片側ラプラス変換
mathanalysislaplacelecture
1定義と収束半平面
この講義では、片側ラプラス変換によって線形微分方程式の初期値を保持したまま、微分を s による代数演算へ変換する方法を説明する。
s=\sigma+i\omega\in\mathbb C とする。f:[0,\infty)\to\mathbb C の片側ラプラス変換は、積分が収束する s に対して
F(s)=\mathcal L\{f\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt
で定義される。f が各有限区間で区分的連続であり、ある M>0、a\in\mathbb R、T\ge0 に対して
|f(t)|\le Me^{at}\qquad(t\ge T)
を満たすとき、f は指数位数 a であるという。この場合、\operatorname{Re}s>a で積分は絶対収束する。変換を式だけでなく、収束する s の集合である収束領域（ROC）と組み合わせて扱う。片側変換の ROC は通常右半平面であるが、\operatorname{Re}s>a は上記の仮定が保証する範囲であり、実際の ROC はさらに広い場合がある。
2微分則と初期値
f が各有限区間で絶対連続であり、f と f' が共通の右半平面でラプラス変換をもつとする。部分積分と無限遠の境界項の消失により
\mathcal L\{f'\}(s)=sF(s)-f(0+)
が成立する。ここで f(0+) は右極限である。さらに必要な導関数が同じ条件を満たすなら
\mathcal L\{f^{(n)}\}(s)
=s^nF(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0+)
となる。したがって、微分則は微分を単に s の乗算へ置換する規則ではなく、初期値を境界項として保持する規則である。
初期値問題
f'(t)+f(t)=0,\qquad f(0)=1
を変換すると (s+1)F(s)=1、したがって F(s)=1/(s+1) を得る。一方、直接積分により
\mathcal L\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1},\qquad \operatorname{Re}s>-1
であるため、一意性定理から f(t)=e^{-t} である。
3一意性と逆変換
区分的連続かつ指数位数の関数のラプラス変換が共通の右半平面で一致すれば、元の関数はすべての連続点で一致する。この意味で逆ラプラス変換 \mathcal L^{-1} は一意に定まる。実際の計算では既知の変換対、部分分数分解、移動則、畳み込みを利用する。
一意性はフーリエ変換へ帰着できる。共通半平面の \sigma を固定し、e^{-\sigma t}(f(t)-g(t)) を t<0 で 0 と定義すると、この L^1 関数のフーリエ変換はすべての \omega で 0 となる。フーリエ変換の一意性から f=g がほとんどいたるところで成立し、区分的連続性により連続点で一致する。
F が適切な解析性と増大条件を満たし、縦線 \operatorname{Re}s=\gamma がすべての特異点より右側かつ ROC 内にある場合、ブロムウィッチ積分
f(t)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{R\to\infty}
\int_{\gamma-iR}^{\gamma+iR}e^{st}F(s)\,ds
によって連続点で逆変換を表せる。公式の適用には積分の収束条件が必要であり、任意の複素関数に形式的に適用できるわけではない。
4フーリエ変換との関係
s=\sigma+i\omega とすると、\mathcal L\{f\}(\sigma+i\omega) は t<0 で 0 とした減衰信号 e^{-\sigma t}f(t) のフーリエ変換である。\sigma を十分大きく選ぶことで指数成長を抑制できる。\sigma=0 でフーリエ変換と同一視できるのは、虚軸が ROC に含まれ、フーリエ積分が収束する場合に限る。
5極、収束領域、制御への接続
1/(s+1) は s=-1 に極をもち、t\ge0 で定義した e^{-t} の ROC は \operatorname{Re}s>-1 である。片側変換では時間領域を t\ge0 に固定するため、前節の関数クラスでは変換から元の関数が一意に定まる。ROC は収束域および解析域として変換式に併記するが、時間方向を選別する独立の情報ではない。同じ有理式に異なる ROC を指定して因果信号と反因果信号を区別する議論は、t<0 も扱う両側ラプラス変換に属する。
零初期値の線形時不変系では、入力 U(s) と出力 Y(s) の比 G(s)=Y(s)/U(s) を伝達関数という。微分方程式を代数方程式へ変換し、極から応答と安定性を分析する制御工学の方法は、このラプラス変換に基づく。非零初期値は微分則の境界項として別に現れるため、伝達関数だけでは初期状態応答を表さない。
変換契約
- 変換式を ROC と組み合わせて扱う。
- 微分則は関数と導関数の変換が存在する共通半平面で適用する。
- 逆変換には既知の変換対と一意性定理、または仮定を満たす逆変換公式を使用する。
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Unilateral Laplace Transform
1Definition and Region of Convergence
This lecture explains how the unilateral Laplace transform converts differentiation into algebraic operations in s while retaining the initial values of a linear differential equation.
