微分積分びぶんせきぶんの応用おうようと発展はってん―標準演習ひょうじゅんえんしゅう

1演習方針えんしゅうほうしん

問題もんだい1から3は一変数微積分いちへんすうびせきぶんの応用おうよう、問題もんだい4は多変数微積分たへんすうびせきぶん、問題もんだい5は微分方程式びぶんほうていしきを対象たいしょうとする。各問かくもんで、使用しようする定理ていりまたは計算法けいさんほうと、その適用条件てきようじょうけんを明示めいじすること。

2問題もんだい 1

$f\left(x\right)=x^3-3x$f(x)=x^3-3x の増減区間ぞうげんくかんと極値きょくちを決定けっていせよ。

2.1解答例かいとうれい

$f$f は実数全体じっすうぜんたいで微分可能びぶんかのうであり、

である。臨界点りんかいてんは $x=-1,1$x=-1,1 である。$f^{\prime }$f' は $(-\mathrm{\infty },-1)$(-\infty,-1) と $(1,\mathrm{\infty })$(1,\infty) で正せい、$(-1,1)$(-1,1) で負ふである。したがって、$f$f は $(-\mathrm{\infty },-1)$(-\infty,-1) と $(1,\mathrm{\infty })$(1,\infty) で増加ぞうかし、$(-1,1)$(-1,1) で減少げんしょうする。また、

であり、$x=-1$x=-1 で極大値きょくだいち $2$2、$x=1$x=1 で極小値きょくしょうち $-2$-2 を取とる。

2.2解説かいせつ

$f^{\prime }\left(x\right)=0$f'(x)=0 という条件じょうけんだけでは極値きょくちを保証ほしょうしない。各臨界点かくりんかいてんの前後ぜんごで導関数どうかんすうの符号ふごうが変化へんかすることを確認かくにんする。

3問題もんだい 2

速度そくど $v\left(t\right)=t-1$v(t)=t-1 で $0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}3$0\le t\le3 を運動うんどうする質点しつてんの変位へんいと移動距離いどうきょりを計算けいさんせよ。

3.1解答例かいとうれい

$v$v は $[0,3]$[0,3] 上じょうで連続れんぞくである。変位へんいは

である。移動距離いどうきょりでは速度そくどの絶対値ぜったいちを積分せきぶんする。$v$v は $t=1$t=1 で符号ふごうを変かえるため、

となる。

3.2解説かいせつ

変位へんいは向むきを保持ほじする符号付ふごうつき累積量るいせきりょうであり、移動距離いどうきょりは速はやさ $\left|v\right|$|v| の累積量るいせきりょうである。速度そくどの符号ふごうが変化へんかする点てんで区間くかんを分割ぶんかつする。

4問題もんだい 3

$f\left(x\right)=x^2$f(x)=x^2 の $[0,2]$[0,2] 上じょうの平均値へいきんちを計算けいさんせよ。

4.1解答例かいとうれい

$f$f は $[0,2]$[0,2] 上じょうで連続れんぞくであり、区間長くかんちょうは $2>0$2>0 である。平均値へいきんちの定義ていぎにより、

となる。

4.2解説かいせつ

定積分ていせきぶんは区間上くかんじょうの総量そうりょうである。平均値へいきんちを得えるには、その総量そうりょうを区間長くかんちょうで除じょする。

5問題もんだい 4

$f(x,y)=x^{2}y+\sin y$f(x,y)=x^2y+\sin y の偏導関数へんどうかんすう $f_x,f_y$f_x,f_y を計算けいさんせよ。また、

を計算けいさんせよ。

5.1解答例かいとうれい

$f$f は全平面ぜんへいめんで連続微分可能れんぞくびぶんかのうである。$f_x$f_x では $y$y を、$f_y$f_y では $x$x を定数ていすうとして扱あつかうため、

である。ここで、反復積分はんぷくせきぶん ${\int }_0^1{\int }_0^{2}xydxdy$\int_0^1\int_0^2xy\,dx\,dy は、$y$y を固定こていして $x$x について積分せきぶんした後あと、その結果けっかを $y$y について積分せきぶんする操作そうさを表あらわす。$xy$xy は長方形領域ちょうほうけいりょういき $[0,2]\times [0,1]$[0,2]\times[0,1] 上じょうで連続れんぞくであるため、この逐次計算ちくじけいさんは同領域上どうりょういきじょうの二重積分にじゅうせきぶんと一致いっちする。

となる。

5.2解説かいせつ

偏微分へんびぶんは他方たほうの変数へんすうを固定こていして一方向いちほうこうの局所変化きょくしょへんかを測定そくていする。重積分じゅうせきぶんは領域りょういきの局所的きょくしょてきな寄与きよを累積るいせきする。

