曲線きょくせん・曲面きょくめんのパラメータ表示ひょうじ

date2026-07-15document_iddoc_d1778feb062a3b745cc75ee5f576b970description正則曲線と正則曲面パッチ、再パラメータ化、向き、弧長、面積要素を体系的に導入する講義である。prerequisites多変数関数と偏微分 / 接平面・連鎖律・Jacobian / 多重積分と変数変換type講義content_typelecturestatusactive

mathmultivariable-calculusparameterizationregular-curvesurface-patchlecture

data/lecture/math/multivariable-calculus/tangent-planes-chain-rule-and-jacobian.lecture.n.md data/lecture/math/multivariable-calculus/multiple-integrals-and-change-of-variables.lecture.n.md

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、曲線きょくせんと曲面きょくめんを媒介変数ばいかいへんすうによって記述きじゅつし、接方向せつほうこう、向むき、弧長こちょう、面積要素めんせきようそを定義ていぎする。これらは後続こうぞくの線積分せんせきぶんと面積分めんせきぶんで、幾何学的対象きかがくてきたいしょうを一変数いちへんすうまたは二変数にへんすうの積分せきぶんへ変換へんかんするための基礎きそである。

同おなじ曲線きょくせんまたは曲面きょくめんは複数ふくすうのパラメータ表示ひょうじを持もつ。したがって、表示式ひょうじしきだけでなく、どの幾何学的量きかがくてきりょうが再さいパラメータ化かで不変ふへんであり、どの量りょうが向むきに依存いぞんするかを区別くべつする必要ひつようがある。

2正則曲線せいそくきょくせん

$I = [a, b]$ とし、

r : I \to R^{n}, r (t) = (r_{1} (t), \dots, r_{n} (t))

を $C^{1}$ 級きゅうの写像しゃぞうとする。 $C^{1}$ 級きゅうとは、各成分かくせいぶんが連続微分可能れんぞくびぶんかのうであることを意味いみする。 $r (I)$ をパラメータ表示ひょうじされた曲線きょくせんと呼よぶ。

$r^{'} (t) \neq 0$ がすべての $t \in I$ で成立せいりつするとき、 $r$ を正則せいそくなパラメータ表示ひょうじという。導関数どうかんすう

r^{'} (t) = (r_{1^{'}} (t), \dots, r_{n^{'}} (t))

は曲線きょくせんの接せつベクトルである。正則性せいそくせいは、パラメータの進行しんこうが内部ないぶで停止ていしせず、接方向せつほうこうが定さだまることを保証ほしょうする。

2.1具体例ぐたいれい 1：単位円たんいえん

r (t) = (\cos t, \sin t), 0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2 π

とすると、

r^{'} (t) = (- \sin t, \cos t), ∥ r^{'} (t) ∥ = 1

である。したがって、この表示ひょうじは正則せいそくであり、 $t$ の増加方向ぞうかほうこうが単位円たんいえんの反時計回はんとけいまわりの向むきを定さだめる。端点たんてん $t = 0$ と $t = 2 π$ は同おなじ点てんを表あらわすが、内部ないぶでは同おなじ点てんを重複ちょうふくして通過つうかしない。

3再さいパラメータ化かと向むき

$ψ : [α, β] \to [a, b]$ を $C^{1}$ 級きゅうの全単射ぜんたんしゃとし、 $ψ^{'} (s) \neq 0$ とする。このとき、

ρ (s) = r (ψ (s))

は同おなじ曲線像きょくせんぞうを表あらわす再さいパラメータ化かである。連鎖律れんさりつにより、

ρ^{'} (s) = r^{'} (ψ (s)) ψ^{'} (s)

となる。 $ψ^{'} (s) > 0$ なら向むきを保存ほぞんし、 $ψ^{'} (s) < 0$ なら向むきを反転はんてんする。

パラメータの速はやさを変更へんこうしても曲線像きょくせんぞうと弧長こちょうは変化へんかしない。一方いっぽう、後続講義こうぞくこうぎで定義ていぎする仕事線積分しごとせんせきぶんは、向むきを反転はんてんすると符号ふごうが反転はんてんする。したがって、「同おなじ点集合てんしゅうごう」と「同おなじ向むき付づき曲線きょくせん」は異ことなる概念がいねんである。

