べき級数解法きゅうすうかいほうと Frobenius 法ほう

date2026-07-13document_iddoc_58f6913fb642e9b4bbbbaa1f1a9073dddescription通常点の解析解定理と正則特異点のFrobenius法を、収束・指標方程式・漸化式・対数解の条件まで含めて整理する。prerequisitesEuler-Cauchy 型と高階方程式 / テイラー展開とマクローリン展開type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

Euler-Cauchy 型がたで現あらわれた $x^{r}$ を、一般いっぱんの正則特異点せいそくとくいてんへ拡張かくちょうする。形式的けいしきてきな係数比較けいすうひかくだけでは解かいを得えたことにならない。このページでは、展開中心てんかいちゅうしん、解析性かいせきせい、収束範囲しゅうそくはんい、解かいを扱あつかう区間くかんを契約けいやくに含ふくめる。

2通常点つうじょうてんの解析解定理かいせきかいていり

$z = x - x_{0}$ とし、

y^{'}' + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0

を考かんがえる。ここでは $x$ を複素変数ふくそへんすうとして、 $P, Q$ が複素円板ふくそえんばん $| z | < R$ で解析的かいせきてき、すなわち正則せいそくであるとする。実数解じっすうかいは、その実軸上じつじくじょうの制限せいげんとして読よむ。このとき $x_{0}$ を通常点つうじょうてんordinary pointといい、任意にんいの $y (x_{0}) = a_{0}, y^{'} (x_{0}) = a_{1}$ に対たいし、

y = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}

で表あらわされる一意いちいな解析解かいせきかいがあり、級数きゅうすうは少すくなくとも $| z | < R$ で収束しゅうそくする。 $R$ は $P, Q$ がともに解析的かいせきてきな複素円板ふくそえんばんで選えらぶ。特定とくていの解かいがさらに先さきへ延長えんちょうできることはある。無限回微分可能むげんかいびぶんかのうであるだけでは、この定理ていりの解析性かいせきせいを置おき換かえられない。

3通常点つうじょうてんの例れい

$y^{'}' + x y = 0$ に $y = \sum a_{n} x^{n}$ を代入だいにゅうすると、

a_{2} = 0, a_{n + 3} = - \frac{a_{n}}{(n + 3) (n + 2)} (n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0)

を得える。 $a_{0}, a_{1}$ は自由じゆうで、 $a_{2} = 0$ の列れつは 0 のままである。零れいでない部分級数ぶぶんきゅうすうでは

| \frac{a_{n + 3} x^{n + 3}}{a_{n} x^{n}} | = \frac{| x |^{3}}{(n + 3) (n + 2)} ⟶ 0.

比ひの判定はんていによりすべての $x$ で収束しゅうそくする。したがって収束半径しゅうそくはんけいは無限大むげんだいであり、 $a_{0}, a_{1}$ から 2 本ほんの独立解どくりつかいを構成こうせいできる。

4正則特異点せいそくとくいてんと指標方程式しひょうほうていしき

$x_{0}$ が特異点とくいてんであっても、

p (z) = z P (x_{0} + z), q (z) = z^{2} Q (x_{0} + z)

が $z = 0$ の近傍きんぼうで解析的かいせきてきなら、 $x_{0}$ を正則特異点せいそくとくいてんregular singular pointという。 $p (z) = \sum p_{k} z^{k}, q (z) = \sum q_{k} z^{k}$ として

z^{2} y^{'}' + z p (z) y^{'} + q (z) y = 0

へ

y = z^{r} \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}, a_{0} \neq 0

を代入だいにゅうする。最低次数さいていじすう $z^{r}$ の係数けいすうから

I (r) = r (r - 1) + p_{0} r + q_{0} = 0

を得える。これを指標方程式しひょうほうていしきindicial equationという。残のこる係数けいすうは $n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 1$ で

I (n + r) a_{n} + \sum_{k = 1}^{n} ((n - k + r) p_{k} + q_{k}) a_{n - k} = 0

を満みたす。 $I (n + r) = 0$ になると漸化式ぜんかしきを通常つうじょうどおり解とけず、これが共鳴きょうめいや対数項たいすうこうの現あらわれる入口いりぐちになる。

5指標根しひょうこんと第だい2 解かい

指標根しひょうこんは、必要ひつようなら入いれ替かえて、 $r_{1} - r_{2} \in Z$ の場合ばあいに $r_{1} - r_{2} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ となるように並ならべる。差さが整数せいすうでなければ順序じゅんじょは任意にんいとする。

$r_{1} - r_{2} \notin Z$ なら、2 本ほんの線型独立せんけいどくりつな Frobenius 解かいを得える。
$r_{1} - r_{2} \in Z_{> 0}$ なら、大おおきい根こんの級数きゅうすうは得えられるが、小ちいさい根こんの側がわは純粋じゅんすいな Frobenius 級数きゅうすうになる場合ばあいと対数項たいすうこうを伴ともなう場合ばあいがある。
重根じゅうこんでは、第だい2 解かいは $y_{1} \log z + z^{r} \sum b_{n} z^{n}$ の形かたちになる。

$p, q$ が $| z | < R$ で解析的かいせきてきなら、Frobenius 解かいの係数級数けいすうきゅうすう $\sum a_{n} z^{n}$ は少すくなくとも $| z | < R$ で収束しゅうそくする。実数解じっすうかいは $0 < z < R$ と $- R < z < 0$ を別々べつべつに扱あつかい、右側みぎがわでは $z^{r}, \log z$ 、左側ひだりがわでは $| z |^{r}, \log | z |$ を用もちいる。複素解ふくそかいでは、 $0 < | z | < R$ から 0 を端はしとする 1 本ほんの半直線はんちょくせんを除のぞき、閉曲線へいきょくせんが 0 を 1 周しゅうできない領域りょういきを選えらぶ。その領域りょういきでは、対数たいすうの枝えだbranch of the logarithm $Log z$ を 1 つ固定こていでき、 $z^{r} = \exp (r Log z)$ と $\log z$ を 1 価かの関数かんすうとして定義ていぎできる。

6Euler-Cauchy 例れいの再解釈さいかいしゃく

$x^{2} y^{'}' - x y^{'} + y = 0$ では $p_{0} = - 1, q_{0} = 1$ なので

I (r) = r (r - 1) - r + 1 = (r - 1)^{2.}

$x > 0$ で基本解きほんかいは $x, x \log x$ であり、直接代入ちょくせつだいにゅうで確認かくにんできる。 $x < 0$ では $x, x \log | x |$ と書かく。これは前まえの Euler-Cauchy 講義こうぎの重根解じゅうこんかいを、一般いっぱんの指標方程式しひょうほうていしきから読よみ直なおしたものである。

7適用範囲てきようはんいと導線どうせん

不規則特異点ふきそくとくいてんは Frobenius 定理ていりの保証外ほしょうがいである。形式級数けいしききゅうすうを得えても、収束しゅうそく・初期条件しょきじょうけん・区間くかんを確認かくにんするまで解かいとは呼よべない。

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