6問題もんだい 5

実数区間じっすうくかん $I$I 上じょうの $C^1$C^1 関数かんすうで、微分方程式びぶんほうていしき

を満みたすものをすべて求もとめよ。$y=0$y=0 の場合ばあいも確認かくにんすること。

6.1解答例かいとうれい

$y$y を $I$I 上じょうの任意にんいの解かいとする。積分因子せきぶんいんし $e^{-x^2/2}$e^{-x^2/2} を使用しようすると、

である。$I$I は区間くかんであるため、導関数どうかんすうが 0 の関数かんすうは $I$I 上じょうで定数ていすうである。したがって、ある $A\in \mathbb{R}$A\in\mathbb{R} が存在そんざいして、

と表あらわせる。逆ぎゃくに、この形かたちの関数かんすうは

を満みたす。$A=0$A=0 が零解れいかいに対応たいおうするため、これですべての解かいを分類ぶんるいできた。

6.2解説かいせつ

積分因子せきぶんいんしによる方法ほうほうでは $y$y で除じょしないため、零解れいかいを失うしなわずに全解ぜんかいを直接分類ちょくせつぶんるいできる。変数分離へんすうぶんりで $y$y による除法じょほうを使用しようする場合ばあいは、零解れいかいを別途べっと確認かくにんする必要ひつようがある。

7関連講義かんれんこうぎ

Applications and Extensions of Calculus — Standard Exercises

1Exercise Objectives

Problems 1–3 concern applications of single-variable calculus, Problem 4 concerns multivariable calculus, and Problem 5 concerns differential equations. For each problem, identify the theorem or method used and state its conditions of application.

2Problem 1

Determine the intervals of increase and decrease and the local extrema of $f\left(x\right)=x^3-3x$f(x)=x^3-3x.

2.1Sample Solution

The function $f$f is differentiable on all of $\mathbb{R}$\mathbb{R}, and

The critical points are $x=-1$x=-1 and $x=1$x=1. The derivative is positive on $(-\mathrm{\infty },-1)$(-\infty,-1) and $(1,\mathrm{\infty })$(1,\infty) and negative on $(-1,1)$(-1,1). Hence $f$f increases on $(-\mathrm{\infty },-1)$(-\infty,-1) and $(1,\mathrm{\infty })$(1,\infty) and decreases on $(-1,1)$(-1,1). Moreover,

Thus $f$f has a local maximum value $2$2 at $x=-1$x=-1 and a local minimum value $-2$-2 at $x=1$x=1.

2.2Explanation

The equation $f^{\prime }\left(x\right)=0$f'(x)=0 alone does not guarantee an extremum. Check that the sign of the derivative changes across each critical point.

3Problem 2

A particle moves with velocity $v\left(t\right)=t-1$v(t)=t-1 for $0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}3$0\le t\le3. Find its displacement and distance traveled.

3.1Sample Solution

The function $v$v is continuous on $[0,3]$[0,3]. The displacement is

Distance traveled is the integral of speed. Since $v$v changes sign at $t=1$t=1,

3.2Explanation

Displacement is a signed accumulation that retains direction, whereas distance traveled accumulates the speed $\left|v\right|$|v|. Split the interval wherever velocity changes sign.

4Problem 3

Find the average value of $f\left(x\right)=x^2$f(x)=x^2 on $[0,2]$[0,2].

4.1Sample Solution

The function $f$f is continuous on $[0,2]$[0,2], and the interval has positive length. By the definition of average value,

4.2Explanation

A definite integral is the total accumulation over an interval. Divide that total by the interval length to obtain the average value.

5Problem 4

For $f(x,y)=x^{2}y+\sin y$f(x,y)=x^2y+\sin y, compute the partial derivatives $f_x$f_x and $f_y$f_y. Also evaluate

5.1Sample Solution

The function $f$f is continuously differentiable on the entire plane. Treat $y$y as a constant when calculating $f_x$f_x and $x$x as a constant when calculating $f_y$f_y. Thus,

The iterated integral ${\int }_0^1{\int }_0^{2}xydxdy$\int_0^1\int_0^2xy\,dx\,dy means that one first integrates with respect to $x$x while holding $y$y fixed and then integrates the result with respect to $y$y. Because $xy$xy is continuous on the rectangle $[0,2]\times [0,1]$[0,2]\times[0,1], this successive computation agrees with the double integral over that rectangle:

5.2Explanation

A partial derivative fixes the other variable and measures local change in one coordinate direction. A multiple integral accumulates local contributions over a region.

6Problem 5

Let $I$I be a real interval. Find all $C^1$C^1 functions on $I$I satisfying

Include the case $y=0$y=0.

6.1Sample Solution

Let $y$y be any solution on $I$I. Using the integrating factor $e^{-x^2/2}$e^{-x^2/2} gives

Because $I$I is an interval, a function with zero derivative is constant on $I$I. Hence there is some $A\in \mathbb{R}$A\in\mathbb{R} such that

Conversely, every function of this form satisfies

The value $A=0$A=0 gives the zero solution, so this classifies all solutions.

6.2Explanation

The integrating-factor method does not divide by $y$y, so it classifies all solutions without losing the zero solution. If separation of variables is used instead, division by $y$y requires a separate check of the zero solution.

7Related Lectures