4弧長こちょう

$C^{1}$ 曲線きょくせん $r : [a, b] \to R^{n}$ の弧長こちょうを

L (r) = \int_{a}^{b} ∥ r^{'} (t) ∥ d t

と定義ていぎする。 $∥ r^{'} (t) ∥$ はパラメータ $t$ に対たいする速はやさである。向むきを保存ほぞんする再さいパラメータ化かでは、一変数いちへんすうの変数変換公式へんすうへんかんこうしきにより弧長こちょうは不変ふへんである。向むきを反転はんてんする場合ばあいも絶対値ぜったいちによって同おなじ弧長こちょうを得える。

単位円たんいえんの例れいでは $∥ r^{'} (t) ∥ = 1$ であるため、

L = \int_{0}^{2 π} 1 d t = 2 π

となる。

区分的くぶんてき $C^{1}$ 曲線きょくせんとは、パラメータ区間くかんを有限個ゆうげんこの小区間しょうくかんへ分割ぶんかつしたとき、各小区間かくしょうくかんで $C^{1}$ 級きゅうとなる連続曲線れんぞくきょくせんである。その弧長こちょうは各曲線片かくきょくせんへんの弧長こちょうの総和そうわとして定義ていぎする。後続こうぞくの線積分せんせきぶんも各曲線片かくきょくせんへんで定義ていぎして総和そうわする。

5正則曲面せいそくきょくめんパッチ

5.1外積がいせき

$a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ の外積がいせきを

a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})

と定義ていぎする。このベクトルは $a$ と $b$ の両方りょうほうに垂直すいちょくであり、そのノルム $∥ a \times b ∥$ は二ふたつのベクトルが張はる平行四辺形へいこうしへんけいの面積めんせきである。また、 $a \times b = 0$ であることと、 $a, b$ が一次従属いちじじゅうぞくであることは同値どうちである。外積がいせきは各変数かくへんすうについて線型せんけいであり、この性質せいしつを双線型性そうせんけいせいという。さらに、 $b \times a = - a \times b$ という反交換則はんこうかんそくが成分公式せいぶんこうしきから成立せいりつする。

$D \subset R^{2}$ を有界Jordan領域ゆうかいジョルダンりょういきとし、

r : D \to R^{3}, r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))

を $\overline{D}$ の近傍きんぼうで $C^{1}$ 級きゅうとする。偏導関数へんどうかんすう

r_{u} = \frac{\partial r}{\partial u}, r_{v} = \frac{\partial r}{\partial v}

は、 $u$ 方向ほうこうと $v$ 方向ほうこうの接せつベクトルである。

$D$ の内部ないぶで

r_{u} \times r_{v} \neq 0

が成立せいりつし、 $r$ が内部ないぶで一対一いったいいちであるとき、その像ぞうを正則曲面せいそくきょくめんパッチという。外積がいせきが0でない条件じょうけんは二ふたつの接せつベクトルが一次独立いちじどくりつであることと同値どうちであり、接平面せつへいめん

r (u_{0}, v_{0}) + s r_{u} (u_{0}, v_{0}) + t r_{v} (u_{0}, v_{0})

を定さだめる。

内部ないぶの一対一性いったいいちせいは、同おなじ曲面部分きょくめんぶぶんを重複ちょうふくして数かぞえることを防止ぼうしする。有界Jordan領域ゆうかいジョルダンりょういきの境界きょうかいは面積めんせき0であるため、境界上きょうかいじょうだけの重複ちょうふくは面積めんせきへの寄与きよを持もたない。内部ないぶで多重被覆たじゅうひふくすると、積分せきぶんでも重複度ちょうふくどに応おうじて数かぞえられる。

6面積要素めんせきようそ

パラメータ平面へいめんの微小長方形びしょうちょうほうけいは、一次近似いちじきんじによって辺へん $r_{u} d u$ と $r_{v} d v$ を持もつ平行四辺形へいこうしへんけいへ写うつされる。その面積めんせきは

