Green・Gauss・Stokes の定理ていり

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Green・Gauss・Stokes の定理ていりを、領域内部りょういきないぶの微分量びぶんりょうと境界上きょうかいじょうの積分量せきぶんりょうを結むすぶ同一原理どういつげんりとして確認かくにんする。

2方針ほうしん

Green の定理ていりは平面領域へいめんりょういきの回転かいてんと境界線きょうかいせんの循環じゅんかんを結むすぶ。Gauss の発散定理はっさんていりは体積領域たいせきりょういきの発散はっさんと境界面きょうかいめんの流束りゅうそくを結むすぶ。Stokes の定理ていりは曲面上きょくめんじょうの curl と境界曲線きょうかいきょくせんの循環じゅんかんを結むすぶ。

3定理ていりを適用てきようする前まえの確認事項かくにんじこう

定理ていりの適用前てきようまえには、積分対象せきぶんたいしょう、向むき、および領域内部りょういきないぶにおける場ばの滑なめらかさを確認かくにんする必要ひつようがある。Green では平面領域へいめんりょういきと正向せいこうきの境界きょうかい、Gauss では閉曲面へいきょくめんと外向がいこうき法線ほうせん、Stokes では向むき付づけられた曲面きょくめんと右手則みぎてそくにより誘導ゆうどうされる境界曲線きょうかいきょくせんの向むきが前提ぜんていになる。

4代表式だいひょうしき

Green の定理ていりの一形いっけいは

$$D$$D は有限個ゆうげんこの区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 Jordan 曲線きょくせんを境界きょうかいに持もつ有界平面領域ゆうかいへいめんりょういき、$$P,Q$$P,Q は $$\stackrel{\_}{D}$$\overline D の開近傍かいきんぼうで $$C^1$$C^1 級きゅうとする。$$\mathit{\partial }D$$\partial D は誘導ゆうどうされた正せいの向むき、すなわち外周がいしゅうは反時計回はんとけいまわり、穴あなの境界きょうかいは時計回とけいまわりに向むき付づける。左辺さへんは全境界成分ぜんきょうかいせいぶんの循環じゅんかんの和わ、右辺うへんは内部ないぶの回転密度かいてんみつどの総和そうわである。

Gauss の発散定理はっさんていりは

である。

$$V$$V は区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 境界きょうかいを持もつ有界領域ゆうかいりょういき、$$\mathit{F}$$\boldsymbol{F} は $$\stackrel{\_}{V}$$\overline V の開近傍かいきんぼうで $$C^1$$C^1 級きゅうとする。$$\mathit{n}$$\boldsymbol n は $$V$$V から外向そとむきの単位法線たんいほうせんであり、空洞くうどうの境界きょうかいでは空洞側くうどうがわを向むく。左辺さへんは全境界面成分ぜんきょうかいせいぶんを通とおる総流束そうりゅうそく、右辺うへんは内部ないぶの発散密度はっさんみつどの体積積分たいせきせきぶんである。

Stokes の定理ていりは、向むき付づけられた曲面きょくめん $$S$$S とその境界きょうかい $$\mathit{\partial }S$$\partial S に対たいして

と述のべられる。$$S$$S は向むきを選択せんたくしたコンパクトな区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 正則曲面せいそくきょくめんで、境界きょうかいも区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 とし、$$\mathit{F}$$\boldsymbol{F} は $$S$$S を含ふくむ開集合かいしゅうごうで $$C^1$$C^1 級きゅうとする。$$\mathit{\partial }S$$\partial S が複数ふくすうの成分せいぶんを持もつとき、左辺さへんは各成分かくせいぶんの線積分せんせきぶんの和わである。境界曲線きょうかいきょくせんは、選択せんたくした法線ほうせん $$\mathit{n}$$\boldsymbol n に右手みぎての親指おやゆびを向むけたときに指ゆびが曲まがる方向ほうこうである。同値どうちに、境界きょうかいを進行しんこうする観察者かんさつしゃが頭部とうぶを $$\mathit{n}$$\boldsymbol n の方向ほうこうへ向むけると、曲面きょくめんは左側ひだりがわに位置いちする。$$\mathit{n}$$\boldsymbol n を反転はんてんすると境界きょうかいの向むきも反転はんてんする。

