線積分せんせきぶんと保存場ほぞんば

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、線積分せんせきぶんを曲線きょくせんの接方向せつほうこうに沿そう場ばの成分せいぶんを総和そうわする操作そうさとして理解りかいする。

2用語ようごと定義ていぎ

$$U\subset R^n$$U\subset\mathbb R^n を開集合かいしゅうごうとし、$$\mathit{r}:[a,b]\to U$$\boldsymbol r:[a,b]\to U を向むき付づけられた区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 曲線きょくせんとする。連続れんぞくスカラー場ば $$g:U\to \mathbb{R}$$g:U\to\mathbb R のスカラー線積分せんせきぶんscalar line integralを

と定義ていぎする。連続れんぞくベクトル場ば $$\mathit{F}:U\to R^n$$\boldsymbol F:U\to\mathbb R^n の仕事線積分しごとせんせきぶんwork line integralを

と定義ていぎする。本講義ほんこうぎでは主おもに後者こうしゃを扱あつかう。

保存場ほぞんばConservative field は、ある $$\varphi \in C^1\left(U\right)$$\phi\in C^1(U) により $$\mathit{F}=\nabla \varphi$$\boldsymbol{F}=\nabla\phi と表現ひょうげんできるベクトル場ばである。この $$\varphi$$\phi をポテンシャル関数かんすうという。

3方針ほうしん

ベクトル場ばの線積分せんせきぶんでは、移動方向いどうほうこうと同おなじ成分せいぶんだけが仕事しごとに寄与きよする。そのため内積ないせき $$\mathit{F}\left(\mathit{r}\right(t\left)\right)·r^{\prime }\left(t\right)$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))\cdot\boldsymbol{r}'(t) を積分せきぶんする。保存場ほぞんばでは、線積分せんせきぶんは経路けいろではなく始点してんと終点しゅうてんだけに依存いぞんする。

4厳密げんみつな説明せつめい

前掲ぜんけいの定義ていぎにより、

である。$$\mathit{F}=\nabla \varphi$$\boldsymbol{F}=\nabla\phi なら、この値あたいは $$\varphi \left(\mathit{r}\right(b\left)\right)-\varphi \left(\mathit{r}\right(a\left)\right)$$\phi(\boldsymbol{r}(b))-\phi(\boldsymbol{r}(a)) になる。

$$\psi :[\alpha ,\beta ]\to [a,b]$$\psi:[\alpha,\beta]\to[a,b] を連続れんぞくかつ区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 の全単射ぜんたんしゃとし、$$\mathit{\rho }=\mathit{r}\circ \psi$$\boldsymbol\rho=\boldsymbol r\circ\psi とする。$$\psi$$\psi が単調増加たんちょうぞうかなら置換積分ちかんせきぶんにより仕事線積分しごとせんせきぶんの値あたいは変かわらない。$$\psi$$\psi が単調減少たんちょうげんしょうなら曲線きょくせんの向むきが反転はんてんし、値あたいの符号ふごうが反転はんてんする。スカラー線積分せんせきぶんは $$\parallel r^{\prime }\parallel$$\|\boldsymbol r'\| を使つかうため、向むきの反転はんてんでは符号ふごうを変かえない。

5基本定理きほんていりとしての保存場ほぞんば

$$\mathit{F}=\nabla \varphi$$\boldsymbol{F}=\nabla\phi なら、曲線きょくせんの $$C^1$$C^1 な各区間かくくかんで連鎖律れんさりつにより

である。したがって線積分せんせきぶんは端点たんてんの値あたいの差さだけで決定けっていされる。経路けいろを変更へんこうしても値あたいが変化へんかしない理由りゆうはここにある。

本講義ほんこうぎでは、$$U$$U の任意にんいの 2 点てんを $$U$$U 内ないの区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 曲線きょくせんで結むすべるとき、領域りょういき $$U$$U は経路連結けいろれんけつであるという。開集合かいしゅうごうでは、この条件じょうけんは連続曲線れんぞくきょくせんを用もちいる通常つうじょうの定義ていぎと同値どうちである。さらに $$U$$U を開かいかつ経路連結けいろれんけつとし、$$\mathit{F}$$\boldsymbol F を連続れんぞくとする。このとき次つぎの 3 条件じょうけんは同値どうちである。

1. $$\mathit{F}=\nabla \varphi$$\boldsymbol F=\nabla\phi となる $$\varphi \in C^1\left(U\right)$$\phi\in C^1(U) が存在そんざいする。
2. $$U$$U 内ないの 2 点てんを結むすぶ仕事線積分しごとせんせきぶんが経路けいろによらない。
3. $$U$$U 内ないのすべての区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 閉曲線へいきょくせんで $${\oint }_C\mathit{F}·d\mathit{r}=0$$\oint_C\boldsymbol F\cdot d\boldsymbol r=0 である。

