線型化せんけいかと固有値判定こゆうちはんていの入口いりぐち

date2026-07-16document_iddoc_c561416d348dc4ede6fc98da2fc7fd43description非線型連立系を平衡点の近傍で線型化し、Jacobian の固有値で局所安定性を判定する入口である。prerequisites対角化・Jordan 形と連立系 / 固有値と固有ベクトル / 接平面・連鎖律・Jacobiantype講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationslinearizationstabilitylecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、非線型系ひせんけいけいの平衡点へいこうてんの近傍きんぼうで一次近似いちじきんじを抽出ちゅうしゅつし、得えられた線型系せんけいけいの固有値こゆうちから局所安定性きょくしょあんていせいを判定はんていする。

2標準形ひょうじゅんけい

対象たいしょうは

x^{'} = F (x)

である。平衡点へいこうてん $x_{*}$ は $F (x_{*}) = 0$ を満みたす点てんである。

本講義ほんこうぎでは $F$ が平衡点へいこうてんの近傍きんぼうで $C^{1}$ 級きゅうである場合ばあいを扱あつかう。したがって局所的きょくしょてきな解かいの存在そんざいと一意性いちいせいが成立せいりつし、初期値しょきちから定さだまる解かいを一ひとつの記号きごうで表あらわせる。

3安定性あんていせいの定義ていぎ

時刻じこく $t_{0}$ を固定こていし、そこから始はじまる解かいを $x (t; t_{0}, x_{0})$ と書かく。自律系じりつけいなので、以下いかの性質せいしつは $t_{0}$ の選えらび方かたに依存いぞんしない。また、以下いかで指定していする近傍きんぼうの各初期値かくしょきちについて、解かいがすべての $t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] t_{0}$ で存在そんざいすることも条件じょうけんに含ふくめる。

平衡点へいこうてん $x_{*}$ がLyapunov 安定あんていLyapunov stableであるとは、任意にんいの $ε > 0$ に対たいしてある $δ > 0$ が存在そんざいし、

∥ x_{0} - x_{*} ∥ < δ ⟹ ∥ x (t; t_{0}, x_{0}) - x_{*} ∥ < ε (t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] t_{0})

となることである。これは「十分近じゅうぶんちかくから出発しゅっぱつした解かいが、その後あとも近ちかくにとどまる」という条件じょうけんであり、 $x_{*}$ へ収束しゅうそくすることまでは要求ようきゅうしない。

平衡点へいこうてんが局所吸引的きょくしょきゅういんてきlocally attractiveであるとは、ある $r > 0$ が存在そんざいし、

∥ x_{0} - x_{*} ∥ < r ⟹ x (t; t_{0}, x_{0}) ⟶ x_{*} (t \to \infty)

となることである。Lyapunov 安定あんていかつ局所吸引的きょくしょきゅういんてきである平衡点へいこうてんを局所漸近安定きょくしょぜんきんあんていlocally asymptotically stableという。不安定ふあんていとは Lyapunov 安定あんていでないことである。

さらに、Lyapunov 安定あんていであり、すべての初期値しょきちからの解かいが前まえ向むきに大域存在たいいきそんざいして $x_{*}$ へ収束しゅうそくするとき、大域漸近安定たいいきぜんきんあんていglobally asymptotically stableという。

Jordan 講義こうぎで確認かくにんしたとおり、線型系せんけいけいでは虚軸上きょじくじょうの固有値こゆうちに属ぞくする Jordan ブロックの大おおきさが解かいの有界性ゆうかいせいを決定けっていする。次つぎに、この線型系せんけいけいの判定はんていを非線型系ひせんけいけいの平衡点近傍へいこうてんきんぼうへ適用てきようする。

4線型近似せんけいきんじの意義いぎ

非線型系ひせんけいけいを厳密げんみつに解とくことは困難こんなんである。しかし平衡点へいこうてんの近傍きんぼうでは Taylor 展開てんかいの一次項いちじこうが支配的しはいてきになる。変数へんすう $u = x - x_{*}$ と置おくと、

u^{'} = A u + r (u), A = D F (x_{*}), \frac{∥ r (u) ∥}{∥ u ∥} ⟶ 0 (u \to 0)

である。ここで $D F (x_{*})$ は Jacobian 行列ぎょうれつである。 $C^{1}$ 級きゅうから従したがうのは、剰余じょうよ $r (u)$ が一次項いちじこうに比くらべて無視むしできるという上うえの極限きょくげんである。 $O (∥ u ∥^{2})$ まで主張しゅちょうするには、さらに強つよい滑なめらかさが必要ひつようである。