5各定理かくていりの役割やくわり

Green の定理ていりは平面領域へいめんりょういきで、境界曲線きょうかいきょくせんに沿そう循環じゅんかんを内部ないぶの curl の積分せきぶんへ変換へんかんする。Gauss の定理ていりは閉曲面へいきょくめんを通過つうかする流束りゅうそくを内部ないぶの divergence の積分せきぶんへ変換へんかんする。Stokes の定理ていりは曲面きょくめんの境界きょうかいに沿そう循環じゅんかんを曲面上きょくめんじょうの curl の流束りゅうそくへ変換へんかんする。

6なぜ同一原理どういつげんりと言いえるか

領域りょういきを小片しょうへんへ分割ぶんかつすると、内部ないぶで接せっする人工的じんこうてきな境界きょうかいの寄与きよは向むきが逆ぎゃくになるため相殺そうさいされる。最後さいごに残のこるのは、穴あなや空洞くうどうの境界きょうかいも含ふくむ領域全体りょういきぜんたいの境界きょうかいである。この相殺そうさいが、Green・Gauss・Stokes の背後はいごにある共通構造きょうつうこうぞうである。

7Green の計算例けいさんれい

$$\mathit{F}=(-y/2,x/2)$$\boldsymbol{F}=(-y/2,x/2) とし、$$D$$D を単位円板たんいえんばんとする。Green の定理ていりにより、

である。境界きょうかいを直接ちょくせつパラメータ表示ひょうじしても同おなじ値あたいを得える。この一致いっちが、境界積分きょうかいせきぶんと内部積分ないぶせきぶんの対応たいおうを示しめす。

直接計算ちょくせつけいさんでは、$$\mathit{\partial }D$$\partial D を $$\mathit{r}\left(t\right)=(\cos t,\sin t)$$\boldsymbol{r}(t)=(\cos t,\sin t)、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2\pi$$0\le t\le 2\pi と置おけば、

だから

となり、

を得える。Green の定理ていりは、この直接計算ちょくせつけいさんを内部積分ないぶせきぶんへ変換へんかんし、境界積分きょうかいせきぶんと内部積分ないぶせきぶんの構造的関係こうぞうてきかんけいを明確めいかくにする。

8Gauss の計算例けいさんれい

$$\mathit{F}=(x,y,z)$$\boldsymbol{F}=(x,y,z) とし、$$V$$V を原点げんてんを中心ちゅうしんとする半径はんけい $$R>0$$R>0 の球きゅうとする。$$\nabla ·\mathit{F}=3$$\nabla\cdot\boldsymbol{F}=3 なので、

である。一方いっぽう、境界球面きょうかいきゅうめんでは $$\mathit{F}·\mathit{n}=R$$\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{n}=R であり、面積めんせきは $$4\pi R^2$$4\pi R^2 なので流束りゅうそくも $$4\pi R^3$$4\pi R^3 である。

この例れいは、発散はっさんが各点かくてんで一定値いっていち 3 を取とる場ばの総流束そうりゅうそくが、体積たいせきに比例ひれいして増加ぞうかすることを示しめしている。Gauss の定理ていりは、表面ひょうめんの直接積分ちょくせつせきぶんより内部ないぶの divergence のほうが簡単かんたんな場合ばあいに特とくに有効ゆうこうである。

9Stokes の計算例けいさんれい

$$\mathit{F}=(-y/2,x/2,0)$$\boldsymbol{F}=(-y/2,x/2,0) とし、$$S$$S を $$xy$$xy 平面上へいめんじょうの単位円板たんいえんばん、法線ほうせんを上向うわむきとする。$$\nabla \times \mathit{F}=(0,0,1)$$\nabla\times\boldsymbol{F}=(0,0,1) なので、

である。境界きょうかいは反時計回はんとけいまわりの単位円たんいえんであり、線積分せんせきぶんも $$\pi$$\pi になる。Green の定理ていりは、この平面へいめん Stokes 定理ていりの形かたちとして解釈かいしゃくできる。

10直接計算ちょくせつけいさんと定理利用ていりりようの使つかい分わけ

境界きょうかいが単純たんじゅんで、場ばの表示ひょうじも簡単かんたんなら直接計算ちょくせつけいさんで十分じゅうぶんである。一方いっぽう、境界きょうかいが複雑ふくざつで内部量ないぶりょうのほうが簡単かんたんなら、Green・Gauss・Stokes により計算けいさんが容易よういな積分表示せきぶんひょうじへ変換へんかんすることが有効ゆうこうである。

