面積分めんせきぶんと流束りゅうそく

date2026-07-15document_iddoc_6fd7e433e56bd98b98ee7ff1e97f0aebdescription面積分と流束を、曲面上のスカラー量とベクトル場の法線成分を足し合わせる操作として整理する。prerequisites曲線・曲面のパラメータ表示 / 勾配・発散・回転type講義content_typelecturestatusactive

mathvector-calculussurface-integrallecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、曲面上きょくめんじょうのスカラー量りょうの総和そうわと、曲面きょくめんを貫つらぬくベクトル場ばの法線成分ほうせんせいぶんの総和そうわを区別くべつして定義ていぎする。

2用語ようごと定義ていぎ

流束りゅうそくFlux は、ベクトル場ばの法線成分ほうせんせいぶんを積分せきぶんする面積分めんせきぶんであり、曲面きょくめんをどれだけ通過つうかするかを表あらわす。

面積分めんせきぶんSurface integral は、曲面上きょくめんじょうのスカラー量りょうまたはベクトル場ばの法線成分ほうせんせいぶんを積分せきぶんする操作そうさである。

3方針ほうしん

曲面きょくめんを $r (u, v)$ で表示ひょうじし、接せつベクトル $r_{u}, r_{v}$ から法線方向ほうせんほうこうを構成こうせいする。流束りゅうそくでは、ベクトル場ばのうち法線方向ほうせんほうこうの成分せいぶんだけを数かぞえる。

4向むき付づき曲面きょくめん

流束りゅうそくでは、曲面きょくめんの表裏おもてうらを区別くべつする必要ひつようがある。法線方向ほうせんほうこうを反転はんてんすると、流束りゅうそくの符号ふごうも反転はんてんする。閉曲面へいきょくめんでは、通常つうじょうは外向そとむき法線ほうせんを選択せんたくする。

曲面全体きょくめんぜんたいで連続れんぞくな単位法線場たんいほうせんば $n$ を選えらべるとき、その曲面きょくめんを向むき付づけ可能かのうorientableという。連結れんけつな曲面きょくめんでは 2 つの向むきは $n$ と $- n$ である。向むき付づけ不可能ふかのうな曲面きょくめんでは、曲面全体きょくめんぜんたいに一貫いっかんした流束りゅうそくを定義ていぎできない。領域りょういきの境界きょうかいとして与あたえられた閉曲面へいきょくめんでは、外向そとむきが標準ひょうじゅんの向むきである。

5厳密げんみつな説明せつめい

$Ω \subset R^{2}$ を境界きょうかいが区分的くぶんてき $C^{1}$ の有界ゆうかい Jordan 領域りょういき、 $D = \overline{Ω}$ とし、 $r$ を $D$ の開近傍かいきんぼうで $C^{1}$ とする。 $Ω$ 内ないで $r_{u} \times r_{v} \neq 0$ かつ単射たんしゃであるとき、 $S = r (D)$ を正則曲面せいそくきょくめんパッチregular surface patchという。境界上きょうかいじょうだけの重複ちょうふくは面積めんせき 0 なので積分値せきぶんちへ影響えいきょうしない。内部ないぶで多重被覆たじゅうひふくするパラメータ表示ひょうじの右辺うへんは、曲面上きょくめんじょうの通常つうじょうの積分せきぶんではなく、重複度ちょうふくどを含ふくむ積分せきぶんを表あらわす。

$S$ の近傍きんぼうで定義ていぎされた連続れんぞくスカラー場ば $g$ の面積分めんせきぶんを

\iint_{S} g d S = \iint_{D} g (r (u, v)) ∥ r_{u} \times r_{v} ∥ d u d v

と定義ていぎする。これは向むきに依存いぞんせず、 $g = 1$ なら曲面きょくめんの面積めんせきになる。

$S$ の近傍きんぼうで定義ていぎされた連続れんぞくベクトル場ば $F$ に対たいし、 $r_{u} \times r_{v}$ が選えらんだ向むきと一致いっちするとき、流束りゅうそくを

\iint_{S} F \cdot n d S = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v

と定義ていぎする。パッチの内部ないぶでは、単位法線たんいほうせんは $n = (r_{u} \times r_{v}) / ∥ r_{u} \times r_{v} ∥$ である。向むきを反転はんてんすると流束りゅうそくの符号ふごうも反転はんてんする。

