipschitz in $$u$$u. The existence and uniqueness theorem therefore gives a unique solution for every initial vector $$u\left(x_0\right)=(\alpha ,\beta {)}^T$$u(x_0)=(\alpha,\beta)^T.

Define the Wronskian of two solutions $$y_1,y_2$$y_1,y_2 by

If $$W(y_1,y_2)\left(x_0\right)\ne 0$$W(y_1,y_2)(x_0)\ne0, the initial-data vectors $$\left(y_1\right(x_0),y_{1^{\prime }}(x_0){)}^T$$(y_1(x_0),y_1'(x_0))^T and $$\left(y_2\right(x_0),y_{2^{\prime }}(x_0){)}^T$$(y_2(x_0),y_2'(x_0))^T are linearly independent. If a linear combination of the two solutions is the zero function, its initial-data vector is also zero; independence of the two vectors forces both coefficients to vanish. Hence $$y_1,y_2$$y_1,y_2 are linearly independent in the solution space.

6.1Proposition 3: Two Independent Solutions Form a Fundamental Set

Let $$a\ne 0$$a\ne0 and consider

Its solution space is two-dimensional. Consequently, if two independent solutions $$y_1,y_2$$y_1,y_2 are found, every solution can be written as

6.2Proof

Since $$a\ne 0$$a\ne0, the equation is equivalent to

Fix a point $$x_0$$x_0 and associate to each solution $$y$$y the initial-data vector

The map $$\mathrm{\Phi }$$\Phi is linear. By the preceding reduction and the existence and uniqueness theorem, for every $$(\alpha ,\beta )$$(\alpha,\beta) there is exactly one solution satisfying

Thus $$\mathrm{\Phi }$$\Phi is a bijection from the solution space to $$K^2$$\mathbb K^2, and the solution space has dimension two. Any two independent solutions therefore form a basis, proving the asserted representation.

Equivalently, the two listed fundamental solutions yield a general solution once their independence is established. Their Wronskians are nonzero: for distinct real roots it is $$(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}$$(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)x}; for a repeated root it is $$e^{2rx}$$e^{2rx}; and for the real pair arising from $$\alpha \pm i\beta$$\alpha\pm i\beta it is $$\beta e^{2\alpha x}$$\beta e^{2\alpha x} when $$\beta \ne 0$$\beta\ne0.

7Classification by Characteristic Roots

The fundamental solutions depend on the roots of

8Proposition 4: The Case of Distinct Real Roots

Suppose that the characteristic equation has distinct real roots $$r_1,r_2$$r_1,r_2. Then

is the general homogeneous solution.

8.1Proof

Since each $$r_i$$r_i is a characteristic root,

For $$y_i=e^{r_{i}x}$$y_i=e^{r_ix},

Thus both exponentials are solutions, and Proposition 1 shows that every displayed linear combination is a solution. Their Wronskian is nonzero because $$r_1\ne r_2$$r_1\ne r_2, so Proposition 3 shows that the combination is the general solution. The two constants accommodate the two initial data $$y\left(x_0\right)$$y(x_0) and $$y^{\prime }\left(x_0\right)$$y'(x_0).

9Derivation of the Second Solution $$x{e}^{rx}$$xe^{rx} for a Repeated Root

Suppose the characteristic equation has the repeated root $$\rho$$\rho, so it can be written as

The function $$e^{\rho x}$$e^{\rho x} is one solution, but a second-order equation requires a second independent solution. We therefore test $$x{e}^{\rho x}$$xe^{\rho x}.

9.1Verification

Write $$L=a{D}^2+bD+c$$L=aD^2+bD+c and $$p\left(r\right)=a{r}^2+br+c$$p(r)=ar^2+br+c. A repeated root satisfies

Direct differentiation gives

Therefore

The coefficient of $$e^{\rho x}$$e^{\rho x} is $$2a\rho +b=p^{\prime }\left(\rho \right)$$2a\rho+b=p'(\rho), and that of $$x{e}^{\rho x}$$xe^{\rho x} is $$a{\rho }^2+b\rho +c=p\left(\rho \right)$$a\rho^2+b\rho+c=p(\rho). Both vanish, so

Hence the general solution is

10Complex Roots and Oscillation

Suppose the characteristic roots are

Over the complex numbers, $$e^{(\alpha +i\beta )x}$$e^{(\alpha+i\beta)x} and $$e^{(\alpha -i\beta )x}$$e^{(\alpha-i\beta)x} are solutions. Euler's formula,

provides the real-valued fundamental solutions

If $$\alpha <0$$\alpha<0, their amplitude decays; if $$\alpha =0$$\alpha=0, they describe undamped oscillation. Complex characteristic roots therefore connect directly to oscillations in mechanics and electrical circuits.

11Example 1: Distinct Real Roots

For

the characteristic equation is $$r^2-3r+2=0$$r^2-3r+2=0. Since $$(r-1)(r-2)=0$$(r-1)(r-2)=0, the roots are 1 and 2, and

12Example 2: A Repeated Root

For

the characteristic equation is $$(r-1{)}^2=0$$(r-1)^2=0. Hence

13Example 3: Complex Roots

For

the equation $$r^2+4=0$$r^2+4=0 gives $$r=\pm 2i$$r=\pm2i. The real-valued general solution is therefore

14Extension to Nonhomogeneous Equations

For

Proposition 2 gives

where $$y_h$$y_h is the general solution of the associated homogeneous equation and $$y_p$$y_p is one particular solution. When $$f\left(x\right)$$f(x) is an exponential, trigonometric function, or polynomial, the method of undetermined coefficients may provide $$y_p$$y_p. Variation of parameters applies more generally.

15Connection to the Operator Method

With

the equation becomes

Defining $$P\left(D\right)=a{D}^2+bD+c$$P(D)=aD^2+bD+c gives $$P\left(D\right)y=f\left(x\right)$$P(D)y=f(x). From this perspective, the homogeneous equation $$P\left(D\right)y=0$$P(D)y=0 asks for the kernel of a linear operator. The nonhomogeneous problem asks whether $$f$$f belongs to its image and, when a solution exists, forms the general solution by adding the kernel to one particular solution.

At an introductory level, one should first master the characteristic-equation method. The operator method then provides a theoretical framework that abstracts its algebraic structure.

16Summary

Apply the following solution procedure to a second-order linear equation with constant coefficients.

1. Determine whether the equation is homogeneous or nonhomogeneous.
2. For the homogeneous equation, try $$e^{rx}$$e^{rx} and form the characteristic equation.
3. Classify its roots as distinct real roots, a repeated root, or a complex-conjugate pair.
4. For a nonhomogeneous equation, decompose the solution as $$y=y_h+y_p$$y=y_h+y_p.
5. Finally, use initial or boundary conditions to determine the arbitrary constants.

17Previous Lecture

18Next Lecture

Having established the characteristic-root method for constant coefficients, proceed to the general theory of second-order linear equations with variable coefficients.

19Exercises