二階線型定数係数微分方程式にかいせんけいていすうけいすうびぶんほうていしきの拡張理論かくちょうりろん

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、定数係数ていすうけいすうの二階線型方程式にかいせんけいほうていしきについて、特性根とくせいこんの種類しゅるいと非同次項ひどうじこうの処理しょりを統一的とういつてきに整理せいりする。

2理論上りろんじょうの位置いちづけ

以下いかでは定数係数理論ていすうけいすうりろんを精密化せいみつかする。変数係数へんすうけいすうも許容きょようする一般理論いっぱんりろんは、直前ちょくぜんの講義こうぎで詳述しょうじゅつした。

3同次解どうじかいの分類ぶんるい

の特性方程式とくせいほうていしきは $$a{r}^2+br+c=0$$ar^2+br+c=0 である。根こんが $$\alpha \pm i\beta$$\alpha\pm i\beta なら、実数値じっすうちの一般解いっぱんかいは

である。$$r$$r が重根じゅうこんなら、$$e^{rx}$$e^{rx} と $$x{e}^{rx}$$xe^{rx} が 2 つの線型独立せんけいどくりつな解かいを与あたえ、解空間かいくうかんに必要ひつような 2 次元じげんを確保かくほする。

4非同次方程式ひどうじほうていしきの分解ぶんかい

では、線型性せんけいせいにより

と分解ぶんかいする。$$y_h$$y_h は同次方程式どうじほうていしきの一般解いっぱんかいであり、$$y_p$$y_p は 1 つの特殊解とくしゅかいである。定数係数ていすうけいすうで、外力項がいりょくこうを含ふくむ有限次元関数空間ゆうげんじげんかんすうくうかんが微分びぶんで不変ふへんなら、未定係数法みていけいすうほうを適用てきようできる。外力項がいりょくこうが同次解どうじかいと共鳴きょうめいする場合ばあいには、試行関数しこうかんすうへ $$x$$x の適切てきせつな冪べきを乗じょうじて重複ちょうふくを除去じょきょする。一般いっぱんの連続外力れんぞくがいりょくには定数変化法ていすうへんかほうを検討けんとうする。

5具体例ぐたいれい

の特性根とくせいこんは $$-1\pm 2i$$-1\pm2i である。したがって

である。

では、外力項がいりょくこう $$\cos x$$\cos x が同次解空間どうじかいくうかんに属ぞくする。通常つうじょうの候補こうほ $$A\cos x+B\sin x$$A\cos x+B\sin x は利用りようできないため、

へ変更へんこうする。代入だいにゅうにより $$A=0,B=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("tfrac")")]}12$$A=0,\ B=\tfrac12 を得えるので、$$y_p=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("tfrac")")]}x2\sin x$$y_p=\tfrac{x}{2}\sin x である。

6適用範囲てきようはんいと限界げんかい

複素根ふくそこ・重根じゅうこんによる分類ぶんるいと未定係数法みていけいすうほうは、定数係数ていすうけいすうの枠内わくないで機能きのうする。変数係数方程式へんすうけいすうほうていしきでは、級数解法きゅうすうかいほうや特殊関数とくしゅかんすうが必要ひつようになる場合ばあいがある。

7演習えんしゅう

8関連講義かんれんこうぎ

9前まえの講義こうぎ

10次つぎの講義こうぎ

Extensions of Second-Order Linear Constant-Coefficient Equations

1Introduction

This lecture gives a unified account of characteristic-root types and nonhomogeneous terms for second-order linear equations with constant coefficients.

2Theoretical Context

The results below refine the constant-coefficient theory. The preceding lecture develops the general theory that also permits variable coefficients.

3Classification of Homogeneous Solutions

For

the characteristic equation is $$a{r}^2+br+c=0$$ar^2+br+c=0. If its roots are $$\alpha \pm i\beta$$\alpha\pm i\beta, the real-valued general solution is

If $$r$$r is a repeated root, $$e^{rx}$$e^{rx} and $$x{e}^{rx}$$xe^{rx} provide two linearly independent solutions and hence the required two dimensions of the solution space.

4Decomposition of Nonhomogeneous Equations

For

linearity gives the decomposition

where $$y_h$$y_h is the general homogeneous solution and $$y_p$$y_p is one particular solution. For constant coefficients, the method of undetermined coefficients applies when a finite-dimensional function space containing the forcing term is invariant under differentiation. If the forcing term resonates with a homogeneous solution, multiply the trial functions by a sufficient power of $$x$$x to remove the overlap. For a general continuous forcing term, variation of parameters is the appropriate candidate.

5Examples

The characteristic roots of

are $$-1\pm 2i$$-1\pm2i. Therefore,

For

the forcing term $$\cos x$$\cos x belongs to the homogeneous solution space. The usual trial function $$A\cos x+B\sin x$$A\cos x+B\sin x therefore fails, and it must be replaced by

Substitution gives $$A=0$$A=0 and $$B=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("tfrac")")]}12$$B=\tfrac12, so $$y_p=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("tfrac")")]}x2\sin x$$y_p=\tfrac{x}{2}\sin x.

6Scope and Limitations

The classifications by complex and repeated roots and the method of undetermined coefficients operate within the constant-coefficient setting. Variable-coefficient equations may instead require power-series methods or special functions.

7Exercises

8Related Lectures

9Previous Lecture

10Next Lecture