微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationとは何なにか

date2026-07-16document_iddoc_5eae2b535e5988ec3ae9956ee5a98a94description微分方程式を、未知の数ではなく未知関数を求める方程式として導入し、解・条件・階数・線型性・常微分と偏微分の違いを整理する。prerequisites微分法の基本 / 積分法の基本 / 導関数の定義と差商type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、微分方程式びぶんほうていしきdifferential equationが「未知数みちすう」ではなく未知関数みちかんすうunknown functionを未知みちとし、その関数かんすうと導関数どうかんすうとの関係かんけいを規定きていする方程式ほうていしきであることを説明せつめいする。

代数方程式だいすうほうていしき $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ では、未知みちなのは数かず $x$ である。一方いっぽう、

y^{'} = k y

では、 $k$ を定数ていすうとすると、未知みちなのは関数かんすう $y (x)$ である。この式しきは「関数かんすうの変化率へんかりつ $y^{'}$ が、その点てんでの値あたい $y$ に比例ひれいする」という変化へんかの法則ほうそくを表あらわす。微分方程式びぶんほうていしきを学まなぶ最初さいしょの目的もくてきは、式しきの形式けいしきから、表現ひょうげんされる変化へんかと適用可能てきようかのうな解法かいほうを判断はんだんすることである。

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2用語ようごと定義ていぎ

独立変数どくりつへんすうindependent variableとは、入力にゅうりょくとして自由じゆうに動うごかす変数へんすうである。多おおくの常微分方程式じょうびぶんほうていしきでは $x$ または $t$ を用もちいる。 $t$ は時間じかんを表あらわす場合ばあいが多おおい。

未知関数みちかんすうunknown functionとは、方程式ほうていしきを満みたすように決定けっていしたい関数かんすうである。たとえば $y = y (x)$ や $x = x (t)$ が未知関数みちかんすうである。

導関数どうかんすうderivative $y^{'}$ は、独立変数どくりつへんすうが少すこし変化へんかしたときに、未知関数みちかんすうがどれだけ変化へんかするかを表あらわす。微分方程式びぶんほうていしきに $y^{'}$ や $y^{'}'$ が入はいるということは、関数かんすうの値あたい、変化率へんかりつ、変化率へんかりつの変化へんかの間あいだに成立せいりつする関係かんけいを方程式ほうていしきとして課かしているということである。

解かいsolutionとは、指定していされた区間くかんで必要ひつような回数かいすうだけ微分可能びぶんかのうであり、方程式ほうていしきへ代入だいにゅうすると恒等的こうとうてきに成立せいりつする関数かんすうである。

たとえば $y^{'} = k y$ に対たいして $y = C e^{k x}$ を代入だいにゅうすると、

y^{'} = C k e^{k x} = k C e^{k x} = k y

である。したがって $y = C e^{k x}$ は $y^{'} = k y$ の解かいである。

3解とくとは何なにをすることか

微分方程式びぶんほうていしきを解とくとは、指定していされた区間くかん、条件じょうけん、および解かいの概念がいねんのもとで、その解集合かいしゅうごうを決定けっていすることである。初等的しょとうてきな標準例ひょうじゅんれいでは、まず条件じょうけんを含ふくまない関数族かんすうぞくを求もとめ、つぎに条件じょうけんによって候補こうほを限定げんていする。ただし、条件じょうけんの独立性どくりつせいや整合性せいごうせいによっては、解かいが存在そんざいしない場合ばあいや複数ふくすうの解かいが残のこる場合ばあいもある。

一般解いっぱんかいgeneral solutionとは、任意定数にんいていすうを含ふくむ解かいの族ぞくである。 $y^{'} = k y$ の一般解いっぱんかいは

y = C e^{k x}

である。

特殊解とくしゅかいparticular solutionとは、方程式ほうていしきを実際じっさいに満みたす具体的ぐたいてきな 1 本ほんの解かいである。この講義群こうぎぐんでは、この用語ようごに統一とういつする。

特殊解とくしゅかいを得える方法ほうほうは 1 つではない。一般解いっぱんかいが先さきに分わかっているなら、任意定数にんいていすうに値あたいを入いれて 1 本ほんを選えらべる。たとえば $y = C e^{k x}$ で $C = 2$ とすれば $y = 2 e^{k x}$ である。非同次方程式ひどうじほうていしきでは、一般解いっぱんかいを作つくる前まえに、まず 1 本ほんの特殊解とくしゅかい $y_{p}$ を構成こうせいすることもある。