∥ r_{u} \times r_{v} ∥ d u d v

である。したがって、曲面きょくめんの面積要素めんせきようそを

d S = ∥ r_{u} \times r_{v} ∥ d u d v

と定義ていぎする。外積がいせきそのものは接平面せつへいめんに垂直すいちょくであり、その大おおきさが局所的きょくしょてきな面積倍率めんせきばいりつを表あらわす。

6.1具体例ぐたいれい 2：グラフ曲面きょくめん

$f$ を $C^{1}$ 級きゅうとし、 $z = f (x, y)$ を

r (x, y) = (x, y, f (x, y))

と表示ひょうじすると、

r_{x} = (1, 0, f_{x}), r_{y} = (0, 1, f_{y})

であり、

r_{x} \times r_{y} = (- f_{x}, - f_{y}, 1)

となる。したがって、

d S = \sqrt{1 + f_{x^{2}} + f_{y^{2}}} d x d y

である。平面へいめん $z = 0$ では $f_{x} = f_{y} = 0$ であるため、 $d S = d x d y$ に一致いっちする。

7曲面きょくめんの向むきと再さいパラメータ化か

$r_{u} \times r_{v}$ は曲面きょくめんの法線方向ほうせんほうこうを一ひとつ選択せんたくする。 $u$ と $v$ を交換こうかんすると外積がいせきの符号ふごうが反転はんてんし、反対はんたいの向むきを定さだめる。曲面全体きょくめんぜんたいで連続れんぞくな法線方向ほうせんほうこうを選択せんたくできる場合ばあい、その曲面きょくめんは向むき付づけ可能かのうであるという。

$E, D \subset R^{2}$ をパラメータ領域りょういきとし、 $φ : E \to D$ を $C^{1}$ 級きゅうの微分同相写像びぶんどうそうしゃぞうとする。再さいパラメータ化かを $ρ = r \circ φ$ と定義ていぎすると、連鎖律れんさりつと外積がいせきの双線型性そうせんけいせいにより

ρ_{s} \times ρ_{t} = \det D φ (r_{u} \times r_{v}) \circ φ

が成立せいりつする。 $\det D φ > 0$ なら向むきを保存ほぞんし、 $\det D φ < 0$ なら向むきを反転はんてんする。面積要素めんせきようそは絶対値ぜったいちを使用しようするため向むきに依存いぞんしないが、流束りゅうそくは法線方向ほうせんほうこうを使用しようするため向むきの反転はんてんで符号ふごうが反転はんてんする。

8計算手順けいさんてじゅん

パラメータ領域りょういきと曲線きょくせんまたは曲面きょくめんの像ぞうを明示めいじする。
曲線きょくせんでは $r^{'} \neq 0$ 、曲面きょくめんでは $r_{u} \times r_{v} \neq 0$ を確認かくにんする。
内部ないぶで不要ふような多重被覆たじゅうひふくがないことを確認かくにんする。
向むきが必要ひつような場合ばあいは、パラメータの進行方向しんこうほうこうまたは法線方向ほうせんほうこうを明示めいじする。
弧長こちょうには $∥ r^{'} ∥$ 、面積めんせきには $∥ r_{u} \times r_{v} ∥$ を使用しようする。

9注意ちゅうい

接せつベクトルが0になる点てんでは、正則曲線せいそくきょくせんとして接方向せつほうこうを定義ていぎできない。
曲面きょくめんの二ふたつの接せつベクトルが平行へいこうになる点てんでは、正則曲面せいそくきょくめんパッチの条件じょうけんが成立せいりつしない。
同おなじ曲線像きょくせんぞうでも、向むきが反対はんたいなら向むき付づき曲線きょくせんとしては異ことなる。
曲面表示きょくめんひょうじが内部ないぶで多重被覆たじゅうひふくしている場合ばあい、面積分めんせきぶんは重複部分ちょうふくぶぶんを複数回ふくすうかい数かぞえる。

Parametrized Curves and Surfaces

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1Introduction

This lecture uses parameters to describe curves and surfaces and defines tangent directions, orientation, arc length, and surface area elements. In the subsequent lectures on line and surface integrals, these constructions convert geometric objects into one- or two-variable integrals.

