常微分方程式じょうびぶんほうていしきへの橋渡はしわたし

date2026-07-14document_iddoc_ee4bc942c1d1f4c6589ed50a41179142description微積分から常微分方程式へ進むために、未知関数、初期値問題、解の存在と一意性、基本的な解法分類を整理する。prerequisites微分法の基本 / 積分法の基本 / 関数と導関数type講義content_typelecturestatusactive

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1微積分びせきぶんから未知関数みちかんすうの決定けっていへ

この講義こうぎでは、導関数どうかんすうを含ふくむ関係式かんけいしきから未知関数みちかんすうを決定けっていする常微分方程式じょうびぶんほうていしきの基本概念きほんがいねんを説明せつめいする。独立変数どくりつへんすうが 1 個こである微分方程式びぶんほうていしきを常微分方程式じょうびぶんほうていしき（ODE）という。最高階さいこうかいの導関数どうかんすうの階数かいすうを方程式ほうていしきの階数かいすうという。

たとえば $y^{'} = 2 x$ の一般解いっぱんかいは

y = x^{2} + C

である。任意定数にんいていすう $C$ は、微分びぶんによって失うしなわれた情報じょうほうを表あらわす。 $y (x_{0}) = y_{0}$ のように 1 点てんで値あたいを指定していする条件じょうけんを初期条件しょきじょうけんといい、方程式ほうていしきと初期条件しょきじょうけんを組くみ合あわせた問題もんだいを初期値問題しょきちもんだいという。この例れいでは $C = y_{0} - x_{0^{2}}$ と一意いちいに決きまる。

2方程式ほうていしきの形かたちと解法かいほう

$y^{'} = x y$ は $y \neq 0$ の区間くかんで

\frac{d y}{y} = x d x

と分離ぶんりできるため、変数分離形へんすうぶんりけいである。積分せきぶんにより $y = C e^{x^{2} / 2}$ を得える。 $C = 0$ も元もとの方程式ほうていしきを満みたすため、除算じょざんで失うしなわれた零解れいかいを別途べっと確認かくにんする必要ひつようがある。

$y^{'}' + y = 0$ は二階線形同次方程式にかいせんけいどうじほうていしきであり、一般解いっぱんかいは

y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x

である。二階方程式にかいほうていしきの特定とくていの解かいを決定けっていするには、通常つうじょう $y (x_{0})$ と $y^{'} (x_{0})$ の 2 個この初期値しょきちが必要ひつようである。方程式ほうていしきの階数かいすう、線形性せんけいせい、同次性どうじせい、係数けいすうの性質せいしつを識別しきべつしてから解法かいほうを選択せんたくする。

3解かいの存在そんざいと一意性いちいせい

初期値問題しょきちもんだい

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

では、式しきを記述きじゅつできることだけでは解かいの存在そんざいも一意性いちいせいも保証ほしょうされない。Peano の存在定理そんざいていりPeano existence theoremによれば、 $(x_{0}, y_{0})$ の近傍きんぼうで $f$ が連続れんぞくなら、少すくなくとも 1 個この局所解きょくしょかいが存在そんざいする。さらにPicard--Lindelöf の一意性定理いちいせいていりPicard--Lindelöf uniqueness theoremによれば、 $f$ が $y$ について局所きょくしょリプシッツ連続れんぞくなら、その局所解きょくしょかいは一意いちいである。これらは局所的きょくしょてきな結論けつろんであり、有限時間ゆうげんじかんでの発散はっさんを排除はいじょしない。

たとえば $y^{'} = \sqrt{| y |}$ 、 $y (0) = 0$ では右辺うへんは連続れんぞくだが $y = 0$ の近傍きんぼうで $y$ に関かんして局所きょくしょリプシッツ連続れんぞくではない。零解れいかい $y \equiv 0$ に加くわえ、任意にんいの $c [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ に対たいして

y_c(x)=\begin{cases} 0,&x\le c,\\ (x-c)^2/4,&x\ge c \end{cases}y_c(x)=\begin{cases} 0,&x\le c,\\ (x-c)^2/4,&x\ge c \end{cases}