特異解とくいかいsingular solutionは、特殊解とくしゅかいとは別べつの用語ようごであり、微分方程式びぶんほうていしきを満みたすが、一般解いっぱんかいの任意定数にんいていすうを選択せんたくしても得えられない解かいを指さす。非線型方程式ひせんけいほうていしきにおいて一般解族いっぱんかいぞくの包絡線ほうらくせんとして現あらわれる場合ばあいが代表的だいひょうてきである。これは線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきの基本枠組きほんわくぐみとは別べつに扱あつかう。

data/lecture/math/differential-equations/singular-solutions-and-envelopes.lecture.n.md

初期条件しょきじょうけんinitial conditionとは、ある基準点きじゅんてんで関数かんすうの値あたいや導関数どうかんすうの値あたいを指定していする条件じょうけんである。たとえば

y^{'} = k y, y (0) = y_{0}

なら、一般解いっぱんかい $y = C e^{k x}$ に $x = 0$ を代入だいにゅうして $C = y_{0}$ を得える。したがって

y = y_{0} e^{k x}

が初期条件しょきじょうけんを満みたす解かいである。

境界条件きょうかいじょうけんboundary conditionとは、区間くかんの端点たんてんや領域りょういきの境界きょうかいで、関数かんすう、導関数どうかんすう、またはそれらの線型結合せんけいけつごうなどのデータを指定していする条件じょうけんである。初期条件しょきじょうけんは基準点きじゅんてんに状態じょうたいを指定していし、境界条件きょうかいじょうけんは定義域ていぎいきの境界きょうかいにおいて解かいを拘束こうそくする。

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4階数かいすうとは何なにか

階数かいすうorderとは、方程式ほうていしきに現あらわれる未知関数みちかんすうの導関数どうかんすうのうち、最高さいこうの階かいを表あらわす。

y^{'} = k y

は $y^{'}$ までしか含ふくまないので 1 階かいである。

m y^{'}' + c y^{'} + k y = 0

は $y^{'}'$ を含ふくむので 2 階かいである。一般いっぱんに、 $y^{(n)}$ まで含ふくむ方程式ほうていしきを $n$ 階かいの微分方程式びぶんほうていしきという。

階数かいすうが重要じゅうような理由りゆうは、必要ひつような条件じょうけんの数かずに関係かんけいするからである。たとえば 2 階かいの運動方程式うんどうほうていしきでは、位置いちと速度そくどの 2 つの初期値しょきちが必要ひつようになることが多おおい。ただし、これは典型的てんけいてきな対応たいおうであり、条件じょうけんの独立性どくりつせいと整合性せいごうせいを別途べっと確認かくにんする必要ひつようがある。

5線型せんけいlinearと非線型ひせんけいnonlinearの違ちがい

線型微分方程式せんけいびぶんほうていしきlinear differential equationとは、未知関数みちかんすうとその導関数どうかんすうが 1 次じで現あらわれ、互たがいに乗算じょうざんされず、その係数けいすうが独立変数どくりつへんすうのみに依存いぞんする微分方程式びぶんほうていしきである。

たとえば

y^{'} + p (x) y = q (x)

や

a y^{'}' + b y^{'} + c y = f (x)

は線型せんけいである。一方いっぽう、

y^{'} = y^{2}, y^{'}' + \sin y = 0, y y^{'} = x

は非線型ひせんけいである。

線型せんけいが重要じゅうような理由りゆうは、同次方程式どうじほうていしきの解かいを足たしても解かいになるという重かさね合あわせの原理げんりsuperposition principleが成立せいりつするからである。これは後あとで二階線型にかいせんけいや非同次方程式ひどうじほうていしきを扱あつかうときの中心ちゅうしんになる。

6常微分方程式じょうびぶんほうていしきordinary differential equationと偏微分方程式へんびぶんほうていしきpartial differential equation

常微分方程式じょうびぶんほうていしきordinary differential equation、すなわち ODE は、未知関数みちかんすうが 1 つの独立変数どくりつへんすうに依存いぞんする場合ばあいの微分方程式びぶんほうていしきである。たとえば $y = y (t)$ として

y^{'} = k y

を考かんがえる場合ばあいである。

偏微分方程式へんびぶんほうていしきpartial differential equation、すなわち PDE は、未知関数みちかんすうが 2 つ以上いじょうの独立変数どくりつへんすうに依存いぞんし、その偏導関数へんどうかんすうを含ふくむ微分方程式びぶんほうていしきである。たとえば温度おんど $u (t, x)$ が時間じかん $t$ と位置いち $x$ に依存いぞんする場合ばあい、時間微分じかんびぶんと空間微分くうかんびぶんが同時どうじに現あらわれる。

