一階連立系いっかいれんりつけいと行列指数関数ぎょうれつしすうかんすう

1導入どうにゅう

高階方程式こうかいほうていしきを複数ふくすうの状態変数じょうたいへんすうへ分わけると、一階連立系いっかいれんりつけいになる。このページでは、その定数係数ていすうけいすうの基本形きほんけい

の一意解いちいかいが $$e^{A(t-t_0)}{x}_0$$e^{A(t-t_0)}\boldsymbol{x}_0 となることを、級数きゅうすうの収束しゅうそくから証明しょうめいする。ここで $$\mathbb{K}=\mathbb{R}$$\mathbb K=\mathbb R または $$\mathbb{C}$$\mathbb C、$$A\in K^{n\times n}$$A\in\mathbb K^{n\times n}、$$x_0\in K^n$$\boldsymbol{x}_0\in\mathbb K^n、$$t\in \mathbb{R}$$t\in\mathbb R とし、$$A$$A は $$t$$t に依存いぞんしない。

2行列指数級数ぎょうれつしすうきゅうすうの収束しゅうそく

行列指数関数ぎょうれつしすうかんすうmatrix exponentialを

で定義ていぎする。例れいとして、最大行和さいだいぎょうわノルム

を用もちいる。行列積ぎょうれつせきについて

なので、$$\parallel BC{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\parallel B{\parallel }_{\mathrm{\infty }}\parallel C{\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$\|BC\|_\infty\le\|B\|_\infty\|C\|_\infty である。このノルムで

である。右辺うへんの和わは $$e^{\parallel A\parallel \left|t\right|}$$e^{\|A\||t|} なので、行列級数ぎょうれつきゅうすうはすべての $$t$$t で絶対収束ぜったいしゅうそくする。さらに $$\left|t\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}T$$|t|\le T では同おなじ上界じょうかいを $$T$$T で設定せっていできるため、有界区間ゆうかいくかんで一様収束いちようしゅうそくする。微分級数びぶんきゅうすうにも同様どうようの評価ひょうかを適用てきようできるので、項別微分こうべつびぶんにより

を得える。$$A$$A とその冪べきは可換かかんなので、$$A$$A を左右さゆうのどちらに置おいてもよい。

3可逆性かぎゃくせい

$$e^{A0}=I$$e^{A0}=I である。さらに微分公式びぶんこうしきから

となる。$$t=0$$t=0 でこの積せきは $$I$$I なので、すべての $$t$$t で $$e^{-At}{e}^{At}=I$$e^{-At}e^{At}=I である。左右さゆうを逆ぎゃくにした積せきも同様どうようだから、

を、解かいの一意性いちいせいをまだ用もちいずに得える。

4初期値問題しょきちもんだいの存在そんざいと一意性いちいせい

は、微分公式びぶんこうしきと $$e^{A0}=I$$e^{A0}=I により方程式ほうていしきと初期条件しょきじょうけんを満みたすので、解かいは存在そんざいする。一意性いちいせいも行列指数関数ぎょうれつしすうかんすうから直接ちょくせつ示しめせる。別べつの解かい $$\mathit{y}$$\boldsymbol{y} に対たいして

である。よって括弧内かっこないは定数ていすう $$\mathit{y}\left(t_0\right)=x_0$$\boldsymbol{y}(t_0)=\boldsymbol{x}_0 であり、$$\mathit{y}\left(t\right)=e^{A(t-t_0)}{x}_0$$\boldsymbol{y}(t)=e^{A(t-t_0)}\boldsymbol{x}_0 に限かぎられる。

5時間発展じかんはってんの合成則ごうせいそく

任意にんいの $$s,t\in \mathbb{R}$$s,t\in\mathbb R に対たいして

が成立せいりつする。$$t$$t の関数かんすうとして両辺りょうへんは $$X^{\prime }=AX$$X'=AX を満みたし、$$t=0$$t=0 でともに $$e^{As}$$e^{As} になるので、いま示しめした一意性いちいせいから一致いっちする。したがって、時間じかん $$s$$s の時間発展じかんはってんと時間じかん $$t$$t の時間発展じかんはってんの合成ごうせいは、時間じかん $$s+t$$s+t の時間発展じかんはってんに一致いっちする。

6計算方法けいさんほうほうの入口いりぐち

$$A=PD{P}^{-1}$$A=PDP^{-1} と対角化たいかくかできるとする。ここで $$P$$P は可逆かぎゃくである。$$(PD{P}^{-1}{)}^k=P{D}^k{P}^{-1}$$(PDP^{-1})^k=PD^kP^{-1} を級数きゅうすうへ代入だいにゅうすると、