も初期値問題しょきちもんだいを満みたす。接続点せつぞくてん $x = c$ では左右さゆうの関数値かんすうちと導関数どうかんすうがともに 0 であるため、 $y_{c}$ は $C^{1}$ 級きゅうであり、方程式ほうていしきも成立せいりつする。したがって解かいは一意いちいではない。計算けいさんした候補こうほを方程式ほうていしきと初期条件しょきじょうけんへ代入だいにゅうするだけでなく、適用てきようした定理ていりの仮定かていも確認かくにんする。

4次つぎの学習がくしゅう

data/lecture/math/differential-equations/introduction-to-differential-equations.lecture.n.md data/lecture/math/differential-equations/initial-and-boundary-value-problems.lecture.n.md data/lecture/math/differential-equations/classifying-first-order-odes.lecture.n.md data/lecture/math/differential-equations/second-order-linear-constant-coefficient-odes.lecture.n.md data/lecture/math/analysis/introduction-to-laplace-transform.lecture.n.md data/exercise/math/calculus/advanced-calculus-applications.exercise.n.md

Bridge to Ordinary Differential Equations

1From Calculus to Determining an Unknown Function

This lecture introduces an ordinary differential equation as a relation containing derivatives from which an unknown function is to be determined. A differential equation with one independent variable is an ordinary differential equation (ODE). Its order is the order of its highest derivative.

For example, the general solution of $y^{'} = 2 x$ is

y = x^{2} + C .

The arbitrary constant $C$ represents information lost by differentiation. A condition such as $y (x_{0}) = y_{0}$ , which specifies a value at one point, is an initial condition. A differential equation together with initial conditions is an initial-value problem. Here the condition uniquely determines $C = y_{0} - x_{0^{2}}$ .

2Equation Form and Method Selection

On an interval where $y \neq 0$ , the equation $y^{'} = x y$ can be separated as

\frac{d y}{y} = x d x .

Integration gives $y = C e^{x^{2} / 2}$ . Because $C = 0$ also satisfies the original equation, the zero solution lost during division must be checked separately.

The equation $y^{'}' + y = 0$ is a second-order linear homogeneous equation, with general solution

y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x .

Determining a particular solution of a second-order equation normally requires two initial values, such as $y (x_{0})$ and $y^{'} (x_{0})$ . A method should be selected only after identifying the order, linearity, homogeneity, and coefficient properties of the equation.

3Existence and Uniqueness

For the initial-value problem

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0},

merely writing the equation guarantees neither existence nor uniqueness. By the Peano existence theoremPeano existence theorem, if $f$ is continuous near $(x_{0}, y_{0})$ , at least one local solution exists. By the Picard--Lindelöf uniqueness theoremPicard--Lindelöf uniqueness theorem, if $f$ is also locally Lipschitz continuous with respect to $y$ , that local solution is unique. These are local conclusions and do not exclude finite-time blow-up.

For example, in $y^{'} = \sqrt{| y |}$ with $y (0) = 0$ , the right-hand side is continuous but is not locally Lipschitz in $y$ near zero. Besides the zero solution $y \equiv 0$ , every $c [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ gives a solution

y_c(x)=\begin{cases} 0,&x\le c,\\ (x-c)^2/4,&x\ge c. \end{cases}y_c(x)=\begin{cases} 0,&x\le c,\\ (x-c)^2/4,&x\ge c. \end{cases}

At $x = c$ , the function values and derivatives from both sides are zero, so $y_{c}$ is $C^{1}$ and satisfies the equation at the joining point. The solution is therefore not unique. Consequently, one must both substitute a candidate into the equation and initial conditions and verify the hypotheses of every theorem invoked.