一般二階線型常微分方程式いっぱんにかいせんけいじょうびぶんほうていしきの基礎理論きそりろん

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、二階線型にかいせんけいという語ごが定数係数ていすうけいすうを意味いみしないことを明確めいかくにし、一般論いっぱんろんと特殊解法とくしゅかいほうを分離ぶんりする。

2対象たいしょうとする方程式ほうていしき

一般いっぱんの二階線型にかいせんけいの標準形ひょうじゅんけいは

である。$I$I を区間くかん、$x_0\in I$x_0\in I とし、$$P,Q,R:I\to \mathbb{K}$$P,Q,R:I\to\mathbb K は連続れんぞくであると仮定かていする。ただし、ここで $$\mathbb{K}$$\mathbb K は $$\mathbb{R}$$\mathbb R または $$\mathbb{C}$$\mathbb C を表あらわす。この条件じょうけんのもとで、任意にんいの $$a,b\in \mathbb{K}$$a,b\in\mathbb K に対たいし、初期条件しょきじょうけん $$y\left(x_0\right)=a,y^{\prime }\left(x_0\right)=b$$y(x_0)=a,\ y'(x_0)=b を満みたす解かいが区間くかん $I$I 全体ぜんたいで一意いちいに存在そんざいする。

3一般理論いっぱんりろんと特殊解法とくしゅかいほうの区別くべつ

特性方程式とくせいほうていしきは二階線型にかいせんけいの一般解法いっぱんかいほうではない。係数けいすうが定数ていすうであり、$$e^{rx}$$e^{rx} の微分びぶんで形かたちが保存ほぞんされる場合ばあいに適用てきようできる特殊とくしゅな解法かいほうである。この区別くべつをあらかじめ明確めいかくにしなければ、変数係数へんすうけいすうの方程式ほうていしきに誤あやまって特性方程式とくせいほうていしきを適用てきようすることになる。

4線型理論せんけいりろんの骨格こっかく

一般いっぱんの二階線型にかいせんけいでは、まず

と定義ていぎする。ここで $L$L は関数かんすうを関数かんすうへ送おくる線型作用素せんけいさようそlinear operatorである。実際じっさい、$u,v$u,v を 2 回かい微分可能びぶんかのうな関数かんすう、$\alpha ,\beta$\alpha,\beta を定数ていすうとすると、微分びぶんの線型性せんけいせいより

である。

同次方程式どうじほうていしき

の解集合かいしゅうごうは、加法かほうと定数倍ていすうばいで閉とじるため線型空間せんけいくうかんになる。ただし、閉とじていることだけでは 2 次元じげんとは言いえない。2 次元じげんであることは、初期値問題しょきちもんだいの存在そんざい・一意性いちいせいから従したがう。

基準点きじゅんてん $x_0$x_0 を 1 つ固定こていし、同次どうじ解かい $y$y に

を対応たいおうさせる。$\mathrm{\Phi }$\Phi は線型写像せんけいしゃぞうである。係数けいすう $P,Q$P,Q が連続れんぞくであるというこのページの仮定かていのもとでは、任意にんいの初期値しょきち $(a,b)$(a,b) に対たいして

を満みたす同次どうじ方程式ほうていしきの解かいが一意いちいに存在そんざいする。したがって $\mathrm{\Phi }$\Phi は同次どうじ解空間かいくうかんから $K^2$\mathbb K^2 への同型どうけいであり、同次どうじ解空間かいくうかんは 2 次元じげんである。

したがって独立どくりつな 2 解かい $$y_1,y_2$$y_1,y_2 が得えられれば、

が同次解どうじかいの一般形いっぱんけいである。

非同次方程式ひどうじほうていしきでは、特殊解とくしゅかい $$y_p$$y_p を 1 つ得えれば

が一般解いっぱんかいである。この分解ぶんかいは線型性せんけいせいに由来ゆらいする。

厳密げんみつには、非ひ同次どうじ方程式ほうていしきは

である。$L\left[y_p\right]=R$L[y_p]=R を満みたす特殊解とくしゅかい $y_p$y_p が 1 つあるとする。$h\in \ker L$h\in\ker L なら

なので $y_p+h$y_p+h は解かいである。逆ぎゃくに $y$y も $L\left[y\right]=R$L[y]=R の解かいなら

であるから、$y-y_p\in \ker L$y-y_p\in\ker L である。したがって非ひ同次どうじ解かい全体ぜんたいは

である。ここでの $\ker L$\ker L が、同次どうじ方程式ほうていしきの解空間かいくうかんである。

5一次連立系いちじれんりつけいとしての観点かんてん

一般いっぱんの二階線型にかいせんけいは、一階連立系いっかいれんりつけいへ変換へんかんすると理論りろんの構造こうぞうが明確めいかくになる。$$x_1=y,x_2=y^{\prime }$$x_1=y,\ x_2=y' と設定せっていすると、