Jacobian 行列ぎょうれつは、非線型写像ひせんけいしゃぞう $F$ 全体ぜんたいを線型写像せんけいしゃぞうと同一視どういつしするものではない。平衡点へいこうてん $x_{*}$ で固定こていしたとき、増分ぞうぶん $u$ に作用さようする線型写像せんけいしゃぞう

u \mapsto D F (x_{*}) u

を抽出ちゅうしゅつするための行列ぎょうれつである。

data/lecture/math/multivariable-calculus/tangent-planes-chain-rule-and-jacobian.lecture.n.md

5固有値判定こゆうちはんてい

ここで適用てきようする定理ていりは、非線型系ひせんけいけいを線型系せんけいけいと完全かんぜんに同一視どういつしする規則きそくではない。平衡点へいこうてんの近傍きんぼうで、線型化せんけいかが安定性あんていせいを正ただしく判定はんていするための定理ていりである。

5.1まず線型系せんけいけいを完全かんぜんに判定はんていする

$u^{'} = A u$ の原点げんてんについては、Jordan 講義こうぎの時間発展じかんはってんから次つぎが従したがう。

すべての固有値こゆうちが $Re λ < 0$ を満みたすことと、原点げんてんが大域漸近安定たいいきぜんきんあんていであることは同値どうちである。
すべての固有値こゆうちが $Re λ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ を満みたし、虚軸上きょじくじょうの固有値こゆうちに属ぞくする Jordan ブロックがすべて大おおきさ 1 であることと、原点げんてんが Lyapunov 安定あんていであることは同値どうちである。
$Re λ > 0$ の固有値こゆうちがあるか、虚軸上きょじくじょうに大おおきさ 2 以上いじょうの Jordan ブロックがあれば、原点げんてんは不安定ふあんていである。

これは線型系せんけいけいそのものの完全かんぜんな判定はんていである。次つぎの定理ていりは、この判定はんていのうち符号ふごうが境界きょうかいから離はなれた部分ぶぶんを非線型系ひせんけいけいへ移うつす。

5.2線型化定理せんけいかていりの形かたち

右辺うへん $F$ が平衡点へいこうてん $x_{*}$ の近傍きんぼうで $C^{1}$ 級きゅうであり、Jacobian 行列ぎょうれつ

A = D F (x_{*})

の固有値こゆうちが虚軸上きょじくじょうに存在そんざいしないとする。このような平衡点へいこうてんを双曲型そうきょくがたhyperbolicという。

この仮定かていのもとで、 $A$ の固有値こゆうちの実部じつぶがすべて負ふなら、平衡点へいこうてんは局所漸近安定きょくしょぜんきんあんていである。 $A$ が実部じつぶの正せいの固有値こゆうちを含ふくむなら、平衡点へいこうてんは不安定ふあんていである。

$A$ が正せいの実部じつぶをもつ固有値こゆうちを含ふくむなら、ほかに虚軸上きょじくじょうの固有値こゆうちがあっても不安定ふあんていと判定はんていできる。正せいの実部じつぶをもつ固有値こゆうちがなく、実部じつぶ 0 の固有値こゆうちを含ふくむ場合ばあいは、線型化せんけいかだけでは原則げんそくとして判定はんていできない。この境界例きょうかいれいでは剰余項じょうよこうが本質ほんしつになる。

本講義ほんこうぎでは定理ていりの厳密げんみつな証明しょうめいまでは扱あつかわない。適用範囲てきようはんいは、平衡点へいこうてんの局所的きょくしょてきな安定あんてい・不安定ふあんていの判定はんていである。

6具体例ぐたいれい 1：Jacobian を実際じっさいに計算けいさんする

\begin{cases} x'=x(1-x-y),\\ y'=y(2-x-y) \end{cases}\begin{cases} x'=x(1-x-y),\\ y'=y(2-x-y) \end{cases}

で平衡点へいこうてんを確認かくにんすると、 $(0, 0), (1, 0), (0, 2)$ が得えられる。右辺うへんを $F_{1} = x (1 - x - y), F_{2} = y (2 - x - y)$ とおくと、Jacobian は

J (x, y) = (\begin{matrix} 1 - 2 x - y & - x \\ - y & 2 - x - 2 y \end{matrix})