1 から 2 は前掲ぜんけいの連鎖律れんさりつで従したがう。2 を仮定かていし、基点きてん $$p_0$$\boldsymbol p_0 を固定こていして

と定義ていぎする。経路独立性けいろどくりつせいにより、この値あたいは経路けいろの選択せんたくによらない。$$U$$U は開集合かいしゅうごうであるため、十分じゅうぶんに小ちいさい $$h$$h に対たいして $$\mathit{p}$$\boldsymbol p から $$\mathit{p}+h{e}_i$$\boldsymbol p+h\boldsymbol e_i までの線分せんぶんは $$U$$U 内ないに含ふくまれる。したがって

が $$\mathit{F}$$\boldsymbol F の連続性れんぞくせいから成立せいりつする。よって $${\mathit{\partial }}_i\varphi =F_i$$\partial_i\phi=F_i であり、$$\varphi \in C^1\left(U\right)$$\phi\in C^1(U) かつ $$\nabla \varphi =\mathit{F}$$\nabla\phi=\boldsymbol F を得える。2 から 3 は、任意にんいの閉曲線へいきょくせんと同一どういつの始点してんおよび終点しゅうてんをもつ定値曲線ていちきょくせんの積分せきぶんを比較ひかくすれば従したがう。3 から 2 は、2 本ほんの経路けいろの 1 本ぽんを逆向ぎゃくむきにして連結れんけつし、得えられる閉曲線へいきょくせんに 3 を適用てきようすれば従したがう。

6領域条件りょういきじょうけんと反例はんれい

$$U\subset R^2$$U\subset\mathbb R^2 または $$U\subset R^3$$U\subset\mathbb R^3 を開かいかつ単連結たんれんけつとし、$$\mathit{F}\in C^1\left(U\right)$$\boldsymbol F\in C^1(U) とする。単連結たんれんけつとは、$$U$$U 内ないの任意にんいの閉曲線へいきょくせんを $$U$$U の外そとへ出でずに 1 点てんへ連続的れんぞくてきに縮ちぢめられることである。このとき二次元にじげんでは $${\mathrm{curl}}_{2D}\mathit{F}=0$$\operatorname{curl}_{2D}\boldsymbol F=0、三次元さんじげんでは $$\nabla \times \mathit{F}=0$$\nabla\times\boldsymbol F=\boldsymbol0 が $$U$$U の全点ぜんてんで成立せいりつすれば、$$\mathit{F}$$\boldsymbol F は保存場ほぞんばである。

前講義ぜんこうぎで予告よこくしたように、領域りょういきに穴あながある場合ばあいは curl が 0 だけでは十分じゅうぶんでない。$$U=R^2\setminus \left\{0\right\}$$U=\mathbb{R}^2\setminus\{\boldsymbol0\} 上じょうの

は $$C^{\mathrm{\infty }}$$C^\infty で、$$U$$U の全点ぜんてんで $${\mathrm{curl}}_{2D}\mathit{F}=0$$\operatorname{curl}_{2D}\boldsymbol F=0 である。しかし $$\mathit{r}\left(t\right)=(\cos t,\sin t)$$\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t)、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2\pi$$0\le t\le2\pi とすると $$\mathit{F}\left(\mathit{r}\right(t\left)\right)=r^{\prime }\left(t\right)$$\boldsymbol F(\boldsymbol r(t))=\boldsymbol r'(t) なので、反時計回はんとけいまわりの単位円たんいえんに沿そう線積分せんせきぶんは $$2\pi$$2\pi になる。したがって curl が 0 という局所条件きょくしょじょうけんだけでは保存場ほぞんばを保証ほしょうできない。単連結たんれんけつは、この含意がんいを保証ほしょうする標準的ひょうじゅんてきな十分条件じゅうぶんじょうけんであり、個々ここの保存場ほぞんばに必要ひつような条件じょうけんではない。

7物理例ぶつりれい

力場りきばが保存場ほぞんばである場合ばあい、仕事しごとは始点してんと終点しゅうてんだけで決定けっていされる。位置いちエネルギーを $$V$$V とする物理学ぶつりがくの規約きやくでは $$\mathit{F}=-\nabla V$$\boldsymbol F=-\nabla V なので、本講義ほんこうぎのポテンシャルは $$\varphi =-V$$\phi=-V に対応たいおうする。重力場じゅうりょくばのような保存力ほぞんりょくでは、閉曲線へいきょくせんに沿そう仕事しごとは 0 である。