を得える。係数けいすうが連続れんぞくなら、この一階連立系いっかいれんりつけいの標準理論ひょうじゅんりろんにより初期値しょきち $$y\left(x_0\right),y^{\prime }\left(x_0\right)$$y(x_0),y'(x_0) から解かいが一意いちいに決定けっていされる。二階にかいで初期条件しょきじょうけんが 2 本ほん必要ひつようになる理由りゆうは、状態じょうたいが $$y$$y と $$y^{\prime }$$y' の 2 成分せいぶんを持もつからである。

この観点かんてんは、定数係数ていすうけいすうの特性方程式とくせいほうていしきと連立系れんりつけいの固有値こゆうちが同おなじ情報じょうほうを表あらわしていることも説明せつめいする。定数係数ていすうけいすうなら行列ぎょうれつが定数ていすうとなり、固有値こゆうちにより指数関数しすうかんすうの時間発展じかんはってんへ分解ぶんかいできる。

一次連立系いちじれんりつけいへの変換へんかん、行列指数関数ぎょうれつしすうかんすう、固有値こゆうちとの対応たいおうは、後続講義こうぞくこうぎで詳述しょうじゅつする。

6Wronskian と独立性どくりつせい

独立どくりつな 2 解かい $$y_1,y_2$$y_1,y_2 を確認かくにんするとき、Wronskian

を用もちいる。$$W\left(x_0\right)\ne 0$$W(x_0)\ne 0 なら、係数けいすうが連続れんぞくな区間くかんでは $$y_1,y_2$$y_1,y_2 は基本解系きほんかいけいを構成こうせいする。実際じっさい、Abel の恒等式こうとうしき

により、Wronskian は区間内くかんないの他ほかの点てんでも 0 にならない。逆ぎゃくに、2 解かいが線型従属せんけいじゅうぞくなら Wronskian は恒等的こうとうてきに 0 である。したがって Wronskian は 2 解かいの線型独立性せんけいどくりつせいを判定はんていし、同次解空間どうじかいくうかんが 2 次元じげんであるという既知きちの事実じじつと併あわせて、その 2 解かいが基本解系きほんかいけいを構成こうせいすることを確認かくにんする。

7解法かいほうの選択基準せんたくきじゅん

8具体例ぐたいれい

は二階線型にかいせんけいであるが、定数係数ていすうけいすうではない。したがって $$r^2+xr+1=0$$r^2+xr+1=0 のような特性方程式とくせいほうていしきを作成さくせいしてはならない。$$x$$x が残存ざんぞんするため、$$e^{rx}$$e^{rx} の代入だいにゅうは代数方程式だいすうほうていしきを生成せいせいしない。

一方いっぽう、$$y^{\prime }\text{'}-3y^{\prime }+2y=0$$y''-3y'+2y=0 では係数けいすうが定数ていすうである。$$e^{rx}$$e^{rx} を代入だいにゅうすると $$r^2-3r+2=0$$r^2-3r+2=0 を得える。この対比たいひにより、特性方程式法とくせいほうていしきほうの本質ほんしつが二階にかいではなく定数係数ていすうけいすうにあることが判明はんめいする。

9適用範囲てきようはんいと限界げんかい

ここでの一般論いっぱんろんは線型性せんけいせいと、区間全体くかんぜんたいにおける正規化後せいきかごの係数けいすう $$P,Q$$P,Q および外力項がいりょくこう $$R$$R の連続性れんぞくせいに基礎きそを置おく。正規化前せいきかまえの方程式ほうていしきで最高階係数さいこうかいけいすうが 0 になる場合ばあいには、その係数けいすうが 0 でない区間くかんへ制限せいげんしてから標準形ひょうじゅんけいへ変形へんけいする必要ひつようがある。非線型ひせんけいの二階方程式にかいほうていしきでは、解空間かいくうかんの線型構造せんけいこうぞうも重合じゅうごうの原理げんりも一般いっぱんには成立せいりつしない。

10演習えんしゅうリンク

11関連かんれんリンク

12前まえの講義こうぎ

13次つぎの講義こうぎ

Foundations of General Second-Order Linear Ordinary Differential Equations

1Introduction

This lecture distinguishes general second-order linear equations from their constant-coefficient special case and separates structural results from specialized solution methods.