$r_{u} \times r_{v}$ は、接平面せつへいめんに垂直すいちょくな方向ほうこうと微小面積びしょうめんせきを同時どうじに表あらわす。 $∥ r_{u} \times r_{v} ∥ d u d v$ は面積要素めんせきようそであり、向むき付づき流束りゅうそくでは絶対値ぜったいちを取とらずに $r_{u} \times r_{v} d u d v$ を使用しようする。

本講義ほんこうぎで扱あつかうコンパクトな区分的正則曲面くぶんてきせいそくきょくめんを 1 個このパッチで正則せいそくかつ 1 対たい 1 に表示ひょうじできない場合ばあいは、有限個ゆうげんこの正則せいそくパッチに分割ぶんかつし、共通部分きょうつうぶぶんを面積めんせき 0 の境界きょうかいに限定げんていして、各かくパッチの積分せきぶんを加算かさんする。流束りゅうそくでは、すべてのパッチの法線ほうせんを選択せんたくした曲面きょくめんの向むきと整合せいごうさせる。この構成こうせいにより、後述こうじゅつする球面きゅうめんおよび閉曲面へいきょくめんの積分せきぶんも定義ていぎされる。

$Ω^{'}$ を境界きょうかいが区分的くぶんてき $C^{1}$ の別べつの有界ゆうかい Jordan 領域りょういき、 $E = \overline{Ω^{'}}$ とする。 $φ : E \to D$ を、 $E$ と $D$ の開近傍間かいきんぼうかんの $C^{1}$ 微分同相びぶんどうそうの制限せいげんで $φ (E) = D$ を満みたすものとし、 $ρ = r \circ φ$ とする。スカラー面積分めんせきぶんは Jacobian の絶対値ぜったいちにより再さいパラメータ化かで不変ふへんである。流束りゅうそくは $\det D φ > 0$ なら向むきを保たもって不変ふへんである。 $\det D φ < 0$ のとき、外積がいせきをそのまま使用しようすると反対向はんたいむきの曲面きょくめんを表あらわすため、流束りゅうそくの符号ふごうが反転はんてんする。選択済せんたくずみの幾何学的きかがくてきな向むきを維持いじする場合ばあいは、外積がいせきの符号ふごうを補正ほせいする。

6具体計算ぐたいけいさん

上向うわむきの平面へいめん $z = 0$ 、 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1, 0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] y [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1$ を考かんがえる。 $F = (0, 0, z + 1)$ なら、法線ほうせんは $(0, 0, 1)$ であり、流束りゅうそくは

\iint_{S} F \cdot n d S = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 1 d x d y = 1

である。下向したむきの法線ほうせんを選択せんたくすると値あたいは $- 1$ になる。

7球面きゅうめんの例れい

$F = (x, y, z)$ とし、原点げんてんを中心ちゅうしんとする半径はんけい $R > 0$ の球面きゅうめんを外向そとむきに向むき付づける。球面きゅうめんでは $F \cdot n = R$ であり、面積めんせきが $4 π R^{2}$ なので、流束りゅうそくは $4 π R^{3}$ になる。後続講義こうぞくこうぎでは Gauss 定理ていりを使つかい、発散はっさんが 3、体積たいせきが $4 π R^{3} / 3$ であることから同おなじ値あたいを確認かくにんする。

8円柱えんちゅうの例れい

半径はんけい $R$ 、高たかさ $H$ の円柱側面えんちゅうそくめんを

r (θ, z) = (R \cos θ, R \sin θ, z)

で表示ひょうじする。これは上下面じょうかめんを含ふくまない側面そくめんだけの表示ひょうじで、 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] θ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2 π$ 、 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] z [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] H$ である。 $θ = 0$ と $θ = 2 π$ は同一どういつの継つぎ目めを表あらわすが、パラメータ領域りょういきの境界きょうかいでの重複ちょうふくなので面積分めんせきぶんの値あたいに影響えいきょうしない。外向そとむきの向むき付づき面要素めんようそは

r_{θ} \times r_{z} = (R \cos θ, R \sin θ, 0)