The same curve or surface can have several parameterizations. We must therefore distinguish the geometric quantities that are invariant under reparameterization from those that depend on orientation.

2Regular Curves

Let $I = [a, b]$ and let

r : I \to R^{n}, r (t) = (r_{1} (t), \dots, r_{n} (t))

be of class $C^{1}$ , meaning that each component is continuously differentiable. The image $r (I)$ is a parametrized curve.

If $r^{'} (t) \neq 0$ for every $t \in I$ , then $r$ is a regular parameterization. The derivative

r^{'} (t) = (r_{1^{'}} (t), \dots, r_{n^{'}} (t))

is a tangent vector to the curve. Regularity ensures that the motion does not stop in the interior of the parameter interval and that a tangent direction is defined.

2.1Example 1: The Unit Circle

Let

r (t) = (\cos t, \sin t), 0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2 π .

Then

r^{'} (t) = (- \sin t, \cos t), ∥ r^{'} (t) ∥ = 1.

Thus the parameterization is regular, and increasing $t$ gives the counterclockwise orientation of the unit circle. The endpoints $t = 0$ and $t = 2 π$ represent the same point, but no point is repeated in the interior.

3Reparameterization and Orientation

Let $ψ : [α, β] \to [a, b]$ be a $C^{1}$ bijection with $ψ^{'} (s) \neq 0$ . Then

ρ (s) = r (ψ (s))

is a reparameterization with the same curve image. By the chain rule,

ρ^{'} (s) = r^{'} (ψ (s)) ψ^{'} (s) .

It preserves orientation when $ψ^{'} (s) > 0$ and reverses orientation when $ψ^{'} (s) < 0$ .

Changing the speed of a parameter does not change the curve image or its arc length. In contrast, the work line integral defined in the next lecture changes sign when orientation is reversed. Thus, the same point set and the same oriented curve are different concepts.

4Arc Length

The arc length of a $C^{1}$ curve $r : [a, b] \to R^{n}$ is

L (r) = \int_{a}^{b} ∥ r^{'} (t) ∥ d t .

The quantity $∥ r^{'} (t) ∥$ is the speed with respect to $t$ . Under an orientation-preserving reparameterization, the one-variable change-of-variables formula shows that arc length is invariant. An orientation-reversing reparameterization gives the same length because of the absolute value.

For the unit circle, $∥ r^{'} (t) ∥ = 1$ , so

L = \int_{0}^{2 π} 1 d t = 2 π .

A piecewise $C^{1}$ curve is a continuous curve for which the parameter interval can be divided into finitely many subintervals on each of which the curve is of class $C^{1}$ . Its arc length is the sum of the lengths of these curve segments. The line integrals in the next lecture are likewise defined on each segment and then summed.

5Regular Surface Patches

5.1The Cross Product

For $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ and $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ , define

a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}) .

This vector is perpendicular to both $a$ and $b$ , and its norm $∥ a \times b ∥$ is the area of the parallelogram spanned by them. Moreover, $a \times b = 0$ if and only if $a$ and $b$ are linearly dependent. The cross product is linear in each variable; this property is called bilinearity. The component formula also gives the anticommutative law $b \times a = - a \times b$ .

Let $D \subset R^{2}$ be a bounded Jordan region, and let

r : D \to R^{3}, r (u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v))

be of class $C^{1}$ on a neighborhood of $\overline{D}$ . The partial derivatives

r_{u} = \frac{\partial r}{\partial u}, r_{v} = \frac{\partial r}{\partial v}

are tangent vectors in the $u$ - and $v$ -directions.

r_{u} \times r_{v} \neq 0

throughout the interior of $D$ and $r$ is one-to-one there, then its image is a regular surface patch. The nonzero cross-product condition is equivalent to linear independence of the tangent vectors and determines the tangent plane

r (u_{0}, v_{0}) + s r_{u} (u_{0}, v_{0}) + t r_{v} (u_{0}, v_{0}) .

