多重積分と変数変換
mathmultivariable-calculusmultiple-integralsfubinichange-of-variableslecture
1導入
この講義では、平面領域や空間領域に分布する量の総和を多重積分として定式化する。まず長方形領域の二重積分を反復積分で計算できる条件を説明し、その後に一般領域と変数変換へ拡張する。
一変数の定積分が区間を小区間に分割して寄与を総和する極限であるのと同様に、二重積分は平面領域を小長方形に分割して寄与を総和する極限である。この構成により、面積、体積、質量などを同一の形式で記述できる。
2長方形領域上の二重積分
R=[a,b]\times[c,d] とし、f:R\to\mathbb R を有界関数とする。R を小長方形 R_{ij} に分割し、各 R_{ij} から点 (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*}) を選ぶ。二重Riemann和は
\sum_{i,j} f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\,\Delta A_{ij}
である。分割の最大幅を 0 に近づけたとき、この和が点の選択に依存せず極限 I を持つなら、f は R 上でRiemann可積分であるといい、
\iint_R f(x,y)\,dA=I
と定義する。特に、f が閉長方形 R 上で連続なら、f は R 上でRiemann可積分である。
3反復積分と Fubini の定理
反復積分
\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy
では、まず y を固定して x について積分し、その結果を y の関数として積分する。積分順序を逆にした
\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx
も同様に定義する。
3.1定理：連続関数に対する Fubini の定理
f が閉長方形 R=[a,b]\times[c,d] 上で連続なら、両方の反復積分が存在し、
\iint_R f(x,y)\,dA
=\int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy
=\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx
が成立する。したがって、連続性を確認した後であれば、計算しやすい積分順序を選択できる。
この定理の証明は、二重Riemann和を一方向ごとのRiemann和に整理し、連続関数の一様連続性によって近似誤差を制御することで得られる。本講義では定理を計算へ適用するが、関数が非有界である場合や領域が無限に広がる場合には、この連続関数版を直接適用できないことに注意する。
3.2具体例 1：長方形上の反復積分
R=[0,2]\times[0,1]、f(x,y)=xy とする。f は R 上で連続であるため、Fubiniの定理により
\begin{aligned}
\iint_R xy\,dA
&=\int_0^1\int_0^2xy\,dx\,dy\\
&=\int_0^1\left[\frac{x^2y}{2}\right]_0^2dy\\
&=\int_0^1 2y\,dy=1
\end{aligned}\begin{aligned}
\iint_R xy\,dA
&=\int_0^1\int_0^2xy\,dx\,dy\\
&=\int_0^1\left[\frac{x^2y}{2}\right]_0^2dy\\
&=\int_0^1 2y\,dy=1
\end{aligned}
となる。
4一般領域上の二重積分
\alpha,\beta\in C([c,d]) かつ \alpha(y)\le\beta(y) とし、x を先に積分する形で
D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\ \alpha(y)\le x\le\beta(y)\}
と記述できる領域を考える。f が D 上で連続なら、
\iint_D f(x,y)\,dA
=\int_c^d\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x,y)\,dx\,dy
と計算できる。積分順序を交換する場合は、同じ領域 D を
D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ \gamma(x)\le y\le\delta(x)\}
と記述し直す必要がある。積分記号だけを機械的に交換してはならない。
4.1具体例 2：三角形領域
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le x\} とし、f は D 上で連続とする。この領域は 0\le y\le1、y\le x\le1 とも記述できる。したがって、
\int_0^1\int_0^x f(x,y)\,dy\,dx
=\int_0^1\int_y^1 f(x,y)\,dx\,dy
である。順序交換では、領域の不等式を先に再構成することが本質である。
5変数変換と Jacobian 行列式
T:S\to D を
T(u,v)=(x(u,v),y(u,v))
とする。Jacobian 行列とその行列式は
J_T(u,v)=
\begin{pmatrix}
x_u & x_v\\
y_u & y_v
\end{pmatrix},
\qquad
\det J_T=x_uy_v-x_vy_u
である。\lvert\det J_T\rvert は、uv 平面の微小長方形が xy 平面へ写されるときの局所的な面積倍率を表す。
ここで、閉包 \overline S とは領域 S にその境界を加えた集合である。この講義では、有界Jordan領域を、有界で境界の面積が0である領域として扱う。同相写像とは、連続な全単射で、その逆写像も連続である写像である。C^1 級の微分同相写像とは、写像とその逆写像がともに C^1 級である同相写像である。
5.1定理：二重積分の変数変換公式
S,D を有界Jordan領域とし、T:\overline S\to\overline D は閉包の間の同相写像で、その内部への制限が C^1 級の微分同相写像であるとする。さらに、S の内部で \det J_T\ne0 とし、f は \overline D 上で連続とする。このとき、
\iint_D f(x,y)\,dx\,dy
=\iint_S f(T(u,v))\,\lvert\det J_T(u,v)\rvert\,du\,dv
が成立する。絶対値は、座標変換が向きを反転しても面積が負にならないようにする。
実際の応用では、極座標のように境界の一点または曲線上で一対一性や \det J_T\ne0 が失われる場合がある。有限個の点や区分的に滑らかな曲線は面積への寄与を持たないため、そのような境界部分を除いた内側の領域へ公式を適用し、領域を境界へ近づける極限を取る。
6極座標
極座標変換
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta
のJacobian行列式は
\det
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{pmatrix}
=r
である。r\ge0 では \lvert\det J_T\rvert=r だから、面積要素は
dA=r\,dr\,d\theta
となる。
6.1具体例 3：円板の面積
半径1の円板 D では、0\le r\le1、0\le\theta\le2\pi である。したがって、
\iint_D1\,dA
=\int_0^{2\pi}\int_0^1r\,dr\,d\theta
=\int_0^{2\pi}\frac12\,d\theta