である。 $F = (x, y, 0)$ なら、流束りゅうそくは

\int_{0}^{H} \int_{0}^{2 π} R^{2} d θ d z = 2 π R^{2} H

である。

9比較例ひかくれい: 面めんに平行へいこうな場ば

$z = 0$ の上向うわむき平面片へいめんへんに対たいし、 $F = (1, 0, 0)$ は面めんに平行へいこうである。したがって $F \cdot n = 0$ であり、流束りゅうそくは 0 になる。矢印やじるしが曲面上きょくめんじょうに存在そんざいしても、法線成分ほうせんせいぶんがなければ貫通量かんつうりょうは発生はっせいしない。

10Gauss 定理ていりへの橋渡はしわたし

有界領域ゆうかいりょういき $V$ が区分的くぶんてき $C^{1}$ 境界きょうかいを持もち、 $F$ が $\overline{V}$ の近傍きんぼうで $C^{1}$ であるとする。外向そとむきに向むき付づけた閉曲面へいきょくめん $\partial V$ を通過つうかする総流束そうりゅうそくは、 $V$ 内部ないぶの発散はっさんの体積積分たいせきせきぶんと一致いっちする。この事実じじつが Gauss の発散定理はっさんていりである。閉曲面へいきょくめん $\partial V$ は体積領域たいせきりょういきの境界きょうかいであり、次つぎのページで境界上きょうかいじょうの流束りゅうそくと内部ないぶの局所量きょくしょりょうである発散はっさんを接続せつぞくする。特異点とくいてんを $V$ 内ないに含ふくむ場ばには、この条件じょうけんのままでは適用てきようできない。

11よくある誤あやまり

法線方向ほうせんほうこうを指定していせずに流束りゅうそくを計算けいさんする。
面積要素めんせきようそ $∥ r_{u} \times r_{v} ∥$ と向むき付づき面要素めんようそ $r_{u} \times r_{v}$ を混同こんどうする。
曲面きょくめんの境界きょうかいを確認かくにんせず、Stokes 定理ていりの向むきを誤あやまる。

Surface Integrals and Flux

1Introduction

This lecture distinguishes the surface integral of a scalar quantity from the flux of a vector field through a surface. The first accumulates a quantity distributed over area, whereas the second accumulates the component normal to an oriented surface.

2Terminology and Definitions

The flux of a vector field is the surface integral of its normal component and measures the net passage of the field through a surface.

A surface integral accumulates either a scalar quantity over a surface or the normal component of a vector field over that surface.

3Strategy

Represent the surface by $r (u, v)$ and construct a normal direction from the tangent vectors $r_{u}$ and $r_{v}$ . In a flux integral, only the component of the vector field in this normal direction contributes.

4Oriented Surfaces

A flux computation must distinguish the two sides of a surface. Reversing the normal direction reverses the sign of the flux. For a closed surface, the outward normal is the standard choice.

A surface is orientable if it admits a continuous unit normal field $n$ over the entire surface. A connected orientable surface has the two orientations $n$ and $- n$ . A globally consistent flux cannot be defined on a nonorientable surface. For a closed surface given as the boundary of a region, the outward orientation is standard.

5Precise Formulation

Let $Ω \subset R^{2}$ be a bounded Jordan domain with piecewise $C^{1}$ boundary, set $D = \overline{Ω}$ , and let $r$ be $C^{1}$ on an open neighborhood of $D$ . If $r_{u} \times r_{v} \neq 0$ throughout $Ω$ and $r$ is injective on $Ω$ , then $S = r (D)$ is a regular surface patch. Overlap restricted to the boundary has area zero and does not affect the integral. If a parameterization covers interior points more than once, the formula over its parameter domain represents an integral with multiplicity rather than the ordinary integral over the geometric surface.

For a continuous scalar field $g$ defined on a neighborhood of $S$ , define

\iint_{S} g d S = \iint_{D} g (r (u, v)) ∥ r_{u} \times r_{v} ∥ d u d v .

This integral is independent of orientation. When $g = 1$ , it equals the area of the surface.

For a continuous vector field $F$ defined on a neighborhood of $S$ , suppose that $r_{u} \times r_{v}$ agrees with the selected orientation. Define the flux by

\iint_{S} F \cdot n d S = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot (r_{u} \times r_{v}) d u d v .