8判別はんべつの手順てじゅん

• 領域内りょういきないのすべての区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 閉曲線へいきょくせんで線積分せんせきぶんが 0 なら、経路独立けいろどくりつと保存場ほぞんばを導みちびける。
• 開かいかつ単連結たんれんけつな領域りょういきの $$C^1$$C^1 場ばで curl が 0 なら保存場ほぞんばである。
• 穴あなのある領域りょういきでは、curl が 0 であっても経路依存けいろいぞんが残のこることがある。

9具体例ぐたいれい 1: 保存場ほぞんば

$$\varphi (x,y)=x^{2}y$$\phi(x,y)=x^2y とすると、$$\nabla \varphi =(2xy,x^2)$$\nabla\phi=(2xy,x^2) である。点てん $$(0,0)$$(0,0) から $$(1,1)$$(1,1) までの任意にんいの区分的くぶんてき $$C^1$$C^1 曲線きょくせん $$C$$C に対たいして、

である。直線経路ちょくせんけいろまたは折線経路せっせんけいろのいずれを選択せんたくしても、値あたいは変化へんかしない。

10具体例ぐたいれい 2: 非保存場ひほぞんば

$$\mathit{F}=(-y,x)$$\boldsymbol{F}=(-y,x) を単位円たんいえん $$\mathit{r}\left(t\right)=(\cos t,\sin t)$$\boldsymbol{r}(t)=(\cos t,\sin t)、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2\pi$$0\le t\le 2\pi に沿そって積分せきぶんする。このとき $$\mathit{F}\left(\mathit{r}\right(t\left)\right)=(-\sin t,\cos t)$$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}(t))=(-\sin t,\cos t)、$$r^{\prime }\left(t\right)=(-\sin t,\cos t)$$\boldsymbol{r}'(t)=(-\sin t,\cos t) なので、

である。閉曲線へいきょくせんの積分せきぶんが 0 でないため、この場ばは保存場ほぞんばではない。

11関連かんれんリンク

Line Integrals and Conservative Fields

1Introduction

This lecture defines line integrals as accumulated quantities along curves and explains when the work integral of a vector field depends only on the endpoints. The distinction between local differential conditions and the global geometry of the domain is essential.

2Definitions

Let $U\subset R^n$U\subset\mathbb R^n be open and let $\mathit{r}:[a,b]\to U$\boldsymbol r:[a,b]\to U be an oriented piecewise $C^1$C^1 curve. For a continuous scalar field $g:U\to \mathbb{R}$g:U\to\mathbb R, define the scalar line integral by

For a continuous vector field $\mathit{F}:U\to R^n$\boldsymbol F:U\to\mathbb R^n, define the work line integral by

This lecture primarily concerns the second integral. A vector field is conservative if there is a function $\varphi \in C^1\left(U\right)$\phi\in C^1(U) such that $\mathit{F}=\nabla \varphi$\boldsymbol F=\nabla\phi. The function $\varphi$\phi is called a potential.

3Geometric Interpretation

In a work line integral, only the component of the vector field tangent to the direction of motion contributes. This explains the dot product $\mathit{F}\left(\mathit{r}\right(t\left)\right)·r^{\prime }\left(t\right)$\boldsymbol F(\boldsymbol r(t))\cdot\boldsymbol r'(t). For a conservative field, the work depends on the initial and terminal points rather than on the path.

4Reparameterization and Orientation

Let $\psi :[\alpha ,\beta ]\to [a,b]$\psi:[\alpha,\beta]\to[a,b] be a continuous piecewise $C^1$C^1 bijection and set $\mathit{\rho }=\mathit{r}\circ \psi$\boldsymbol\rho=\boldsymbol r\circ\psi. If $\psi$\psi is increasing, substitution shows that the work integral is unchanged. If $\psi$\psi is decreasing, the curve orientation reverses and the work integral changes sign. A scalar line integral uses $\parallel r^{\prime }\parallel$\|\boldsymbol r'\|, so reversing orientation does not change its sign.

5Fundamental Theorem for Line Integrals

Suppose $\mathit{F}=\nabla \varphi$\boldsymbol F=\nabla\phi. On each $C^1$C^1 segment of the curve, the chain rule gives

Summing over all segments and applying the one-variable fundamental theorem yields

Thus the integral depends only on the endpoints.