11微分形式びぶんけいしきへの接続せつぞく

これら三みっつの定理ていりは、次元じげんや積分対象せきぶんたいしょうが異ことなるだけで、内部ないぶの微分びぶんと境界きょうかいの積分せきぶんを結むすぶ同一構造どういつこうぞうを持もつ。この構造こうぞうは微分形式びぶんけいしきにより一般化いっぱんかされる。

12Laplacian への接続せつぞく

$$u$$u を $$\stackrel{\_}{V}$$\overline V の開近傍かいきんぼうで $$C^2$$C^2 とし、$$\mathit{F}=\nabla u$$\boldsymbol F=\nabla u を Gauss の発散定理はっさんていりへ代入だいにゅうすると、

となる。左辺さへんは $$\mathit{\partial }u/\mathit{\partial }n=\nabla u·\mathit{n}$$\partial u/\partial n=\nabla u\cdot\boldsymbol n の境界面上きょうかいめんじょうの面積分めんせきせきぶん、すなわち勾配こうばいの外向そとむき流束りゅうそくであり、内部ないぶの Laplacian と結むすばれる。次講義じこうぎでは $$\mathrm{\Delta }u=\nabla ·\nabla u$$\Delta u=\nabla\cdot\nabla u の意味いみと物理的応用ぶつりてきおうようを扱あつかう。

13特異点とくいてんがある場合ばあい

領域りょういきの向むき、境界きょうかい、滑なめらかさを確認かくにんする。特異点とくいてんが領域内部りょういきないぶにある場合ばあいは、その点てんを除外じょがいした領域りょういきで再構成さいこうせいする必要ひつようがある。たとえば

は原点げんてんで定義ていぎされないため、原点げんてんを含ふくむ円板えんばんへ Green の定理ていりをそのまま適用てきようしてはならない。

原点げんてんの周囲しゅういの小円板しょうえんばんを除のぞいて環状領域かんじょうりょういきへ Green の定理ていりを適用てきようすると、外周がいしゅうは反時計回はんとけいまわり、内周ないしゅうは時計回とけいまわりに向むき付づけられる。この場ばでは領域内りょういきないの curl は 0 だが、外周がいしゅうの循環じゅんかん $$2\pi$$2\pi と内周ないしゅうの循環じゅんかん $$-2\pi$$-2\pi が相殺そうさいする。特異点とくいてんを除外じょがいするときは、新あらたに生しょうじる内側境界うちがわきょうかいの寄与きよを捨すててはならない。

14関連かんれんリンク

Green's, Gauss's, and Stokes' Theorems

1Introduction

This lecture presents Green's theorem, Gauss's divergence theorem, and Stokes' theorem as manifestations of one principle relating differential quantities in a region to integral quantities on its boundary.

2Overview

Green's theorem relates planar curl to circulation along the boundary of a planar region. The divergence theorem relates divergence in a volume to flux through its boundary surface. Stokes' theorem relates curl on a surface to circulation along the boundary curve.

3Preconditions for Applying the Theorems

Before applying a theorem, identify the integration domain, determine the induced orientation, and verify the smoothness of the field throughout the relevant region. Green's theorem requires a planar region with its positively oriented boundary. The divergence theorem requires a closed surface with outward unit normal. Stokes' theorem requires an oriented surface whose boundary orientation is induced by the right-hand convention.

4Standard Formulas

One form of Green's theorem is

Here $D$D is a bounded planar region whose boundary consists of finitely many piecewise $C^1$C^1 Jordan curves, and $P,Q$P,Q are $C^1$C^1 on an open neighborhood of $\stackrel{\_}{D}$\overline D. Outer boundary components are oriented counterclockwise, whereas boundaries of holes are oriented clockwise. The two sides are respectively the total boundary circulation and the integral of interior rotation density.

Gauss's divergence theorem is

Here $V$V is a bounded region with piecewise $C^1$C^1 boundary, and $\mathit{F}$\boldsymbol F is $C^1$C^1 on an open neighborhood of $\stackrel{\_}{V}$\overline V. The unit normal points outward from $V$V; on the boundary of a cavity, it points into the cavity. The two sides are respectively the total flux through all boundary components and the volume integral of divergence.