Interior injectivity prevents the same portion of a surface from being counted repeatedly. Because the boundary of a bounded Jordan region has area zero, overlap confined to the boundary contributes no area. An interior multiple covering is counted according to its multiplicity in an integral.

6The Surface Area Element

Under the linear approximation, a small rectangle in the parameter plane maps to a parallelogram with edges $r_{u} d u$ and $r_{v} d v$ . Its area is

∥ r_{u} \times r_{v} ∥ d u d v .

Therefore the surface area element is

d S = ∥ r_{u} \times r_{v} ∥ d u d v .

The cross product itself is normal to the tangent plane, and its magnitude is the local area-scaling factor.

6.1Example 2: A Graph Surface

Let $f$ be of class $C^{1}$ and parameterize $z = f (x, y)$ by

r (x, y) = (x, y, f (x, y)) .

Then

r_{x} = (1, 0, f_{x}), r_{y} = (0, 1, f_{y}),

and

r_{x} \times r_{y} = (- f_{x}, - f_{y}, 1) .

Hence

d S = \sqrt{1 + f_{x^{2}} + f_{y^{2}}} d x d y .

For the plane $z = 0$ , both partial derivatives vanish, so this reduces to $d S = d x d y$ .

7Surface Orientation and Reparameterization

The vector $r_{u} \times r_{v}$ selects one normal direction. Interchanging $u$ and $v$ reverses the sign of the cross product and selects the opposite orientation. A surface is orientable if a continuous normal direction can be selected over the entire surface.

Let $E, D \subset R^{2}$ be parameter domains and let $φ : E \to D$ be a $C^{1}$ diffeomorphism. Define the reparameterization $ρ = r \circ φ$ . The chain rule and bilinearity of the cross product give

ρ_{s} \times ρ_{t} = \det D φ (r_{u} \times r_{v}) \circ φ .

Thus $\det D φ > 0$ preserves orientation, whereas $\det D φ < 0$ reverses it. The surface area element uses an absolute value and is independent of orientation, but flux uses a normal direction and changes sign when orientation is reversed.

8Computational Procedure

State the parameter domain and the image of the curve or surface.
Check $r^{'} \neq 0$ for a curve or $r_{u} \times r_{v} \neq 0$ for a surface.
Check that there is no unintended multiple covering in the interior.
When orientation is relevant, state the direction of increasing parameter or the selected normal direction.
Use $∥ r^{'} ∥$ for arc length and $∥ r_{u} \times r_{v} ∥$ for surface area.

9Cautions

At a point where the tangent vector vanishes, a tangent direction is not defined by a regular curve parameterization.
At a point where the two surface tangent vectors are parallel, the regular surface-patch condition fails.
Two parameterizations with the same curve image but opposite orientations define different oriented curves.
If a surface parameterization covers an interior portion more than once, a surface integral counts that portion with multiplicity.

10Related Lectures

data/lecture/math/vector-calculus/line-integrals-and-conservative-fields.lecture.n.md data/lecture/math/vector-calculus/surface-integrals-and-flux.lecture.n.md

曲線きょくせん・曲面きょくめんのパラメータ表示ひょうじ

1導入どうにゅう

2正則曲線せいそくきょくせん

2.1具体例ぐたいれい 1：単位円たんいえん

3再さいパラメータ化かと向むき

4弧長こちょう

5正則曲面せいそくきょくめんパッチ

5.1外積がいせき

6面積要素めんせきようそ

6.1具体例ぐたいれい 2：グラフ曲面きょくめん

7曲面きょくめんの向むきと再さいパラメータ化か

8計算手順けいさんてじゅん

9注意ちゅうい

10関連講義かんれんこうぎ

Parametrized Curves and Surfaces

1Introduction

2Regular Curves

2.1Example 1: The Unit Circle

3Reparameterization and Orientation

4Arc Length

5Regular Surface Patches

5.1The Cross Product

6The Surface Area Element

6.1Example 2: A Graph Surface

7Surface Orientation and Reparameterization

8Computational Procedure

9Cautions

10Related Lectures