である。 $(1, 0)$ では

J (1, 0) = (\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

となり、固有値こゆうちは $- 1, 1$ である。正せいの固有値こゆうちを含ふくむため、 $(1, 0)$ は不安定ふあんていである。線型化せんけいかは、平衡点へいこうてんの近傍きんぼうで一方向いちほうこうには接近せっきんし、別方向べつほうこうには離脱りだつする構造こうぞうを抽出ちゅうしゅつしている。

7具体例ぐたいれい 2：線型化せんけいかだけで判定不能はんていふのうな場合ばあい

x^{'} = x^{2}

では $x = 0$ が平衡点へいこうてんである。Jacobian に相当そうとうする導関数どうかんすうは $2 x$ であり、 $x = 0$ では 0 となる。固有値こゆうちの実部じつぶが 0 であるため、線型化せんけいかは安定性あんていせいを判定はんていしない。

しかし $x (t) = x_{0} / (1 - x_{0} (t - t_{0}))$ なので、 $x_{0} > 0$ では有限時間ゆうげんじかんで発散はっさんし、 $x = 0$ は Lyapunov 不安定ふあんていである。一方いっぽう、 $x^{'} = - x^{3}$ も $x = 0$ で同おなじ線型化せんけいか $u^{'} = 0$ をもつが、 $x (t)$ の絶対値ぜったいちは単調たんちょうに減少げんしょうして 0 に収束しゅうそくするため、原点げんてんは局所漸近安定きょくしょぜんきんあんていである。同おなじ線型化せんけいかから逆ぎゃくの結論けつろんが生しょうじることが、境界例きょうかいれいで剰余項じょうよこうを調しらべる必要ひつようを示しめす。

8判定表はんていひょう

ここでは任意次元にんいじげんの非線型系ひせんけいけいに対たいする結論けつろんだけをまとめる。結節点けっせつてん・焦点しょうてん・鞍点あんてんという二次元にじげんの幾何分類きかぶんるいは次つぎの相平面そうへいめんの講義こうぎで扱あつかう。

Jacobian の固有値こゆうち	非線型平衡点ひせんけいへいこうてんの結論けつろん
実部じつぶがすべて負ふ	局所漸近安定きょくしょぜんきんあんてい
正せいの実部じつぶを 1 つでも含ふくむ	不安定ふあんてい
正せいの実部じつぶを含ふくまず、実部じつぶ 0 を含ふくむ	剰余項じょうよこうの解析かいせきが必要ひつよう

9適用範囲てきようはんいと限界げんかい

線型化せんけいかは平衡点へいこうてんの近傍きんぼうでの局所理論きょくしょりろんである。遠方えんぽうの挙動きょどう、周期軌道しゅうききどう、大域安定性たいいきあんていせいは別べつの解析かいせきを必要ひつようとする。

また、線型化せんけいかが有効ゆうこうであることは、非線型項ひせんけいこうを無視むししてよいことを無条件むじょうけんに意味いみしない。双曲型そうきょくがたでない平衡点へいこうてんでは、元もとの方程式ほうていしきや保存量ほぞんりょうを直接ちょくせつ解析かいせきする必要ひつようがある。

10前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/diagonalization-jordan-form-and-systems.lecture.n.md

11次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/phase-planes-and-stability.lecture.n.md

Linearization and Eigenvalue Stability

1Introduction

This lecture explains how to extract the first-order approximation of a nonlinear system near an equilibrium and use the eigenvalues of the resulting linear system to determine local stability.

2Standard Form

Consider

x^{'} = F (x) .

An equilibrium $x_{*}$ satisfies $F (x_{*}) = 0$ . Assume that $F$ is $C^{1}$ near the equilibrium. Local existence and uniqueness then hold, so the solution determined by an initial value is well defined.

3Definitions of Stability

Fix an initial time $t_{0}$ and write the solution as $x (t; t_{0}, x_{0})$ . For every initial value in the neighborhoods below, forward existence for all $t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] t_{0}$ is included in the definition.

The equilibrium $x_{*}$ is Lyapunov stable if, for every $ε > 0$ , there exists $δ > 0$ such that

∥ x_{0} - x_{*} ∥ < δ ⟹ ∥ x (t; t_{0}, x_{0}) - x_{*} ∥ < ε (t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] t_{0}) .

Thus, solutions starting sufficiently near the equilibrium remain near it; convergence is not required. The equilibrium is locally attractive if some $r > 0$ satisfies

∥ x_{0} - x_{*} ∥ < r ⟹ x (t; t_{0}, x_{0}) \to x_{*} (t \to \infty) .