を得える。$$D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$$D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) なら、$$e^{Dt}=\mathrm{diag}(e^{{\lambda }_{1}t},\dots ,e^{{\lambda }_{n}t})$$e^{Dt}=\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_nt}) である。この説明せつめいは $$A$$A を対角化たいかくかできる体たいの上うえで行おこなう。実行列じつぎょうれつが $$\mathbb{C}$$\mathbb C 上じょうでだけ対角化たいかくかできるときは、共役きょうやくな複素解ふくそかいの実部じつぶと虚部きょぶから実解じつかいを構成こうせいする。

固有こゆうベクトルが基底きていをなせば、互たがいに直交ちょっこうしなくても $$P{e}^{Dt}{P}^{-1}$$Pe^{Dt}P^{-1} は全時間発展ぜんじかんはってんを正確せいかくに与あたえる。ただし非直交基底ひちょっこうきていでは、ユークリッド長ながさの途中とちゅうの増減ぞうげんを固有値こゆうちのみから評価ひょうかできない。固有こゆうベクトルが基底きていをなさない場合ばあいは対角化不能たいかくかふのうであり、次つぎの講義こうぎで Jordan 形けいを用もちいて多項式因子たこうしきいんしを含ふくむ時間発展じかんはってんを構成こうせいする。

7回転かいてんを生成せいせいする例れい

では $$A^2=-{\omega }^{2}I$$A^2=-\omega^2I である。偶数次ぐうすうじと奇数次きすうじを分わけると、

また $$A^{\mathsf{T}}=-A$$A^{\mathsf T}=-A なので、解かいに沿そって

したがって長ながさは保存ほぞんされ、$$\omega >0$$\omega>0 なら反時計回はんとけいまわり、$$\omega <0$$\omega<0 なら時計回とけいまわりに、角速度かくそくど $$\left|\omega \right|$$|\omega| で回転かいてんする。これはこの反対称行列はんたいしょうぎょうれつの結論けつろんであり、「純虚固有値じゅんきょこゆうちなら常つねに長ながさが保存ほぞんされる」という一般則いっぱんそくではない。

8高階方程式こうかいほうていしきの一階化いっかいか

に $$\mathit{x}=(y,y^{\prime },\dots ,y^{(m-1)}{)}^{\mathsf{T}}$$\boldsymbol{x}=(y,y',\ldots,y^{(m-1)})^{\mathsf T} を導入どうにゅうすると、

$$y\left(t_0\right),y^{\prime }\left(t_0\right),\dots ,y^{(m-1)}\left(t_0\right)$$y(t_0),y'(t_0),\ldots,y^{(m-1)}(t_0) は $$\mathit{x}\left(t_0\right)$$\boldsymbol{x}(t_0) の $$m$$m 成分せいぶんになる。係数けいすう $$a_j$$a_j が定数ていすうなら定数行列ていすうぎょうれつになり、変数係数へんすうけいすうなら $$A\left(t\right)$$A(t) をもつ系けいになる。

9非同次系ひどうじけいと変分定数公式へんぶんていすうこうしき

$$\mathit{b}\left(t\right)$$\boldsymbol{b}(t) が連続れんぞくである非同次系ひどうじけい

を考かんがえる。$$\mathit{x}=e^{A(t-t_0)}\mathit{u}\left(t\right)$$\boldsymbol{x}=e^{A(t-t_0)}\boldsymbol{u}(t) と置おくと、

になる。$$t_0$$t_0 から $$t$$t まで積分せきぶんして元もとへ戻もどすと、

を得える。これを変分定数公式へんぶんていすうこうしきvariation-of-constants formulaという。これは既習きしゅうの定数変化法ていすうへんかほうを連立系れんりつけいへ移うつした同おなじ発想はっそうである。右辺うへんを微分びぶんすれば方程式ほうていしきを満みたすことを確認かくにんでき、2 解かいの差さは同次系どうじけいを満みたすので一意いちいである。

10時間依存行列じかんいぞんぎょうれつとの境界きょうかい

$$A\left(t\right)$$A(t) が連続れんぞくなら $$x^{\prime }=A\left(t\right)\mathit{x}$$\boldsymbol{x}'=A(t)\boldsymbol{x} の初期値問題しょきちもんだいにも一意解いちいかいがある。しかし一般いっぱんには

