べき級数きゅうすうと Frobenius 法ほう-標準演習ひょうじゅんえんしゅう

date2026-07-13document_iddoc_64af3fa394143a8c8c5c6470c9bbabfedescription通常点・正則特異点を判定し、級数漸化式、指標方程式、収束、対数解を確認する演習。prerequisitesべき級数解法と Frobenius 法type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathdifferential-equationsexercisepower-seriesfrobenius

data/lecture/math/differential-equations/power-series-and-frobenius-methods.lecture.n.md

1問題もんだい 1

$y^{'}' + x y = 0$ の $x = 0$ における漸化式ぜんかしきと収束半径しゅうそくはんけいを求もとめよ。

1.1解答例かいとうれい

○

a_{2} = 0, a_{n + 3} = - \frac{a_{n}}{(n + 3) (n + 2)} (n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0), R = \infty .

1.2解説かいせつ

零れいでない部分級数ぶぶんきゅうすうの 3 項こうおきの項比こうひは $| x |^{3} / ((n + 3) (n + 2)) \to 0$ である。

2問題もんだい 2

$x^{2} y^{'}' + x (1 + x) y^{'} - y = 0$ について、 $x = 0$ が正則特異点せいそくとくいてんであることを示しめし、指標方程式しひょうほうていしきと Frobenius 係数けいすうの漸化式ぜんかしきを求もとめよ。さらに、2 つの指標根しひょうこんから独立解どくりつかいを構成こうせいし、小ちいさい根こんの共鳴きょうめいで対数項たいすうこうが必要ひつようかを判定はんていせよ。

2.1解答例かいとうれい

○

p (x) = 1 + x, q (x) = - 1, I (r) = r^{2} - 1,

((n + r)^{2} - 1) a_{n} + (n - 1 + r) a_{n - 1} = 0 (n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 1) .

$r = 1$ では

a_{n} = - \frac{a_{n - 1}}{n + 2} = \frac{2 (- 1)^{n}}{(n + 2)!} a_{0},

なので $y_{1} = x \sum_{n = 0}^{\infty} 2 (- 1)^{n} x^{n} / (n + 2)!$ と取とれる。 $r = - 1$ では $a_{1} = - a_{0}$ であり、 $n = 2$ の式しきは $0 = 0$ になる。 $a_{2} = 0$ と選えらべば $a_{n} = 0 (n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 2)$ となり、 $y_{2} = x^{- 1} - 1$ を得える。したがって、この整数差せいすうさの例れいでは対数項たいすうこうは不要ふようである。

2.2解説かいせつ

標準形ひょうじゅんけいでは $P = (1 + x) / x, Q = - 1 / x^{2}$ なので、 $x P$ と $x^{2} Q$ は 0 の近傍きんぼうで解析的かいせきてきである。 $p_{1} = 1$ だけが正せいの次数じすうで残のこるため、一般漸化式いっぱんぜんかしきは解答例かいとうれいの形かたちになる。 $r_{1} - r_{2} = 2$ では小ちいさい根こんの $n = 2$ で漸化式ぜんかしきの分母ぶんぼが 0 になるが、分子ぶんしも 0 である。この場合ばあいは対数解たいすうかいを強制きょうせいせず、 $a_{2}$ の自由度じゆうどは $y_{1}$ を加くわえる自由度じゆうどに対応たいおうする。

3問題もんだい 3

$x^{2} y^{'}' - x y^{'} + y = 0$ を $x > 0$ で解とき、 $x < 0$ での表示ひょうじも述のべよ。

3.1解答例かいとうれい

○

x > 0 : y = C_{1} x + C_{2} x \log x,

x < 0 : y = C_{1} x + C_{2} x \log | x | .

3.2解説かいせつ

指標方程式しひょうほうていしきは $(r - 1)^{2} = 0$ である。重根じゅうこんなので第だい2 解かいに対数項たいすうこうが現あらわれる。

4講義こうぎリンク

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