Euler-Cauchy 型がたと高階方程式こうかいほうていしき

date2026-07-16document_iddoc_f18dc0e3974d69536d7995312dda8d2bdescriptionEuler-Cauchy 型方程式と高階線型定数係数方程式を、試行解の選択理由と根の重複から整理する。prerequisites二階線型定数係数微分方程式の拡張理論type講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationshigher-orderlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、高階線型定数係数こうかいせんけいていすうけいすうでは $e^{r x}$ 、Euler-Cauchy 型がたでは $x^{r}$ を試行解しこうかいとして選択せんたくする理由りゆうを確認かくにんする。

2高階定数係数こうかいていすうけいすう

a_{n} y^{(n)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0, a_{n} \neq 0

では $y = e^{r x}$ を仮定かていする。微分びぶんしても $e^{r x}$ が共通因子きょうつういんしとして残のこるため、

a_{n} r^{n} + \dots + a_{1} r + a_{0} = 0

を得える。根こん $r$ の重複度ちょうふくどが $m$ なら、

e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{m - 1} e^{r x}

が対応たいおうする。

3Euler-Cauchy 型がた

$x > 0$ の区間くかんで Euler-Cauchy 方程式ほうていしきEuler-Cauchy equation は

x^{2} y^{'}' + a x y^{'} + b y = 0

のように、微分階数びぶんかいすうに対応たいおうして $x$ の冪べきが掛かかる方程式ほうていしきである。 $y = x^{r}$ と置おくと、 $x y^{'} = r x^{r}$ 、 $x^{2} y^{'}' = r (r - 1) x^{r}$ となり、共通因子きょうつういんし $x^{r}$ が残のこる。したがって $r$ の代数方程式だいすうほうていしきへ還元かんげんできる。

この方針ほうしんは、 $x = e^{s}$ という変数変換へんすうへんかんから導出どうしゅつできる。 $D_{s} = d / d s$ とすると、 $x y^{'} = D_{s} y$ 、 $x^{2} y^{'}' = D_{s} (D_{s} - 1) y$ である。したがって Euler-Cauchy 型がたは、対数変数たいすうへんすう $s = \log x$ では定数係数方程式ていすうけいすうほうていしきへ変換へんかんされる。 $x^{r} = e^{r s}$ が試行解しこうかいとなるのはこのためである。 $x < 0$ の区間くかんでは $z = - x > 0$ と変換へんかんし、 $| x |^{r}$ と $\log | x |$ を用もちいて同様どうように処理しょりする。

4具体例ぐたいれい

x^{2} y^{'}' + x y^{'} - y = 0

で $y = x^{r}$ とおくと

r (r - 1) + r - 1 = r^{2} - 1 = 0

である。したがって $r = \pm 1$ であり、 $y = C_{1} x + C_{2} x^{- 1}$ を得える。

5重根じゅうこんと対数因子たいすういんし

Euler-Cauchy 型がたでも、指標方程式しひょうほうていしきが重根じゅうこんを持もつ場合ばあいには独立どくりつな 2 解かいが不足ふそくする。この場合ばあい、定数係数ていすうけいすうで $x e^{r x}$ が現あらわれるのに対応たいおうして、Euler-Cauchy 型がたでは $x^{r} \log x$ が現あらわれる。

たとえば

x^{2} y^{'}' - x y^{'} + y = 0

では $y = x^{r}$ を代入だいにゅうして

r (r - 1) - r + 1 = (r - 1)^{2} = 0

を得える。したがって

y = C_{1} x + C_{2} x \log x

である。 $\log x$ が出現しゅつげんする理由りゆうは、対数変数たいすうへんすう $s = \log x$ で重根解じゅうこんかい $e^{s}, s e^{s}$ が生しょうじ、それを $x$ の変数へんすうへ戻もどすと $x, x \log x$ になるためである。

6高階方程式こうかいほうていしきとの対応たいおう

高階定数係数こうかいていすうけいすうでは、特性多項式とくせいたこうしきの根こんが解かいの基本成分きほんせいぶんを決定けっていする。相異そういなる根こんは指数関数しすうかんすうを与あたえ、重複根ちょうふくこんは多項式因子たこうしきいんしを伴ともなう。この構造こうぞうは、解空間かいくうかんの次元じげんが階数かいすうと一致いっちしなければならないという線型理論せんけいりろんの要請ようせいに由来ゆらいする。

