ステップ関数かんすう・デルタ分布ぶんぷ・因果的畳いんがてきたたみ込こみ

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、有限ゆうげんな大おおきさの入力にゅうりょくが切きり替かわるステップ入力にゅうりょくと、有限ゆうげんの総量そうりょうを瞬間しゅんかんに与あたえるデルタ入力にゅうりょくの相違そういを説明せつめいする。前者ぜんしゃは一階方程式いっかいほうていしきの解かいを連続れんぞくに接続せつぞくし、後者こうしゃは解かいに跳躍ちょうやくを生しょうじさせる。因果的いんがてきな線型時不変系せんけいじふへんけいでは、その零状態応答れいじょうたいおうとうをインパルス応答おうとうとの畳たたみ込こみで表あらわせる。

2ステップとデルタの定義ていぎ

$$a>0$$a>0 とする。Heaviside 階段関数かいだんかんすう $$H(t-a)$$H(t-a) は

である。$$t=a$$t=a での値あたいは、通常つうじょうの積分せきぶんや以下いかの連続解れんぞくかいに影響えいきょうしない。

Dirac のデルタ $$\delta (t-a)$$\delta(t-a) は通常関数つうじょうかんすうではなく分布ぶんぷdistributionである。滑なめらかで、ある有限区間ゆうげんくかんの外そとでは 0 となる試験関数しけんかんすう $$\phi$$\varphi に

と作用さようすることで定義ていぎする。積分記号せきぶんきごうでは

と略記りゃっきする。とくに $$\phi =1$$\varphi=1 を $$a$$a の近ちかくで満みたす試験関数しけんかんすうを選えらべば、デルタの全質量ぜんしつりょうは 1 である。また、分布ぶんぷの意味いみで

が成立せいりつする。

3有限ゆうげんステップ入力にゅうりょくに対たいする解かいの連続性れんぞくせい

$$\lambda >0$$\lambda>0、$$a>0$$a>0 とし、

を考かんがえる。$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t<a$$0\le t<a では $$y=0$$y=0 である。$$a-\epsilon$$a-\varepsilon から $$a+\epsilon$$a+\varepsilon まで方程式ほうていしきを積分せきぶんすると

$$y$$y が局所的きょくしょてきに有界ゆうかいであるとして $$\epsilon \to 0$$\varepsilon\to0 とすれば、積分項せきぶんこうは 0 へ近ちかづき、

となる。したがって $$y\left(a\right)=0$$y(a)=0 を接続条件せつぞくじょうけんとして $$t>a$$t>a の方程式ほうていしきを解とけば

を得える。

4デルタ入力にゅうりょくは跳躍ちょうやくを生しょうじさせる

つぎに

を分布ぶんぷの意味いみで考かんがえる。$$a$$a の前後ぜんごで積分せきぶんし、$$\epsilon \to 0$$\varepsilon\to0 とすれば

を得える。$$a$$a より前まえでは $$y=0$$y=0 なので、

である。一階方程式いっかいほうていしきでは状態じょうたい $$y$$y が $$A$$A だけ跳躍ちょうやくする。二階方程式にかいほうていしき

については、$p\in C^1$p\in C^1、$q,r$q,r が $a$a の近傍きんぼうで連続れんぞく、$p\left(a\right)\ne 0$p(a)\ne0 とし、$y$y は $a$a の両側りょうがわで $C^2$C^2 級きゅうかつ $y,y^{\prime }$y,y' が有限ゆうげんな片側極限かたがわきょくげんをもつ区分的古典解くぶんてきこてんかいとする。$[y{]}_a=y(a+)-y(a-)$[y]_a=y(a+)-y(a-) と記しるすと、分布微分ぶんぷびぶんの特異部分とくいぶぶんは

である。$p\left(t\right){\delta }^{\prime }(t-a)=p\left(a\right){\delta }^{\prime }(t-a)-p^{\prime }\left(a\right)\delta (t-a)$p(t)\delta'(t-a)=p(a)\delta'(t-a)-p'(a)\delta(t-a) に注意ちゅういすると、方程式ほうていしきの ${\delta }^{\prime }$\delta' の係数けいすうは $p\left(a\right)[y{]}_a$p(a)[y]_a、$\delta$\delta の係数けいすうは $p\left(a\right)[y^{\prime }{]}_a+(q\left(a\right)-p^{\prime }\left(a\right)\left)\right[y{]}_a$p(a)[y']_a+(q(a)-p'(a))[y]_a である。まず ${\delta }^{\prime }$\delta' の係数比較けいすうひかくから $[y{]}_a=0$[y]_a=0 を得えて、つぎに $\delta$\delta の係数比較けいすうひかくから $p\left(a\right)[y^{\prime }{]}_a=A$p(a)[y']_a=A を得える。したがって $y$y は連続れんぞくであり、$y^{\prime }(a+)-y^{\prime }(a-)=A/p\left(a\right)$y'(a+)-y'(a-)=A/p(a) となる。この結論けつろんは、ここで明示めいじした区分的正則性くぶんてきせいそくせいと係数けいすうの仮定かていに依存いぞんする。