In this lecture, a domain $U$U is path-connected if every two points of $U$U can be joined by a piecewise $C^1$C^1 curve contained in $U$U. For open sets, this condition is equivalent to the usual definition using continuous curves. More generally, let $U$U be open and path-connected and let $\mathit{F}$\boldsymbol F be continuous. The following conditions are equivalent:

1. There is a $\varphi \in C^1\left(U\right)$\phi\in C^1(U) such that $\mathit{F}=\nabla \varphi$\boldsymbol F=\nabla\phi.
2. The work integral between any two points of $U$U is independent of the piecewise $C^1$C^1 path.
3. The work integral around every piecewise $C^1$C^1 closed curve in $U$U is zero.

Condition 1 implies Condition 2 by the chain-rule calculation above. To derive Condition 1 from Condition 2, fix a base point $p_0$\boldsymbol p_0 and define

Path independence makes this definition unambiguous. Because $U$U is open, for each $\mathit{p}\in U$\boldsymbol p\in U and sufficiently small $h$h, the line segment from $\mathit{p}$\boldsymbol p to $\mathit{p}+h{e}_i$\boldsymbol p+h\boldsymbol e_i lies in $U$U. Hence

by continuity of $\mathit{F}$\boldsymbol F. Thus ${\mathit{\partial }}_i\varphi =F_i$\partial_i\phi=F_i for every $i$i, so $\varphi \in C^1\left(U\right)$\phi\in C^1(U) and $\nabla \varphi =\mathit{F}$\nabla\phi=\boldsymbol F. Condition 2 implies Condition 3 by comparing any closed curve with the constant curve having the same initial and terminal point. Conversely, under Condition 3, two paths with the same endpoints form a closed curve when one is traversed in reverse, and the zero integral around that closed curve proves that their integrals are equal.

6Domain Conditions and a Counterexample

Let $U\subset R^2$U\subset\mathbb R^2 or $U\subset R^3$U\subset\mathbb R^3 be open and simply connected, and let $\mathit{F}\in C^1\left(U\right)$\boldsymbol F\in C^1(U). A domain is simply connected if every closed curve in it can be continuously contracted to a point without leaving the domain. In two dimensions, ${\mathrm{curl}}_{2D}\mathit{F}=0$\operatorname{curl}_{2D}\boldsymbol F=0 throughout $U$U implies that $\mathit{F}$\boldsymbol F is conservative. In three dimensions, the corresponding sufficient condition is $\nabla \times \mathit{F}=0$\nabla\times\boldsymbol F=\boldsymbol0 throughout $U$U.

The assumption on the domain cannot be omitted. On $U=R^2\setminus \left\{0\right\}$U=\mathbb R^2\setminus\{\boldsymbol0\}, consider

The field is smooth and has ${\mathrm{curl}}_{2D}\mathit{F}=0$\operatorname{curl}_{2D}\boldsymbol F=0 at every point of $U$U. For the counterclockwise unit circle $\mathit{r}\left(t\right)=(\cos t,\sin t)$\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t), $0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2\pi$0\le t\le2\pi, however, $\mathit{F}\left(\mathit{r}\right(t\left)\right)=r^{\prime }\left(t\right)$\boldsymbol F(\boldsymbol r(t))=\boldsymbol r'(t), so

Therefore the field is not conservative. Vanishing curl is a local condition and does not detect the hole in the domain. Simple connectivity is a standard sufficient condition for the implication from zero curl to conservativity; it is not necessary for every individual conservative field.

7Physical Interpretation

If a force field is conservative, its work is determined by the initial and terminal points. Under the physical convention that $V$V is potential energy, $\mathit{F}=-\nabla V$\boldsymbol F=-\nabla V, so the mathematical potential in this lecture is $\varphi =-V$\phi=-V. A conservative force performs zero work around every closed curve.

8Diagnostic Procedure

• If every piecewise $C^1$C^1 closed curve in the domain has zero work integral, then the field is path-independent and conservative.
• If a $C^1$C^1 field has zero curl on an open, simply connected domain, then it is conservative.
• On a domain with holes, zero curl does not by itself guarantee path independence.

9Example 1: A Conservative Field

Let $\varphi (x,y)=x^{2}y$\phi(x,y)=x^2y. Then $\nabla \varphi =(2xy,x^2)$\nabla\phi=(2xy,x^2). For every piecewise $C^1$C^1 curve $C$C from $(0,0)$(0,0) to $(1,1)$(1,1),

The value is the same for a line segment, a polygonal path, or any other admissible path.

10Example 2: A Nonconservative Field

Let $\mathit{F}=(-y,x)$\boldsymbol F=(-y,x) and integrate around the counterclockwise unit circle $\mathit{r}\left(t\right)=(\cos t,\sin t)$\boldsymbol r(t)=(\cos t,\sin t), $0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}2\pi$0\le t\le2\pi. Since

we obtain

The nonzero integral around a closed curve proves that the field is not conservative.

11Related Lectures