At interior points of the patch, the corresponding unit normal is

n = \frac{r_{u} \times r_{v}}{∥ r_{u} \times r_{v} ∥} .

Reversing the orientation reverses the sign of the flux. The vector $r_{u} \times r_{v}$ simultaneously specifies a direction perpendicular to the tangent plane and the infinitesimal area scale. Thus $∥ r_{u} \times r_{v} ∥ d u d v$ is the unoriented area element, while the oriented flux uses $r_{u} \times r_{v} d u d v$ without taking its norm.

If a compact piecewise regular surface of the type considered in this lecture cannot be represented regularly and one-to-one by a single patch, it is divided into finitely many regular patches whose overlaps are confined to boundaries of area zero. Its integral is the sum of the integrals over these patches. For flux, the normal on every patch must agree with the selected orientation of the surface. This construction defines the integrals over the spheres and closed surfaces used below.

Let $Ω^{'}$ be another bounded Jordan domain with piecewise $C^{1}$ boundary and set $E = \overline{Ω^{'}}$ . Let $φ : E \to D$ be the restriction of a $C^{1}$ diffeomorphism between open neighborhoods of $E$ and $D$ , with $φ (E) = D$ , and set $ρ = r \circ φ$ . The scalar surface integral is invariant under reparameterization because the change-of-variables formula uses the absolute value of the Jacobian. For flux, $\det D φ > 0$ preserves the orientation and the value. If $\det D φ < 0$ and the resulting cross product is used without correction, the parameterization represents the oppositely oriented surface and the flux changes sign. To preserve the previously selected geometric orientation, one must correct the sign of the cross product.

6Example 1: A Planar Patch

Consider the upward-oriented portion of the plane $z = 0$ with $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] x [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1$ and $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] y [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 1$ . For $F = (0, 0, z + 1)$ , the unit normal is $(0, 0, 1)$ , and

\iint_{S} F \cdot n d S = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} 1 d x d y = 1.

Choosing the downward normal changes the value to $- 1$ .

7Example 2: A Sphere

Let $F = (x, y, z)$ and orient the sphere of radius $R > 0$ centered at the origin outward. On the sphere, $F \cdot n = R$ . Since its area is $4 π R^{2}$ , the flux is $4 π R^{3}$ . The subsequent lecture verifies the same value by the divergence theorem: the divergence is $3$ , and the volume is $4 π R^{3} / 3$ .

8Example 3: A Cylindrical Side

Parameterize the lateral surface of a cylinder of radius $R$ and height $H$ by

r (θ, z) = (R \cos θ, R \sin θ, z),

where $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] θ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2 π$ and $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] z [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] H$ . This parameterization excludes the top and bottom disks. The values $θ = 0$ and $θ = 2 π$ describe the same seam, but this overlap lies on the boundary of the parameter domain and therefore does not affect the surface integral. The outward-oriented area vector is

r_{θ} \times r_{z} = (R \cos θ, R \sin θ, 0) .

For $F = (x, y, 0)$ , the flux is

\int_{0}^{H} \int_{0}^{2 π} R^{2} d θ d z = 2 π R^{2} H .

9Comparison: A Field Tangent to the Surface

On an upward-oriented patch of the plane $z = 0$ , the field $F = (1, 0, 0)$ is tangent to the plane. Consequently, $F \cdot n = 0$ , and the flux is zero. A vector field may be nonzero along a surface while contributing no flux if its normal component vanishes.

10Connection to the Divergence Theorem

Let a bounded region $V$ have a piecewise $C^{1}$ boundary, and suppose that $F$ is $C^{1}$ on a neighborhood of $\overline{V}$ . The total outward flux through the closed surface $\partial V$ equals the volume integral of the divergence over $V$ . This is the divergence theorem. The next lecture relates flux through the boundary to the local interior quantity $\nabla \cdot F$ . The theorem does not apply under these hypotheses if $F$ has a singularity inside $V$ .

11Common Errors

Computing flux without specifying a normal orientation.
Confusing the scalar area factor $∥ r_{u} \times r_{v} ∥$ with the oriented area vector $r_{u} \times r_{v}$ .
Applying Stokes' theorem without checking the induced orientation of the boundary curve.