7適用範囲てきようはんいと限界げんかい

Euler-Cauchy 型がたは $x = 0$ に特異点とくいてんを持もつ。したがって解かいを扱あつかう区間くかんが $x > 0$ か $x < 0$ かを明示めいじする必要ひつようがある。さらに一般いっぱんの変数係数方程式へんすうけいすうほうていしきがすべて Euler-Cauchy 型がたへ還元かんげんできるわけではない。

また、 $x = 0$ を跨またぐ区間くかんで同一どういつの表示ひょうじを無条件むじょうけんに使用しようしてはならない。 $x^{r}$ や $\log x$ の扱あつかいは区間くかんと実数じっすう・複素数ふくそすうの設定せっていに依存いぞんする。Euler-Cauchy 型がたは特異点近傍とくいてんきんぼうの解析かいせきへ接続せつぞくするため、Frobenius 法ほうへの入口いりぐちとしても重要じゅうようである。

8前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/variation-of-parameters-and-wronskian.lecture.n.md

9次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/first-order-systems-and-matrix-exponentials.lecture.n.md

Euler--Cauchy and Higher-Order Equations

1Introduction

This lecture explains why exponential trial solutions apply to higher-order constant-coefficient equations and why power trial solutions apply to Euler--Cauchy equations.

2Higher-Order Constant-Coefficient Equations

For

a_{n} y^{(n)} + \dots + a_{1} y^{'} + a_{0} y = 0, a_{n} \neq 0,

the trial solution $y = e^{r x}$ produces the characteristic equation

a_{n} r^{n} + \dots + a_{1} r + a_{0} = 0.

If $r$ is a root of multiplicity $m$ , the associated solutions are

e^{r x}, x e^{r x}, \dots, x^{m - 1} e^{r x} .

These factors supply the number of independent solutions required by the order of the equation.

3Euler--Cauchy Equations

On an interval with $x > 0$ , an {Euler--Cauchy equation} has the form

x^{2} y^{'}' + a x y^{'} + b y = 0.

Substitution of $y = x^{r}$ gives $x y^{'} = r x^{r}$ and $x^{2} y^{'}' = r (r - 1) x^{r}$ , reducing the differential equation to an algebraic equation in $r$ .

This reduction follows systematically from the change of variable $x = e^{s}$ . If $D_{s} = d / d s$ , then

x y^{'} = D_{s} y, x^{2} y^{'}' = D_{s} (D_{s} - 1) y .

Thus the Euler--Cauchy equation becomes a constant-coefficient equation in $s = \log x$ , and $x^{r} = e^{r s}$ is its natural trial solution. On an interval with $x < 0$ , set $z = - x > 0$ and use $| x |^{r}$ and $\log | x |$ . Solutions must be treated separately on the two sides of the singular point $x = 0$ .

4Example

For

x^{2} y^{'}' + x y^{'} - y = 0,

substitution of $y = x^{r}$ gives

r (r - 1) + r - 1 = r^{2} - 1 = 0.

Hence $r = \pm 1$ and, on $x > 0$ ,

y = C_{1} x + C_{2} x^{- 1} .

5Repeated Roots and Logarithmic Factors

When the indicial equation has a repeated root, a second independent solution contains a logarithmic factor. For example,

x^{2} y^{'}' - x y^{'} + y = 0

gives $(r - 1)^{2} = 0$ and therefore

y = C_{1} x + C_{2} x \log x

on $x > 0$ . Under $s = \log x$ , the repeated-root solutions are $e^{s}$ and $s e^{s}$ ; transforming back gives $x$ and $x \log x$ .

6Connection with Higher-Order Theory

For higher-order constant-coefficient equations, the roots of the characteristic polynomial determine the elementary solution components. Distinct roots yield exponentials, while repeated roots introduce polynomial factors. This structure ensures that the dimension of the solution space equals the order of the equation.

7Scope and Limitations

The point $x = 0$ is singular for an Euler--Cauchy equation. A solution formula must therefore specify an interval contained either in $x > 0$ or in $x < 0$ ; one must not extend the same real formula across zero without justification. General variable-coefficient equations need not reduce to Euler--Cauchy form. Their analysis near singular points leads to the Frobenius method.

8Previous Lecture