=\pi
となる。Jacobian因子 r を省略すると、元の領域の面積を保存できない。
7三重積分への拡張
三重積分
\iiint_E f(x,y,z)\,dV
も、空間領域を小直方体に分割したRiemann和の極限として定義する。閉直方体上の連続関数には三変数版のFubiniの定理を適用でき、反復積分として計算できる。三次元の変数変換では、面積倍率の代わりに体積倍率 \lvert\det J_T\rvert を使用する。
8計算手順
- 積分領域を不等式または図で明示する。
- 被積分関数と領域が、使用する定理の仮定を満たすことを確認する。
- 直交座標のまま積分するか、変数変換を使用するかを決定する。
- 変数変換を使用する場合は、新しい領域と \lvert\det J_T\rvert の両方を計算する。
- 結果の符号、次元、既知の面積または体積との整合を確認する。
9注意
- 積分順序を交換するときは、同じ領域を新しい順序に対応する不等式で記述し直す。
- 変数だけを置換して、Jacobian行列式の絶対値を省略してはならない。
- 変数変換公式を使用する前に、写像の一対一性とJacobian行列式が0にならない範囲を確認する。
- 連続関数版のFubiniの定理を、非有界関数や非有界領域へ無条件に拡張してはならない。
10関連講義
data/lecture/math/calculus/partial-derivatives-and-multiple-integrals.lecture.n.md
data/lecture/math/multivariable-calculus/parametrized-curves-and-surfaces.lecture.n.md
Multiple Integrals and Change of Variables
data/lecture/math/calculus/integral-definition-riemann-sums-and-signed-area.lecture.n.md
data/lecture/math/multivariable-calculus/tangent-planes-chain-rule-and-jacobian.lecture.n.md
1Introduction
This lecture formulates the total amount of a quantity distributed over a planar or spatial region as a multiple integral. We first explain when a double integral over a rectangle can be evaluated as an iterated integral, and then extend the method to general regions and changes of variables.
Just as a single-variable definite integral is a limit of sums over small subintervals, a double integral is a limit of sums over small rectangles. This construction describes area, volume, mass, and other accumulated quantities within a common framework.
2Double Integrals over Rectangles
Let R=[a,b]\times[c,d] and let f:R\to\mathbb R be bounded. Partition R into small rectangles R_{ij} and choose a point (x_{ij}^{*},y_{ij}^{*}) in each R_{ij}. The double Riemann sum is
\sum_{i,j} f(x_{ij}^{*},y_{ij}^{*})\,\Delta A_{ij}.
If these sums converge to a limit I, independently of the choice of sample points, as the maximum width of the partition tends to 0, then f is Riemann integrable on R, and we define
\iint_R f(x,y)\,dA=I.
In particular, every continuous function on a closed rectangle R is Riemann integrable on R.
3Iterated Integrals and Fubini's Theorem
In the iterated integral
\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\,dx\right)dy,
one first holds y fixed and integrates with respect to x, and then integrates the resulting function of y. The reversed order
\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\,dy\right)dx
is defined analogously.
3.1Theorem: Fubini's Theorem for Continuous Functions
If f is continuous on the closed rectangle R=[a,b]\times[c,d], then both iterated integrals exist and
\iint_R f(x,y)\,dA
=\int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy
=\int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx.
Thus, after verifying continuity, one may choose the more convenient order of integration.
The theorem can be proved by reorganizing the double Riemann sums as Riemann sums in one variable at a time and controlling the approximation error through uniform continuity. This lecture applies the theorem computationally. Its continuous-function form does not apply directly to an unbounded function or an unbounded region.
3.2Example 1: An Iterated Integral over a Rectangle
Let R=[0,2]\times[0,1] and f(x,y)=xy. Since f is continuous on R, Fubini's theorem gives
\begin{aligned}
\iint_R xy\,dA
&=\int_0^1\int_0^2xy\,dx\,dy\\
&=\int_0^1\left[\frac{x^2y}{2}\right]_0^2dy\\
&=\int_0^1 2y\,dy=1.