この講義群こうぎぐんでは、まず ODE を中心ちゅうしんに扱あつかう。PDE は空間分布くうかんぶんぷが本質ほんしつになる段階だんかいで別べつに扱あつかう。

7微分方程式びぶんほうていしきを読よむ手順てじゅん

初学者しょがくしゃが最初さいしょに固定こていすべき手順てじゅんは、問題分析もんだいぶんせき、方針ほうしん、実行じっこう、検算けんざん、一般化いっぱんかである。

問題分析もんだいぶんせきでは、未知関数みちかんすう、独立変数どくりつへんすう、階数かいすう、条件じょうけんを確認かくにんする。
方針ほうしんでは、式しきの形かたちから直接積分ちょくせつせきぶん、変数分離へんすうぶんり、一階線型いっかいせんけいなどの候補こうほを選えらぶ。
実行じっこうでは、選えらんだ方法ほうほうの条件じょうけんを確認かくにんしながら計算けいさんする。
検算けんざんでは、得えた関数かんすうを元もとの微分方程式びぶんほうていしきと条件じょうけんへ代入だいにゅうする。
一般化いっぱんかでは、その解法かいほうがどの型かたまで有効ゆうこうかを確認かくにんする。

この順序じゅんじょにすると、解法名かいほうめいを先さきに暗記あんきするのではなく、方程式ほうていしきの形かたちから道具どうぐを選択せんたくできる。

8最小例さいしょうれい： $y^{'} = k y$

最後さいごに、入口いりぐちとして $y^{'} = k y$ を確認かくにんする。この式しきは「変化率へんかりつが現在量げんざいりょうに比例ひれいする」法則ほうそくである。

$k > 0$ なら増加ぞうかが増加ぞうかを呼よぶため、指数増加しすうぞうかが現あらわれる。 $k < 0$ なら量りょうが大おおきいほど減少げんしょうも大おおきく、指数減衰しすうげんすいが現あらわれる。

計算けいさんとしては、 $y \neq 0$ の範囲はんいで

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = k

と整理せいりし、

\log | y | = k x + C

を得える。したがって

y = C e^{k x}

である。 $y = 0$ も定数解ていすうかいであり、 $C = 0$ として同おなじ形かたちに含ふくめる。

この例れいは、方程式ほうていしきの形式けいしきを分析ぶんせきし、解法かいほうを選択せんたくし、得えた関数かんすうを代入だいにゅうして検算けんざんするという基本手順きほんてじゅんを示しめしている。

9次つぎに参照さんしょうするページ

data/lecture/math/differential-equations/initial-and-boundary-value-problems.lecture.n.md data/lecture/math/differential-equations/classifying-first-order-odes.lecture.n.md

10演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/introduction-to-odes-and-direct-integration.exercise.n.md

What Is a Differential Equation?

1Introduction

This lecture explains that a differential equation has a function rather than a number as its unknown and imposes a relation between that function and its derivatives.

In the algebraic equation $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ , the unknown $x$ is a number. By contrast, in

y^{'} = k y,

with constant $k$ , the unknown is the function $y (x)$ . The equation states a law of change: the rate of change $y^{'}$ is proportional to the value $y$ at that point. The first objective in studying differential equations is to identify both the change represented by an equation and an applicable solution method from the equation's form.

data/lecture/math/calculus/introduction-to-differential-equations.lecture.n.md

2Terms and Definitions

An independent variable is a variable that can vary freely as an input. Ordinary differential equations commonly use $x$ or $t$ ; the latter often represents time.

An unknown function is a function to be determined so that it satisfies the equation. Examples include $y = y (x)$ and $x = x (t)$ .

The derivative $y^{'}$ describes how the unknown function changes when the independent variable changes. The occurrence of $y^{'}$ or $y^{'}'$ in a differential equation imposes a relation among a function's value, its rate of change, and the rate of change of that rate.

A solution is a function that is differentiable as many times as required on the specified interval and satisfies the equation identically when substituted into it.

For example, substituting $y = C e^{k x}$ into $y^{'} = k y$ gives

y^{'} = C k e^{k x} = k C e^{k x} = k y .

Thus, $y = C e^{k x}$ is a solution of $y^{'} = k y$ .

3What Does It Mean to Solve a Differential Equation?

