相平面そうへいめんと安定性あんていせい

date2026-07-16document_iddoc_efefa171f5e771f785078c00a5185d6ddescription相平面と安定性を、平衡点・線型化・固有値分類から二次元連立系の局所挙動を判定する方法として整理する。prerequisites対角化・Jordan 形と連立系 / 線型化と固有値判定の入口 / 固有値と固有ベクトルtype講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、二次元にじげんの連立系れんりつけいを相平面そうへいめんで表現ひょうげんし、平衡点へいこうてんの周囲しゅういの軌道きどうを固有値こゆうちで分類ぶんるいする。

相平面そうへいめんphase planeとは、時刻じこくではなく状態じょうたい $(x, y)$ を座標ざひょうにした平面へいめんである。一ひとつの解かい $(x (t), y (t))$ が描えがく像ぞうを、時間じかんの向むきをもつ軌道きどうorbitという。各点かくてんに速度そくど $F (x, y)$ を対応たいおうさせたベクトル場ばと、その軌道族きどうぞくをまとめたものが相図そうずphase portraitである。

2標準形ひょうじゅんけい

x^{'} = A x

または非線型系ひせんけいけい $x^{'} = F (x)$ を扱あつかう。非線型系ひせんけいけいでは、まず平衡点へいこうてんを求もとめ、その近傍きんぼうで Jacobian による線型化せんけいかを行おこなう。

3実二次元線型系じつにじげんせんけいけいの分類表ぶんるいひょう

この表ひょうは双曲型そうきょくがたと非零純虚共役対ひれいじゅんきょきょうやくついをまとめる。0 を固有値こゆうちにもつ場合ばあいは表外ひょうがいの境界例きょうかいれいであり、後あとで Jordan 構造こうぞうまで確認かくにんする。

以下いかの表ひょうは $x^{'} = A x$ という正確せいかくな線型系せんけいけいの分類ぶんるいである。結節点けっせつてんは固有方向こゆうほうこうに沿そって接近せっきんまたは離脱りだつする型かた、鞍点あんてんは接近方向せっきんほうこうと離脱方向りだつほうこうをともにもつ型かた、焦点しょうてんは回転かいてんしながら接近せっきんまたは離脱りだつする型かた、中心ちゅうしんは閉軌道へいきどうが平衡点へいこうてんを囲かこむ型かたである。

固有値こゆうち	型かた	安定性あんていせい
$λ_{1}, λ_{2} < 0$ の実数じっすう	安定結節点あんていけっせつてん	大域漸近安定たいいきぜんきんあんてい
$λ_{1}, λ_{2} > 0$ の実数じっすう	不安定結節点ふあんていけっせつてん	不安定ふあんてい
符号ふごうが異ことなる実数じっすう	鞍点あんてん	不安定ふあんてい
$α \pm i β, β \neq 0, α < 0$	安定焦点あんていしょうてん	大域漸近安定たいいきぜんきんあんてい
$α \pm i β, β \neq 0, α > 0$	不安定焦点ふあんていしょうてん	不安定ふあんてい
$\pm i β, β \neq 0$	中心ちゅうしん	Lyapunov 安定あんていだが非吸引的ひきゅういんてき

実固有値じつこゆうちが重複ちょうふくするときは、固有空間こゆうくうかんの次元じげん、すなわち Jordan ブロックを確認かくにんする。たとえば $- I$ と $(\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ はともに大域漸近安定たいいきぜんきんあんていだが、前者ぜんしゃはすべての方向ほうこうが固有方向こゆうほうこうであり、後者こうしゃの軌道きどうには $t e^{- t}$ が現あらわれる。実部じつぶが 0 から離はなれていれば Jordan 構造こうぞうは主おもに軌道形状きどうけいじょうを変化へんかさせるが、虚軸上きょじくじょうでは Jordan ブロックの大おおきさが Lyapunov 安定性あんていせいそのものも決定けっていする。

0 が固有値こゆうちなら $\ker A \neq {0}$ であり、原点げんてんは孤立こりつせず、 $\ker A$ 全体ぜんたいが平衡点集合へいこうてんしゅうごうをなす。さらに、0 に属ぞくする Jordan ブロックの大おおきさが 2 以上いじょうなら、 $t$ の多項式たこうしきとして増大ぞうだいする非有界方向ひゆうかいほうこうが現あらわれる。

