対角化たいかくか・Jordan 形けいと連立系れんりつけい

1この講義こうぎの役割やくわり

線型代数せんけいだいすうで学まなんだ Jordan 標準形ひょうじゅんけいを、定数係数線型系ていすうけいすうせんけいけい

の時間発展じかんはってんへ翻訳ほんやくする。$$A$$A が対角化不能たいかくかふのうでも、一般化固有いっぱんかこゆうベクトルの鎖くさりを基底きていにすれば、解かいは「指数関数しすうかんすう×有限次多項式ゆうげんじたこうしき」として構成こうせいできる。

このページでは $$A\in C^{n\times n}$$A\in\mathbb C^{n\times n} とする。実行列じつぎょうれつに複素固有値ふくそこゆうちがある場合ばあいは $$\mathbb{C}$$\mathbb C 上じょうで Jordan 化かし、共役きょうやくな複素解ふくそかいの実部じつぶ・虚部きょぶから実解じつかいを構成こうせいする。実数上じっすうじょうの Jordan 形けいはここでは扱あつかわない。

2一般いっぱんの Jordan ブロックの指数しすう

大おおきさ $$k$$k の Jordan ブロックを

と表あらわす。$$N^k=0$$N^k=0 であり、$$k>1$$k>1 なら $$N^{k-1}\ne 0$$N^{k-1}\ne0 である。$$\lambda I$$\lambda I と $$N$$N は可換かかんなので、可換行列かかんぎょうれつに対たいする指数法則しすうほうそくを級数きゅうすうの二項展開にこうてんかいから適用てきようでき、

となる。ここで $$\tau =t-t_0$$\tau=t-t_0 である。冪零性べきれいせいによって無限級数むげんきゅうすうが $$k$$k 項こうで止とまり、$${\tau }^{k-1}{e}^{\lambda \tau }$$\tau^{k-1}e^{\lambda\tau} までの多項式因子たこうしきいんしが現あらわれる。

異ことなる行列ぎょうれつ $$X,Y$$X,Y について $$e^{X+Y}=e^X{e}^Y$$e^{X+Y}=e^Xe^Y が常つねに成立せいりつするわけではない。ここで積せきへ分わけられる理由りゆうは、$$\lambda I$$\lambda I と $$N$$N が可換かかんだからである。

3Jordan 形けいから元もとの座標ざひょうへ戻もどす

Jordan 標準形ひょうじゅんけいを

と固定こていする。したがって $$A=PJ{P}^{-1}$$A=PJP^{-1} であり、前講義ぜんこうぎの行列指数ぎょうれつしすうの相似変換則そうじへんかんそくから

を得える。$$J$$J が複数ふくすうの Jordan ブロックのブロック対角行列たいかくぎょうれつなら、$$e^{J\tau }$$e^{J\tau} も各かくブロックの指数しすうを並ならべたブロック対角行列たいかくぎょうれつになる。よって初期値問題しょきちもんだいの解かいは

である。

4Jordan 鎖くさりから線型独立せんけいどくりつな解かいを構成こうせいする

$$\lambda$$\lambda に対たいする長ながさ $$k$$k の Jordan 鎖くさり

を考かんがえる。$$P=[v_1,\dots ,v_k]$$P=[v_1,\ldots,v_k] とすれば、この鎖くさりに対応たいおうする部分ぶぶんで $$AP=P{J}_k\left(\lambda \right)$$AP=PJ_k(\lambda) になる。$$v_j$$v_j を初期値しょきちとする解かいは

である。最初さいしょの 3 本ぼんは

微分びぶんすると、指数関数しすうかんすうから $$\lambda$$\lambda の項こう、多項式たこうしきから鎖くさりを 1 段だん下したがる項こうが生成せいせいされるため、$$x_{j^{\prime }}=A{x}_j$$\boldsymbol{x}_j'=A\boldsymbol{x}_j を満みたす。一般化固有いっぱんかこゆうベクトルが不足ふそくした固有方向こゆうほうこうを補完ほかんし、多項式因子たこうしきいんしを生成せいせいする機構きこうはここにある。

5非ひ Jordan 座標ざひょうの具体例ぐたいれい

の特性多項式とくせいたこうしきは $$(\lambda -1{)}^2$$(\lambda-1)^2 である。$$\lambda =1$$\lambda=1 の代数的重複度だいすうてきちょうふくどは 2 だが、固有空間こゆうくうかんは 1 次元じげんである。

とすると、$$(A-I)v_1=0$$(A-I)v_1=0、$$(A-I)v_2=v_1$$(A-I)v_2=v_1 である。したがって

であり、

特とくに $$v_1$$v_1 からは $$e^{\tau }{v}_1$$e^\tau v_1、$$v_2$$v_2 からは $$e^{\tau }(v_2+\tau v_1)$$e^\tau(v_2+\tau v_1) が生しょうじる。行列ぎょうれつが最初さいしょから Jordan 形けいでなくても、鎖くさりを基底きていに選えらべば時間発展じかんはってんを計算けいさんできる。

6実部じつぶとブロックサイズが決きめる漸近挙動ぜんきんきょどう

$$\tau \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$\tau\ge0 で、$$J_k\left(\lambda \right)$$J_k(\lambda) の時間発展じかんはってんはある定数ていすう $$C$$C により