To solve a differential equation is to determine its solution set on a specified interval, subject to prescribed conditions and a chosen notion of solution. In elementary standard examples, one first determines a family of functions without imposed conditions and then uses the conditions to restrict the candidates. Depending on the independence and compatibility of the conditions, there may be no solution, a unique solution, or multiple solutions.

A general solution is a family of solutions containing arbitrary constants. The general solution of $y^{'} = k y$ is

y = C e^{k x} .

A particular solution is one specific solution that satisfies the differential equation. This lecture series uses this terminology consistently.

There is more than one way to obtain a particular solution. If the general solution is known, assigning values to its arbitrary constants selects one member; for example, $C = 2$ gives $y = 2 e^{k x}$ . For a nonhomogeneous equation, one may instead construct a particular solution $y_{p}$ before forming the general solution.

A singular solution is distinct from a particular solution: it satisfies the differential equation but cannot be obtained by choosing the arbitrary constants in the general solution. A representative mechanism in nonlinear equations is the occurrence of such a solution as the envelope of a family of general solutions. Singular solutions are treated separately from the basic framework of linear operator equations.

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An initial condition specifies the value of a function or its derivatives at a reference point. For

y^{'} = k y, y (0) = y_{0},

substituting $x = 0$ into $y = C e^{k x}$ yields $C = y_{0}$ . Therefore,

y = y_{0} e^{k x}

is the solution satisfying the initial condition.

A boundary condition specifies data involving the function, its derivatives, or their linear combinations at the endpoints of an interval or on the boundary of a domain. An initial condition specifies the state at a reference point, whereas a boundary condition constrains the solution on the boundary of its domain.

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4Order of a Differential Equation

The order of a differential equation is the highest derivative of the unknown function that occurs in the equation.

The equation

y^{'} = k y

is first order because it contains no derivative higher than $y^{'}$ . The equation

m y^{'}' + c y^{'} + k y = 0

is second order because it contains $y^{'}'$ . In general, an equation containing derivatives through $y^{(n)}$ is an $n$ th-order differential equation.

Order matters because it is related to the number of conditions needed to determine a solution. For example, a second-order equation of motion often requires two initial values, position and velocity. This is a typical pattern rather than a guarantee: the independence and compatibility of the conditions must also be established.

5Linear and Nonlinear Equations

A linear differential equation is one in which the unknown function and its derivatives occur to the first power, are not multiplied by one another, and have coefficients that depend only on the independent variables.

For example,

y^{'} + p (x) y = q (x)

and

a y^{'}' + b y^{'} + c y = f (x)

are linear, whereas

y^{'} = y^{2}, y^{'}' + \sin y = 0, y y^{'} = x

are nonlinear.

Linearity matters because solutions of the associated homogeneous equation satisfy the superposition principle: linear combinations of solutions are again solutions. This principle underlies the later treatment of second-order linear and nonhomogeneous equations.

6Ordinary and Partial Differential Equations

An ordinary differential equation (ODE) has an unknown function of one independent variable. For example, if $y = y (t)$ , then

y^{'} = k y

is an ODE.

A partial differential equation (PDE) has an unknown function of two or more independent variables and contains partial derivatives. For example, if a temperature $u (t, x)$ depends on time $t$ and position $x$ , its governing equation may contain both time and spatial derivatives.

This lecture sequence focuses first on ODEs. PDEs are treated separately when spatial dependence and boundary geometry become essential.

7A Procedure for Analyzing Differential Equations

A useful initial procedure consists of problem analysis, method selection, execution, verification, and generalization.

In problem analysis, identify the unknown function, independent variables, order, and prescribed conditions.
In method selection, use the equation's form to identify candidates such as direct integration, separation of variables, or a first-order linear method.
In execution, verify the hypotheses of the selected method while carrying out the calculation.
In verification, substitute the resulting function into both the original equation and the prescribed conditions.
In generalization, determine the class of equations for which the method remains valid.

This order of analysis supports method selection from mathematical structure instead of memorization of method names.

8Minimal Example: $y^{'} = k y$

Consider $y^{'} = k y$ as an introductory example. It states that the rate of change is proportional to the current amount.

If $k > 0$ , the solutions exhibit exponential growth; if $k < 0$ , they exhibit exponential decay.

On an interval where $y \neq 0$ , rewrite the equation as

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = k

and integrate to obtain

\log | y | = k x + C .

Hence,

y = C e^{k x} .

The constant solution $y = 0$ is included by taking $C = 0$ . This example illustrates the basic procedure: analyze the equation's form, select a method, and verify the resulting function by substitution.

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