\end{aligned}\begin{aligned}
\iint_R xy\,dA
&=\int_0^1\int_0^2xy\,dx\,dy\\
&=\int_0^1\left[\frac{x^2y}{2}\right]_0^2dy\\
&=\int_0^1 2y\,dy=1.
\end{aligned}
4Double Integrals over General Regions
Let \alpha,\beta\in C([c,d]) with \alpha(y)\le\beta(y). Suppose a region can be described, with x integrated first, as
D=\{(x,y)\mid c\le y\le d,\ \alpha(y)\le x\le\beta(y)\}.
If f is continuous on D, then
\iint_D f(x,y)\,dA
=\int_c^d\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x,y)\,dx\,dy.
To reverse the order, one must redescribe the same region as
D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ \gamma(x)\le y\le\delta(x)\}.
The integral signs and bounds cannot be exchanged mechanically.
4.1Example 2: A Triangular Region
Let D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le x\}, and suppose that f is continuous on D. The same region can be described by 0\le y\le1 and y\le x\le1. Hence
\int_0^1\int_0^x f(x,y)\,dy\,dx
=\int_0^1\int_y^1 f(x,y)\,dx\,dy.
Reversing the order requires reconstructing the inequalities that define the region.
5Change of Variables and the Jacobian Determinant
Let T:S\to D be given by
T(u,v)=(x(u,v),y(u,v)).
Its Jacobian matrix and Jacobian determinant are
J_T(u,v)=
\begin{pmatrix}
x_u & x_v\\
y_u & y_v
\end{pmatrix},
\qquad
\det J_T=x_uy_v-x_vy_u.
The quantity \lvert\det J_T\rvert is the local area-scaling factor when a small rectangle in the uv-plane is mapped to the xy-plane.
Here the closure \overline S is the set obtained by adjoining the boundary of S to the region. In this lecture, a bounded Jordan region means a bounded region whose boundary has area zero. A homeomorphism is a continuous bijection with a continuous inverse. A C^1 diffeomorphism is a homeomorphism for which both the map and its inverse are of class C^1.
5.1Theorem: Change of Variables for Double Integrals
Let S and D be bounded Jordan regions. Suppose T:\overline S\to\overline D is a homeomorphism between their closures and its restriction to the interiors is a C^1 diffeomorphism. Assume also that \det J_T\ne0 in the interior of S and that f is continuous on \overline D. Then
\iint_D f(x,y)\,dx\,dy
=\iint_S f(T(u,v))\,\lvert\det J_T(u,v)\rvert\,du\,dv.
The absolute value ensures that an orientation-reversing coordinate transformation does not produce negative area.
In applications such as polar coordinates, one-to-one behavior or the condition \det J_T\ne0 may fail at a boundary point or along a boundary curve. A finite set of points or a piecewise smooth curve contributes no area. One therefore applies the formula on interior subregions that exclude such boundary pieces and takes a limit as those subregions approach the boundary.
6Polar Coordinates
For the polar coordinate transformation
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
the Jacobian determinant is
\det
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{pmatrix}
=r.
Since r\ge0, we have \lvert\det J_T\rvert=r, so the area element is
dA=r\,dr\,d\theta.
6.1Example 3: Area of a Disk
For the disk D of radius 1, the new bounds are 0\le r\le1 and 0\le\theta\le2\pi. Therefore,
\iint_D1\,dA
=\int_0^{2\pi}\int_0^1r\,dr\,d\theta
=\int_0^{2\pi}\frac12\,d\theta
=\pi.
Omitting the Jacobian factor r fails to preserve the area of the original region.
7Extension to Triple Integrals
The triple integral
\iiint_E f(x,y,z)\,dV
is likewise defined as a limit of Riemann sums over small rectangular boxes. The three-variable version of Fubini's theorem applies to continuous functions on closed rectangular boxes and permits evaluation by iterated integration. In a three-dimensional change of variables, the volume-scaling factor \lvert\det J_T\rvert replaces the area-scaling factor.
8Computational Procedure
- Describe the region explicitly by inequalities or a diagram.
- Verify that the integrand and region satisfy the hypotheses of the theorem being used.
- Decide whether to retain Cartesian coordinates or use a change of variables.
- If variables are changed, compute both the transformed region and \lvert\det J_T\rvert.
- Check the sign, physical dimension, and consistency with a known area or volume.
9Cautions
- When reversing the order of integration, redescribe the same region with inequalities appropriate to the new order.
- Do not substitute the variables while omitting the absolute value of the Jacobian determinant.
- Before using the change-of-variables theorem, determine where the map is one-to-one and where its Jacobian determinant is nonzero.
- Do not extend the continuous-function form of Fubini's theorem unconditionally to unbounded functions or unbounded regions.
10Related Lectures
data/lecture/math/calculus/partial-derivatives-and-multiple-integrals.lecture.n.md
data/lecture/math/multivariable-calculus/parametrized-curves-and-surfaces.lecture.n.md