と評価ひょうかできる。

• $$\mathrm{Re}\lambda <0$$\operatorname{Re}\lambda<0 なら、多項式因子たこうしきいんしよりも指数減衰しすうげんすいが支配的しはいてきであり、そのブロックの解かいは 0 へ収束しゅうそくする。
• $$\mathrm{Re}\lambda >0$$\operatorname{Re}\lambda>0 なら、そのブロックには指数増大しすうぞうだいする方向ほうこうがある。
• $$\mathrm{Re}\lambda =0$$\operatorname{Re}\lambda=0 でブロックサイズが 1 なら、そのブロックの時間発展じかんはってんは有界ゆうかいである。
• $$\mathrm{Re}\lambda =0$$\operatorname{Re}\lambda=0 でブロックサイズが 2 以上いじょうなら、多項式因子たこうしきいんしにより非有界ひゆうかいになる初期値しょきちがある。

したがって固有値こゆうちの実部じつぶが 0 の境界きょうかいでは、固有値こゆうちだけでなく Jordan ブロックの大おおきさが必要ひつようである。次つぎの講義こうぎでは「安定あんてい」「漸近安定ぜんきんあんてい」を定義ていぎし、この有界性ゆうかいせいと収束しゅうそくを非線型系ひせんけいけいの線型化せんけいかへ接続せつぞくする。

7数値計算すうちけいさんとの境界きょうかい

Jordan ブロック構造こうぞうの数値的決定すうちてきけっていは、微小摂動びしょうせつどうに敏感びんかんである。たとえば

は $$\epsilon =0$$\varepsilon=0 では 1 個この Jordan ブロックだが、$$\epsilon \ne 0$$\varepsilon\ne0 では固有値こゆうちが $$\lambda \pm \sqrt{\epsilon }$$\lambda\pm\sqrt{\varepsilon} に分裂ぶんれつする。このため Jordan 形けいは理論的分類りろんてきぶんるいに用もちい、浮動小数点計算ふどうしょうすうてんけいさんで $$e^{At}$$e^{At} を求もとめるときは、Jordan ブロックを数値的すうちてきに同定どうていすることを前提ぜんていにしない。

8前まえの講義こうぎ

9演習えんしゅう

10次つぎの講義こうぎ

Diagonalization, Jordan Form, and Linear Systems

1Purpose of the Lecture

For the constant-coefficient system

Jordan form translates generalized eigenvector chains into solutions consisting of an exponential multiplied by a finite-degree polynomial. We work over $$\mathbb{C}$$\mathbb C. A real matrix may be complexified and placed in complex Jordan form; conjugate complex solutions then yield real solutions through their real and imaginary parts. Real Jordan form is outside the scope of this lecture.

2Exponential of a Jordan Block

For a block of size $$k$$k, write

The matrices $$\lambda I$$\lambda I and $$N$$N commute. Hence, with $$\tau =t-t_0$$\tau=t-t_0,

Here $$N^k=0$$N^k=0 and, for $$k>1$$k>1, $$N^{k-1}\ne 0$$N^{k-1}\ne0. Nilpotency terminates the series and produces polynomial factors through degree $$k-1$$k-1. This factorization relies on commutativity and is not valid for arbitrary matrices $$X,Y$$X,Y.

3Return to the Original Coordinates

If

then

Each Jordan block may be exponentiated independently.

4Generalized Eigenvector Chains

Let

be a Jordan chain. The solution with initial value $$v_j$$v_j is

In particular,

Differentiation and the chain relations verify the system directly. The exponential derivative contributes the term with $$\lambda$$\lambda, while differentiating the polynomial lowers the chain index by one; $$(A-\lambda I)v_j=v_{j-1}$$(A-\lambda I)v_j=v_{j-1} then gives $$x_{j^{\prime }}=A{x}_j$$\boldsymbol{x}_j'=A\boldsymbol{x}_j.

5Example in Non-Jordan Coordinates

For

we have $$(A-I)v_1=0$$(A-I)v_1=0 and $$(A-I)v_2=v_1$$(A-I)v_2=v_1. Moreover,

Consequently,

6Asymptotic Behavior

For $$\tau \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$\tau\ge0, a Jordan block satisfies

Thus, negative real part implies decay despite polynomial factors, while positive real part produces an exponentially growing direction. When the real part is zero, blocks of size one are bounded, whereas larger blocks admit polynomially unbounded solutions. Both eigenvalue real parts and Jordan block sizes are therefore required at the spectral boundary.

7Numerical Boundary

Jordan structure is sensitive to perturbations and is primarily a theoretical classification. For example,

is one Jordan block when $$\epsilon =0$$\varepsilon=0, whereas its eigenvalues split into $$\lambda \pm \sqrt{\epsilon }$$\lambda\pm\sqrt{\varepsilon} when $$\epsilon \ne 0$$\varepsilon\ne0. Numerical computation of $$e^{At}$$e^{At} should not generally assume that an exact Jordan block structure can be identified reliably in floating-point arithmetic.

8Previous Lecture

9Next Lecture

10Exercises