5因果的畳いんがてきたたみ込こみとラプラス変換へんかん

$$t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$t\ge0 で定義ていぎされた $$f,g$$f,g を $$t<0$$t<0 では 0 とみなす。片側かたがわの因果的畳いんがてきたたみ込こみcausal convolutionを

と定義ていぎする。$$f,g$$f,g が各有限区間かくゆうげんくかんで区分的連続くぶんてきれんぞくかつ指数位数しすういすうで、積分せきぶんが絶対収束ぜったいしゅうそくして積分順序せきぶんじゅんじょを交換こうかんできる共通収束半平面きょうつうしゅうそくはんへいめんでは、

が成立せいりつする。$$a>0$$a>0 に対たいする基本的きほんてきな変換対へんかんついは

である。前者ぜんしゃの収束域しゅうそくいきは $\mathrm{Re}s>0$\operatorname{Re}s>0 である。後者こうしゃはラプラス変換へんかんを分布ぶんぷへ拡張かくちょうした式しきであり、固定こていした $a>0$a>0 に対たいして $s$s の全複素平面ぜんふくそへいめんで定義ていぎされる。デルタは畳たたみ込こみの平行移動へいこういどうも表あらわし、因果的いんがてきな $$f$$f について

となる。

6零入力応答れいにゅうりょくおうとうと零状態応答れいじょうたいおうとうへの分解ぶんかい

線型時不変系せんけいじふへんけいlinear time-invariant system（LTI 系けい）とは、入力にゅうりょくの線型結合せんけいけつごうが出力しゅつりょくの同おなじ線型結合せんけいけつごうへ対応たいおうし、入出力写像にゅうしゅつりょくしゃぞうが時間推移じかんすいいと可換かかんである系けいをいう。さらに時刻じこく $$t$$t の出力しゅつりょくが未来みらいの入力にゅうりょくに依存いぞんしないとき因果的いんがてきcausalという。

$$y^{\prime }+\lambda y=f\left(t\right)$$y'+\lambda y=f(t) の因果的いんがてきなインパルス応答おうとうは

であり、分布ぶんぷの意味いみで $$h^{\prime }+\lambda h=\delta \left(t\right)$$h'+\lambda h=\delta(t) を満みたす。初期値しょきちが 0 の零状態応答れいじょうたいおうとうzero-state responseは

である。非零初期値ひれいしょきち $$y\left(0\right)=y_0$$y(0)=y_0 では、入力にゅうりょくを 0 とした零入力応答れいにゅうりょくおうとうzero-input responseを加くわえて

となる。したがって「一般入力いっぱんにゅうりょくへの応答おうとうは $$h*f$$h*f」という主張しゅちょうは、因果的いんがてき LTI 系けいの零状態応答れいじょうたいおうとうに限かぎる。

7単位たんいの契約けいやく

$$\left[t\right]=\mathrm{s}$$[t]=\mathrm s、$$\left[y\right]=\mathrm{Y}$$[y]=\mathrm Y と記しるす。$$y^{\prime }+\lambda y=f\left(t\right)$$y'+\lambda y=f(t) の各項かくこうを加算かさんするには

でなければならない。$$\left[\delta \right(t-a\left)\right]=s^{-1}$$[\delta(t-a)]=\mathrm{s^{-1}} なので、$$A\delta (t-a)$$A\delta(t-a) を右辺うへんへ置おくとき $$\left[A\right]=\mathrm{Y}$$[A]=\mathrm Y である。すなわち $$A$$A は

という時間積分じかんせきぶんされた入力強度にゅうりょくきょうどであり、$$y$$y の跳躍量ちょうやくりょうと同おなじ単位たんいを持もつ。

8成立範囲せいりつはんい

デルタを含ふくむ等式とうしきと微分びぶんは分布ぶんぷの意味いみで解釈かいしゃくする。畳たたみ込こみによる 1 個このインパルス応答おうとうの表示ひょうじは、線型性せんけいせい・時不変性じふへんせい・因果性いんがせいと零状態れいじょうたいの契約けいやくに依存いぞんする。非線型系ひせんけいけいや時変系じへんけいでは、この表示ひょうじは一般いっぱんに成立せいりつしない。

9演習えんしゅうと総合講義そうごうこうぎ

ラプラス変換へんかん・級数法きゅうすうほう・定性解析ていせいかいせき・数値解法すうちかいほうを含ふくむ ODE 全体ぜんたいの方法選択ほうほうせんたくは、次つぎの総合講義そうごうこうぎで確認かくにんする。

10関連かんれんリンク

Step Functions, Delta Distributions, and Causal Convolution

1Introduction

This lecture distinguishes a step input, whose finite amplitude switches at a specified time, from a delta input, which supplies a finite total amount instantaneously. A finite step joins a first-order solution continuously, whereas a delta input can produce a jump. For a causal linear time-invariant system, convolution with the impulse response represents the zero-state response.