4固有値こゆうちによる分類ぶんるいの根拠こんきょ

行列指数関数ぎょうれつしすうかんすうは、固有値こゆうちの実部じつぶにより指数成長しすうせいちょうまたは指数減衰しすうげんすいを生しょうじさせる。複素固有値ふくそこゆうちの虚部きょぶは回転成分かいてんせいぶんを生しょうじさせる。ただし軌道形状きどうけいじょうを図示ずしするには、固有方向こゆうほうこうと Jordan 構造こうぞうも必要ひつようである。

5判定手順はんていてじゅん

相平面そうへいめんでは、図示ずしを先行せんこうさせず、平衡点へいこうてんと線型化せんけいかを先さきに確認かくにんする。

$F (x) = 0$ を解とき、平衡点へいこうてんを求もとめる。
線型系せんけいけいなら係数行列けいすうぎょうれつ $A$ 、非線型系ひせんけいけいなら平衡点へいこうてんでの Jacobian 行列ぎょうれつJacobian matrix $D F$ を確認かくにんする。
固有値こゆうちの実部じつぶと虚部きょぶから安定性あんていせいを判定はんていし、実固有値じつこゆうちでは固有方向こゆうほうこうと Jordan 構造こうぞう、複素固有値ふくそこゆうちではベクトル場ばから回転方向かいてんほうこうを確認かくにんする。
矢印やじるしを時間じかんの向むきに付つけ、平衡点へいこうてんへ接近せっきんするか離脱りだつするかを定義ていぎと照合しょうごうする。
非線型系ひせんけいけいで正せいの実部じつぶがなく実部じつぶ 0 を含ふくむ場合ばあいは、線型化せんけいかだけで結論けつろんを確定かくていしない。線型系せんけいけいそのものなら Jordan 構造こうぞうまで解析かいせきして判定はんていする。

この順序じゅんじょを採用さいようする理由りゆうは、相平面そうへいめんの軌道きどうが局所的きょくしょてきには線型写像せんけいしゃぞうの作用さようで近似きんじされるためである。図示ずしは結論けつろんの代用だいようではなく、固有値判定こゆうちはんていを視覚化しかくかする補助ほじょである。

6具体例ぐたいれい 1：結節点けっせつてんと鞍点あんてん

x^{'} = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 2 \end{matrix}) x

では固有値こゆうちは $- 1, - 2$ であり、安定結節点あんていけっせつてんである。

x^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) x

では固有値こゆうちは $1, - 1$ であり、鞍点あんてんである。

鞍点あんてんでは、安定固有方向あんていこゆうほうこうに沿そって原点げんてんへ接近せっきんする解かいもある。しかし任意にんいの近傍きんぼうに、不安定固有方向ふあんていこゆうほうこうへ離脱りだつする初期値しょきちがあるので、平衡点へいこうてんは Lyapunov 不安定ふあんていである。

7具体例ぐたいれい 2：安定焦点あんていしょうてん

x^{'} = (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix}) x

では固有値こゆうちは $- 1 \pm 2 i$ である。実部じつぶが負ふであるため半径はんけいは指数的しすうてきに減衰げんすいし、虚部きょぶが非零ひれいであるため軌道きどうは回転かいてんする。点てん $(1, 0)$ における速度そくどは $(- 1, 2)$ であり、上向うわむきの成分せいぶんをもつため、軌道きどうは反時計回はんとけいまわりに回転かいてんする。したがって原点げんてんは反時計回はんとけいまわりの安定焦点あんていしょうてんである。

この例れいでは、固有値こゆうちの実部じつぶと虚部きょぶが別々べつべつの役割やくわりを担当たんとうする。実部じつぶは原点げんてんへ接近せっきんするかを決定けっていし、虚部きょぶは回転かいてんの有無うむを決定けっていする。ただし、回転方向かいてんほうこうは虚部きょぶの符号ふごうだけでは決定けっていできず、行列ぎょうれつまたはベクトル場ばから判定はんていする。