2Equations Under Consideration

The standard form of a general second-order linear equation is

Let $$I$$I be an interval, let $$x_0\in I$$x_0\in I, and assume that $$P,Q,R:I\to \mathbb{K}$$P,Q,R:I\to\mathbb K are continuous, where $$\mathbb{K}$$\mathbb K denotes either $$\mathbb{R}$$\mathbb R or $$\mathbb{C}$$\mathbb C. For every $$a,b\in \mathbb{K}$$a,b\in\mathbb K, these assumptions guarantee a unique solution on all of $$I$$I satisfying $$y\left(x_0\right)=a$$y(x_0)=a and $$y^{\prime }\left(x_0\right)=b$$y'(x_0)=b.

3General Theory and Specialized Methods

The characteristic equation is not a general method for every second-order linear equation. It applies when the coefficients are constant, because differentiation preserves the form of $$e^{rx}$$e^{rx}. This distinction prevents the erroneous application of a characteristic polynomial to a variable-coefficient equation.

4Structure of the Linear Theory

Define

The operator $$L$$L maps functions to functions and is linear: for twice differentiable functions $$u,v$$u,v and constants $$\alpha ,\beta \in \mathbb{K}$$\alpha,\beta\in\mathbb K,

The solution set of the homogeneous equation $$L\left[y\right]=0$$L[y]=0 is a vector space. Closure under addition and scalar multiplication alone does not establish its dimension. Fixing $$x_0\in I$$x_0\in I, define

Existence and uniqueness for the initial-value problem show that $$\mathrm{\Phi }:\ker L\to K^2$$\Phi:\ker L\to\mathbb K^2 is a linear isomorphism. Consequently, $$\ker L$$\ker L is two-dimensional. If $$y_1,y_2$$y_1,y_2 are linearly independent solutions, every homogeneous solution has the form

For the nonhomogeneous equation $$L\left[y\right]=R$$L[y]=R, suppose that one particular solution $$y_p$$y_p is known. If $$h\in \ker L$$h\in\ker L, then

Conversely, if $$L\left[y\right]=R$$L[y]=R, then $$L[y-y_p]=0$$L[y-y_p]=0. Hence the full solution set is the affine space

This identity is the precise meaning of the familiar decomposition $$y=y_h+y_p$$y=y_h+y_p.

5First-Order System Formulation

Set $$x_1=y$$x_1=y and $$x_2=y^{\prime }$$x_2=y'. The equation is equivalent to

Continuity of the coefficient matrix and forcing term yields existence and uniqueness on $$I$$I by the standard theory of linear first-order systems. Two initial conditions are required because the state has the two components $$y$$y and $$y^{\prime }$$y'. In the constant-coefficient case, the matrix is constant, and its eigenvalues encode the same information as the roots of the characteristic polynomial.

The subsequent lecture on first-order systems develops this conversion, the matrix exponential, and the correspondence with eigenvalues in detail.

6Wronskian and Linear Independence

For two homogeneous solutions, define the Wronskian by

If $$W(y_1,y_2)\left(x_0\right)\ne 0$$W(y_1,y_2)(x_0)\ne0 at one point of $$I$$I, then $$y_1,y_2$$y_1,y_2 form a fundamental system on $$I$$I. Indeed, Abel's identity gives

so the Wronskian cannot vanish elsewhere on the interval. Conversely, linear dependence forces the Wronskian to vanish identically. Thus the Wronskian tests whether two solutions are linearly independent; together with the previously established two-dimensionality of the homogeneous solution space, this test determines whether they form a fundamental system.

7Criteria for Selecting a Solution Method

8Examples

The equation

is second-order and linear but does not have constant coefficients. Substitution of $$e^{rx}$$e^{rx} leaves dependence on $$x$$x and therefore does not produce an algebraic equation; an expression such as $$r^2+xr+1=0$$r^2+xr+1=0 is not a characteristic equation.

By contrast, $$y^{\prime }\text{'}-3y^{\prime }+2y=0$$y''-3y'+2y=0 has constant coefficients. Substitution of $$e^{rx}$$e^{rx} gives $$r^2-3r+2=0$$r^2-3r+2=0. Thus, applicability of the characteristic-equation method depends on constant coefficients, not merely on the order of the equation.

9Scope and Limitations

The vector-space and superposition results depend on linearity. They do not generally hold for nonlinear second-order equations. The global assertion on $$I$$I also depends on continuity of the normalized coefficients $$P,Q$$P,Q and forcing term $$R$$R throughout that interval; if the leading coefficient of an unnormalized equation vanishes, the equation must first be restricted to intervals on which normalization is valid.

10Exercises

11Related Lectures

12Previous Lecture

13Next Lecture