をそのまま時間発展じかんはってんとしてはならない。異ことなる時刻じこくの行列ぎょうれつが可換かかん、すなわち $$A\left(t\right)A\left(s\right)=A\left(s\right)A\left(t\right)$$A(t)A(s)=A(s)A(t) をすべての $$s,t$$s,t で満みたすなら、この表示ひょうじを適用てきようできる。非可換ひかかんなら行列積ぎょうれつせきの時刻順序じこくじゅんじょを保たもつ別べつの構成こうせいが必要ひつようであり、このページの $$e^{A(t-t_0)}$$e^{A(t-t_0)} は定数行列ていすうぎょうれつ $$A$$A に限定げんていする。

11前まえの講義こうぎ

12次つぎの講義こうぎ

13演習えんしゅう

14関連かんれんする既習事項きしゅうじこう

First-Order Systems and the Matrix Exponential

1Introduction

For a constant matrix $$A\in K^{n\times n}$$A\in\mathbb K^{n\times n}, where $$\mathbb{K}=\mathbb{R}$$\mathbb K=\mathbb R or $$\mathbb{C}$$\mathbb C, this lecture constructs the unique solution of

as $$\mathit{x}\left(t\right)=e^{A(t-t_0)}{x}_0$$\boldsymbol{x}(t)=e^{A(t-t_0)}\boldsymbol{x}_0.

2Convergence and Termwise Differentiation

Define

For any submultiplicative matrix norm,

The scalar majorant converges and is uniform on bounded time intervals. The differentiated series has the same type of majorant; termwise differentiation is therefore valid and gives

For the maximum row-sum norm,

we have

Thus this norm is submultiplicative and supplies the preceding majorant.

3Invertibility, Uniqueness, and the Composition (Group) Law

Since $$e^{A0}=I$$e^{A0}=I and

the product equals $$I$$I for every $$t$$t. Reversing the factors gives the other inverse identity, so

The proposed solution satisfies the equation and initial condition. If $$\mathit{y}$$\boldsymbol y is any other solution, then

which proves uniqueness. Applying uniqueness to two matrix solutions yields

4Computation and Real Matrices

If $$A=PD{P}^{-1}$$A=PDP^{-1}, then

For a real matrix diagonalizable only over $$\mathbb{C}$$\mathbb C, conjugate complex solutions combine through their real and imaginary parts to form real solutions. A nonorthogonal eigenbasis still gives the exact evolution, although eigenvalues alone need not describe transient Euclidean norm growth.

For

the identity $$A^2=-{\omega }^{2}I$$A^2=-\omega^2I gives

Because $$A^{\mathsf{T}}=-A$$A^{\mathsf T}=-A, this evolution preserves the Euclidean norm.
It rotates counterclockwise for $$\omega >0$$\omega>0 and clockwise for $$\omega <0$$\omega<0, with angular speed $$\left|\omega \right|$$|\omega|. This norm preservation follows from skew-symmetry; purely imaginary eigenvalues alone do not imply norm preservation for an arbitrary matrix.

5Reduction of Higher-Order Equations

Introducing $$\mathit{x}=(y,y^{\prime },\dots ,y^{(m-1)}{)}^{\mathsf{T}}$$\boldsymbol{x}=(y,y',\ldots,y^{(m-1)})^{\mathsf T} converts

into a first-order companion system. Its initial vector contains the values of $$y$$y and its first $$m-1$$m-1 derivatives. Constant coefficients produce a constant matrix; variable coefficients produce a time-dependent matrix.

Explicitly,

6Variation of Constants

For continuous $$\mathit{b}$$\boldsymbol b,

has the solution

Differentiation verifies both the equation and initial condition.
Indeed, writing $$\mathit{x}=e^{A(t-t_0)}\mathit{u}\left(t\right)$$\boldsymbol{x}=e^{A(t-t_0)}\boldsymbol u(t) gives

and integration from $$t_0$$t_0 to $$t$$t yields the formula. The difference of two solutions satisfies the homogeneous system, so uniqueness follows from the homogeneous result.

7Boundary for Time-Dependent Matrices

For continuous $$A\left(t\right)$$A(t), the corresponding initial-value problem has a unique solution. However, the expression

is valid as the evolution operator when $$A\left(t\right)A\left(s\right)=A\left(s\right)A\left(t\right)$$A(t)A(s)=A(s)A(t) for every pair of times. Without this commutativity, chronological order matters and a time-ordered construction is required. The formula $$e^{A(t-t_0)}$$e^{A(t-t_0)} in this lecture is restricted to constant $$A$$A.

8Previous Lecture

9Next Lecture

10Exercises

11Previously Studied Method