Let s=\sigma+i\omega\in\mathbb C. The unilateral Laplace transform of f:[0,\infty)\to\mathbb C is
F(s)=\mathcal L\{f\}(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt
for those s at which the integral converges. Suppose that f is piecewise continuous on every finite interval and that, for some M>0, a\in\mathbb R, and T\ge0,
|f(t)|\le Me^{at}\qquad(t\ge T).
Then f is said to be of exponential order a, and the transform converges absolutely for \operatorname{Re}s>a. A transform must be specified together with its region of convergence (ROC), the set of s at which it converges. For a unilateral transform the ROC is normally a right half-plane. The inequality \operatorname{Re}s>a is the range guaranteed by the stated hypothesis; the actual ROC may be larger.
2Differentiation Rule and Initial Values
Assume that f is absolutely continuous on every finite interval and that f and f' have Laplace transforms on a common right half-plane. Integration by parts, together with the vanishing boundary term at infinity, gives
\mathcal L\{f'\}(s)=sF(s)-f(0+),
where f(0+) is the right-hand limit. If the required higher derivatives satisfy the same conditions, then
\mathcal L\{f^{(n)}\}(s)
=s^nF(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{n-1-k}f^{(k)}(0+).
Thus the differentiation rule does not merely replace differentiation by multiplication by s; it retains initial values as boundary terms.
Transforming the initial-value problem
f'(t)+f(t)=0,\qquad f(0)=1
gives (s+1)F(s)=1 and hence F(s)=1/(s+1). Direct integration also gives
\mathcal L\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1},\qquad \operatorname{Re}s>-1.
The uniqueness theorem therefore yields f(t)=e^{-t}.
3Uniqueness and Inversion
If two piecewise-continuous functions of exponential order have the same Laplace transform on a common right half-plane, then they agree at every point where both are continuous. In this sense the inverse Laplace transform \mathcal L^{-1} is unique. Computations normally use transform pairs, partial fractions, shift rules, and convolution.
Uniqueness can be reduced to uniqueness of the Fourier transform. Fix \sigma in the common half-plane and extend e^{-\sigma t}(f(t)-g(t)) by zero for t<0. The Fourier transform of this L^1 function vanishes for every \omega. Fourier uniqueness gives f=g almost everywhere, and piecewise continuity then gives equality at continuity points.
If F satisfies suitable analyticity and growth conditions and the vertical line \operatorname{Re}s=\gamma lies inside the ROC and to the right of every singularity, the Bromwich integral
f(t)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{R\to\infty}
\int_{\gamma-iR}^{\gamma+iR}e^{st}F(s)\,ds
represents the inverse transform at continuity points. Its use requires convergence hypotheses; it cannot be applied formally to an arbitrary complex function.
4Relation to the Fourier Transform
With s=\sigma+i\omega, the value \mathcal L\{f\}(\sigma+i\omega) is the Fourier transform of the damped signal e^{-\sigma t}f(t) extended by zero for t<0. Choosing sufficiently large \sigma suppresses exponential growth. Identification with the Fourier transform on \sigma=0 is valid only when the imaginary axis belongs to the ROC and the Fourier integral converges.
5Poles, the ROC, and Control
The function 1/(s+1) has a pole at s=-1, and the ROC of e^{-t} defined for t\ge0 is \operatorname{Re}s>-1. Because the unilateral transform fixes the time domain to t\ge0, the transform uniquely determines a function within the class stated above. The ROC accompanies the transform expression as its convergence and analyticity domain, but it is not independent information that selects a time direction. Using different ROCs for the same rational expression to distinguish causal and anticausal signals belongs to the bilateral Laplace transform, which also treats t<0.
For a zero-initial-state linear time-invariant system, the ratio G(s)=Y(s)/U(s) of output to input is the transfer function. Control engineering uses the Laplace transform to convert differential equations into algebraic equations and to analyze response and stability through poles. Nonzero initial values appear separately as boundary terms in the differentiation rule, so a transfer function alone does not describe the initial-state response.
Transform contract
- Treat a transform expression together with its ROC.
- Apply the differentiation rule on a common half-plane where the transforms of the function and its derivatives exist.
- Invert by using known transform pairs and uniqueness, or an inversion formula whose hypotheses have been verified.
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