Stokes' theorem states

Assume that $S$S is a compact piecewise $C^1$C^1 regular surface with piecewise $C^1$C^1 boundary, that an orientation $\mathit{n}$\boldsymbol n has been selected, and that $\mathit{F}$\boldsymbol F is $C^1$C^1 on an open set containing $S$S. For several boundary components, the left side is their sum. The induced boundary direction follows the right-hand rule: with the right thumb pointing along $\mathit{n}$\boldsymbol n, the curled fingers indicate the positive traversal direction. Equivalently, when an observer traverses the boundary with their head pointing in the direction of $\mathit{n}$\boldsymbol n, the surface lies on the observer's left. Reversing $\mathit{n}$\boldsymbol n reverses the boundary orientation.

5Roles of the Three Theorems

6The Common Principle

Partition a region into small pieces. Each artificial interface shared by adjacent pieces occurs with opposite induced orientations, so its two contributions cancel. Only the boundary of the entire region remains, including components surrounding holes or cavities.

7Example 1: Green's Theorem

Let $\mathit{F}=(-y/2,x/2)$\boldsymbol F=(-y/2,x/2) and let $D$D be the unit disk. Green's theorem gives

For a direct computation, set $\mathit{r}\left(t\right)=(\cos t,\sin t)$\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t), $0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2\pi$0\le t\le2\pi. Then

so

Green's theorem replaces the direct boundary computation with an interior integral and thereby clarifies the structural relation between the two representations.

8Example 2: The Divergence Theorem

Let $\mathit{F}=(x,y,z)$\boldsymbol F=(x,y,z) and let $V$V be the ball of radius $R>0$R>0 centered at the origin. Since $\nabla ·\mathit{F}=3$\nabla\cdot\boldsymbol F=3,

On the boundary sphere, $\mathit{F}·\mathit{n}=R$\boldsymbol F\cdot\boldsymbol n=R and its area is $4\pi R^2$4\pi R^2, so the outward flux is also $4\pi R^3$4\pi R^3. This example shows that when divergence has the constant value $3$3, total flux grows in proportion to enclosed volume. The theorem is especially useful when the divergence integral is simpler than direct surface integration.

9Example 3: Stokes' Theorem

Let $\mathit{F}=(-y/2,x/2,0)$\boldsymbol F=(-y/2,x/2,0), let $S$S be the unit disk in the $xy$xy-plane, and select the upward normal. Since $\nabla \times \mathit{F}=(0,0,1)$\nabla\times\boldsymbol F=(0,0,1),

The induced boundary orientation is counterclockwise, and the boundary line integral is also $\pi$\pi. Green's theorem is the planar instance of this form of Stokes' theorem.

10Choosing a Computation Method

Direct computation is sufficient when the boundary and field have simple parameterizations. When the boundary is complicated but the interior differential quantity is simple, these theorems can replace the original integral with a more convenient one.

11Connection to Differential Forms

The dimensions and domains differ, but all three theorems relate an interior derivative to a boundary integral. Differential forms express and generalize this common structure.

12Connection to the Laplacian

Let $u$u be $C^2$C^2 on an open neighborhood of $\stackrel{\_}{V}$\overline V and substitute $\mathit{F}=\nabla u$\boldsymbol F=\nabla u into the divergence theorem. Then

The left side integrates the outward normal derivative $\mathit{\partial }u/\mathit{\partial }n=\nabla u·\mathit{n}$\partial u/\partial n=\nabla u\cdot\boldsymbol n. The next lecture develops the meaning and physical applications of $\mathrm{\Delta }u=\nabla ·\nabla u$\Delta u=\nabla\cdot\nabla u.

13Fields with Singularities

If a field has an interior singularity, remove a neighborhood of it and include the newly created inner boundary. For example,

is undefined at the origin, so Green's theorem cannot be applied directly to a disk containing the origin. Removing a small disk produces an annulus with a counterclockwise outer boundary and clockwise inner boundary. The curl vanishes on the annulus, while the circulations $2\pi$2\pi and $-2\pi$-2\pi cancel. The newly created inner-boundary contribution must not be omitted.

14Related Lectures