2Definitions of the Step and Delta

Let $a>0$a>0. The Heaviside step function is

Its value at $t=a$t=a does not affect ordinary integrals or the continuous solutions below. The Dirac delta is a distribution defined by

for every smooth compactly supported test function $\phi$\varphi. The integral notation abbreviates this action. The delta has total mass one, and distributionally

3A Finite Step Does Not Make the Solution Jump

For $\lambda >0$\lambda>0, consider

For $0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t<a$0\le t<a, $y=0$y=0. Integrating across $a$a gives

If $y$y is locally bounded, the integral terms vanish as $\epsilon \to 0$\varepsilon\to0, so $y(a+)=y(a-)$y(a+)=y(a-). The matching condition yields

4A Delta Input Produces a Jump

For

distributional integration across $a$a gives $y(a+)-y(a-)=A$y(a+)-y(a-)=A and

More generally, consider

Assume that $p\in C^1$p\in C^1, that $q,r$q,r are continuous near $a$a, and that $p\left(a\right)\ne 0$p(a)\ne0. Let $y$y be a piecewise classical solution that is $C^2$C^2 on either side of $a$a and for which $y,y^{\prime }$y,y' have finite one-sided limits. With $[y{]}_a=y(a+)-y(a-)$[y]_a=y(a+)-y(a-), the singular part of its distributional second derivative is

Because $p\left(t\right){\delta }^{\prime }(t-a)=p\left(a\right){\delta }^{\prime }(t-a)-p^{\prime }\left(a\right)\delta (t-a)$p(t)\delta'(t-a)=p(a)\delta'(t-a)-p'(a)\delta(t-a), the ${\delta }^{\prime }$\delta' coefficient is $p\left(a\right)[y{]}_a$p(a)[y]_a, while the $\delta$\delta coefficient is $p\left(a\right)[y^{\prime }{]}_a+(q\left(a\right)-p^{\prime }\left(a\right)\left)\right[y{]}_a$p(a)[y']_a+(q(a)-p'(a))[y]_a. Comparing the ${\delta }^{\prime }$\delta' coefficients first gives $[y{]}_a=0$[y]_a=0; the subsequent $\delta$\delta comparison then gives $p\left(a\right)[y^{\prime }{]}_a=A$p(a)[y']_a=A. Hence $y$y is continuous and

This conclusion depends on the stated piecewise regularity and coefficient hypotheses.

5Causal Convolution and the Laplace Transform

Extend functions on $t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$t\ge0 by zero for $t<0$t<0. Define

If $f,g$f,g are piecewise continuous on finite intervals and of exponential order, then on a common right half-plane where absolute convergence justifies exchanging integrals,

For the unilateral transform and $a>0$a>0,

The first transform has region of convergence $\mathrm{Re}s>0$\operatorname{Re}s>0. The second uses the distributional extension and is defined on the entire complex $s$s-plane for fixed $a>0$a>0. Delta convolution implements the causal shift

6Decomposition into Zero-Input and Zero-State Responses

An LTI system preserves linear combinations and commutes with time shifts. It is causal if output at time $t$t does not depend on future input. For $y^{\prime }+\lambda y=f\left(t\right)$y'+\lambda y=f(t), the causal impulse response is $h\left(t\right)=H\left(t\right)e^{-\lambda t}$h(t)=H(t)e^{-\lambda t} and satisfies $h^{\prime }+\lambda h=\delta \left(t\right)$h'+\lambda h=\delta(t) distributionally. The zero-state response is

For $y\left(0\right)=y_0$y(0)=y_0, add the zero-input response:

Thus the statement that the response is $h*f$h*f applies to the zero-state response of a causal LTI system.

7Dimensional Contract

With $\left[t\right]=\mathrm{s}$[t]=\mathrm s and $\left[y\right]=\mathrm{Y}$[y]=\mathrm Y, consistency requires

Since $\left[\delta \right(t-a\left)\right]=s^{-1}$[\delta(t-a)]=\mathrm{s^{-1}}, $\left[A\right]=\mathrm{Y}$[A]=\mathrm Y in $A\delta (t-a)$A\delta(t-a). The coefficient is the time-integrated input strength

and has the same dimension as the jump in $y$y.

8Scope

Equations containing delta distributions are interpreted distributionally. Representation by one impulse response requires linearity, time invariance, causality, and the zero-state contract. It does not generally apply to nonlinear or time-varying systems.

9Exercise and Synthesis Lecture

The following synthesis lecture reviews method selection across Laplace transforms, series methods, qualitative analysis, and numerical methods.

10Related Lecture