An equilibrium that is both Lyapunov stable and locally attractive is locally asymptotically stable. It is unstable if it is not Lyapunov stable. It is globally asymptotically stable if it is Lyapunov stable, every solution exists forward for all initial values, and every solution converges to it.

For a linear system, Jordan blocks associated with eigenvalues on the imaginary axis determine whether solutions remain bounded. We now transfer the part of that criterion away from the spectral boundary to nonlinear equilibria.

4The Linear Approximation

Set $u = x - x_{*}$ . Taylor expansion gives

u^{'} = A u + r (u), A = D F (x_{*}), \frac{∥ r (u) ∥}{∥ u ∥} \to 0 (u \to 0) .

Here $D F (x_{*})$ is the Jacobian matrix. The $C^{1}$ assumption gives the displayed little-o remainder; an $O (∥ u ∥^{2})$ estimate requires stronger smoothness. The Jacobian does not make the entire nonlinear map linear. It extracts the linear map

u \mapsto D F (x_{*}) u

acting on increments at the fixed equilibrium.

data/lecture/math/multivariable-calculus/tangent-planes-chain-rule-and-jacobian.lecture.n.md

5Eigenvalue Criteria

5.1Complete Criterion for the Linear System

For the exact linear system $u^{'} = A u$ :

The origin is globally asymptotically stable if and only if every eigenvalue satisfies $Re λ < 0$ .
The origin is Lyapunov stable if and only if every eigenvalue satisfies $Re λ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ and every Jordan block belonging to an eigenvalue on the imaginary axis has size one.
The origin is unstable if an eigenvalue has positive real part or if an eigenvalue on the imaginary axis has a Jordan block of size at least two.

This is a complete statement about the linear system itself.

5.2Linearization Theorem for a Nonlinear System

Suppose that $F$ is $C^{1}$ near $x_{*}$ and that

A = D F (x_{*})

has no eigenvalue on the imaginary axis. Such an equilibrium is hyperbolichyperbolic. If all eigenvalues of $A$ have negative real part, then $x_{*}$ is locally asymptotically stable. If $A$ has an eigenvalue with positive real part, then $x_{*}$ is unstable.

The instability conclusion from a positive real part remains valid even when other eigenvalues lie on the imaginary axis. If no eigenvalue has positive real part but at least one has zero real part, linearization alone is generally inconclusive. Nonlinear remainder terms then become essential. This theorem concerns local behavior only and does not establish global stability.

6Example 1: Computing a Jacobian

For

\begin{cases} x'=x(1-x-y),\\ y'=y(2-x-y), \end{cases}\begin{cases} x'=x(1-x-y),\\ y'=y(2-x-y), \end{cases}

the equilibria are $(0, 0), (1, 0), (0, 2)$ , and

J (x, y) = (\begin{matrix} 1 - 2 x - y & - x \\ - y & 2 - x - 2 y \end{matrix}) .

At $(1, 0)$ ,

J (1, 0) = (\begin{matrix} - 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}),

whose eigenvalues are $- 1$ and $1$ . The positive eigenvalue proves that $(1, 0)$ is unstable. Locally, one direction approaches the equilibrium and another departs from it.

7Example 2: An Inconclusive Linearization

For $x^{'} = x^{2}$ , the equilibrium $x = 0$ has linearization $u^{'} = 0$ . Nevertheless,

x (t) = \frac{x_{0}}{1 - x_{0} (t - t_{0})},

so every $x_{0} > 0$ produces finite-time blow-up and the origin is Lyapunov unstable. By contrast, $x^{'} = - x^{3}$ has the same linearization, but $| x (t) |$ decreases to zero, so the origin is locally asymptotically stable. Equal boundary linearizations can therefore lead to opposite conclusions.

8Summary Table for Nonlinear Equilibria

Eigenvalues of the Jacobian	Conclusion for the nonlinear equilibrium
All real parts are negative	Locally asymptotically stable
At least one real part is positive	Unstable
No positive real part and at least one zero real part	Analyze nonlinear remainder terms

Node, saddle, focus, and center are two-dimensional geometric classifications treated in the next lecture.

9Scope

Linearization is local. Far-field behavior, periodic orbits, and global stability require additional analysis. At a nonhyperbolic equilibrium, the original equations, monotone quantities, or conserved quantities must be examined directly.

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