8具体例ぐたいれい 3：非線型系ひせんけいけいを線型化せんけいかする

\begin{cases} x'=x-x^2,\\ y'=-y \end{cases}\begin{cases} x'=x-x^2,\\ y'=-y \end{cases}

を考かんがえる。平衡点へいこうてんは $(0, 0)$ と $(1, 0)$ である。右辺うへんを $F (x, y) = (x - x^{2}, - y)$ とおくと、

D F (x, y) = (\begin{matrix} 1 - 2 x & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

である。 $(0, 0)$ の線型化せんけいかは固有値こゆうち $1, - 1$ をもつ鞍点あんてんなので、元もとの平衡点へいこうてんは不安定ふあんていである。 $(1, 0)$ の線型化せんけいかは固有値こゆうち $- 1, - 1$ をもつ安定結節点あんていけっせつてんなので、元もとの平衡点へいこうてんは局所漸近安定きょくしょぜんきんあんていである。

この例れいの要点ようてんは、非線型系ひせんけいけいを全域ぜんいきで線型系せんけいけいと同一視どういつしせず、各平衡点かくへいこうてんの近傍きんぼうごとに別々べつべつの線型近似せんけいきんじを構成こうせいする点てんにある。

9適用範囲てきようはんいと限界げんかい

非線型系ひせんけいけいでは、線型化せんけいかは平衡点近傍へいこうてんきんぼうの局所情報きょくしょじょうほうである。正せいの実部じつぶをもつ固有値こゆうちがなく、実部じつぶ 0 を含ふくむ場合ばあいは、線型化せんけいかだけでは判定はんていできない。中心型ちゅうしんがたに分類ぶんるいされる線型化せんけいかでも、非線型項ひせんけいこうにより安定あんていまたは不安定ふあんていになる場合ばあいがある。

一方いっぽう、線型系せんけいけいそのものでは虚軸上きょじくじょうの Jordan ブロックまで含ふくめて完全かんぜんに判定はんていできる。この二層にそうを混同こんどうしないことが相図そうずを適切てきせつに判読はんどくする要点ようてんである。

ここまで自律系じりつけいの状態空間じょうたいくうかんにおける軌道きどうを扱あつかった。次つぎの講義こうぎでは解析対象かいせきたいしょうを時間軸上じかんじくじょうの外力応答がいりょくおうとうへ移うつし、ステップ入力にゅうりょく・インパルス入力にゅうりょくをもつ線型方程式せんけいほうていしきを扱あつかう。これは相平面理論そうへいめんりろんの直接的ちょくせつてきな続編ぞくへんではなく、常微分方程式解析じょうびぶんほうていしきかいせきの別系列べつけいれつへの移行いこうである。

10演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/systems-and-stability.exercise.n.md

11前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/linearization-and-eigenvalue-stability.lecture.n.md

12次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/step-functions-delta-functions-and-convolution.lecture.n.md

Phase Planes and Stability

1Introduction

This lecture explains how to represent two-dimensional systems in the phase plane and classify trajectories near equilibria by eigenvalues and eigendirections.

The phase plane uses the state $(x, y)$ , rather than time, as its coordinates. The image traced by a solution $(x (t), y (t))$ , equipped with the direction of increasing time, is an orbit. The vector field that assigns the velocity $F (x, y)$ to each point, together with its family of orbits, is a phase portrait.

2Standard Form and Stability Terms

We study either

x^{'} = A x

or a nonlinear system $x^{'} = F (x)$ . For a nonlinear system, first find each equilibrium and then linearize with the Jacobian at that equilibrium.

An equilibrium is Lyapunov stable when every trajectory starting sufficiently near it remains near it. It is locally attractive when every trajectory in some neighborhood converges to it. Both properties together give local asymptotic stability. If these conditions and convergence hold for every initial value with global forward existence, the equilibrium is globally asymptotically stable.

3Classification of Real Two-Dimensional Linear Systems

The following table classifies the exact linear system $x^{'} = A x$ . A node approaches or departs along real eigendirections; a saddle has both approaching and departing directions; a focus rotates while approaching or departing; a center is surrounded by closed orbits.

Eigenvalues	Type	Stability
Real $λ_{1}, λ_{2} < 0$	Stable node	Globally asymptotically stable
Real $λ_{1}, λ_{2} > 0$	Unstable node	Unstable
Real eigenvalues of opposite signs	Saddle	Unstable
$α \pm i β$ , $β \neq 0$ , $α < 0$	Stable focus	Globally asymptotically stable
$α \pm i β$ , $β \neq 0$ , $α > 0$	Unstable focus	Unstable
$\pm i β$ , $β \neq 0$	Center	Lyapunov stable but not attractive

For repeated real eigenvalues, inspect the eigenspace dimension and hence the Jordan blocks. Both $- I$ and $(\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$ are globally asymptotically stable, but only the first has every direction as an eigendirection; the second contains a $t e^{- t}$ term. Away from the imaginary axis, Jordan structure changes orbit geometry without changing decay or growth. On the imaginary axis, block size also changes Lyapunov stability.

If zero is an eigenvalue, then $\ker A \neq {0}$ ; the origin is nonisolated, and all of $\ker A$ consists of equilibria. A Jordan block of size at least two for zero produces a direction with polynomial growth in $t$ . Thus zero-eigenvalue cases are degenerate boundary cases, not centers covered by the pure-imaginary row.

4Classification Procedure

Solve $F (x) = 0$ for the equilibria.
Use the coefficient matrix $A$ for a linear system or the Jacobian $D F$ at each equilibrium for a nonlinear system.
Determine stability from real parts. For real eigenvalues, inspect eigendirections and Jordan structure; for complex eigenvalues, determine rotation direction from the vector field.
Add arrows in the direction of increasing time and verify approach or departure against the definitions.
For a nonlinear system with no positive real part but with a zero real part, do not infer stability from linearization alone. For the exact linear system, Jordan structure gives the complete criterion.

5Example 1: Node and Saddle

For

x^{'} = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 2 \end{matrix}) x,

the eigenvalues are $- 1, - 2$ , so the origin is a stable node. For

x^{'} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) x,

the eigenvalues are $1, - 1$ , so the origin is a saddle. Although solutions on the stable eigendirection approach the origin, arbitrarily close initial values depart along the unstable direction; hence the saddle is Lyapunov unstable.

6Example 2: Stable Focus and Rotation Direction

For

x^{'} = (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix}) x,

the eigenvalues are $- 1 \pm 2 i$ . The negative real part gives exponential radial decay, and the nonzero imaginary part gives rotation. At $(1, 0)$ the velocity is $(- 1, 2)$ , whose upward component shows counterclockwise rotation. The origin is therefore a counterclockwise stable focus. In general the sign of the imaginary part alone does not determine orientation without reference to the matrix or vector field.

7Example 3: Nonlinear Linearization

For

\begin{cases}x'=x-x^2,\\y'=-y,\end{cases}\begin{cases}x'=x-x^2,\\y'=-y,\end{cases}

the equilibria are $(0, 0)$ and $(1, 0)$ , and

D F (x, y) = (\begin{matrix} 1 - 2 x & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

At $(0, 0)$ the eigenvalues are $1, - 1$ , so the nonlinear equilibrium is unstable. At $(1, 0)$ they are $- 1, - 1$ , so the nonlinear equilibrium is locally asymptotically stable. These are local conclusions obtained separately at each equilibrium; they do not make the nonlinear system globally linear.

8Scope

For nonlinear systems, linearization contains only local information. When no eigenvalue has positive real part and at least one has zero real part, nonlinear terms may create either stability or instability. A linearized center therefore need not imply a nonlinear center. For the exact linear system, by contrast, the eigenvalues together with the Jordan blocks on the imaginary axis provide a complete stability criterion.

Up to this point, we have studied trajectories of autonomous systems in state space. The next lecture shifts to forcing responses on the time axis and treats linear equations with step and impulse inputs. It begins a different strand of ordinary-differential-equation analysis rather than serving as a direct continuation of phase-plane theory.

9Previous Lecture

data/lecture/math/differential-equations/linearization-and-eigenvalue-stability.lecture.n.md

10Next Lecture

data/lecture/math/differential-equations/step-functions-delta-functions-and-convolution.lecture.n.md

11Exercises

data/exercise/math/differential-equations/systems-and-stability.exercise.n.md