勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてん

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、grad・div・curl を記号操作きごうそうさではなく、場ばの局所的きょくしょてきな変化へんかを測定そくていする三種類さんしゅるいの演算子えんざんしとして確認かくにんする。

2用語ようごと定義ていぎ

$$U\subset R^n$$U\subset\mathbb R^n を開集合かいしゅうごうとし、以下いかでは Cartesian 座標ざひょうと標準内積ひょうじゅんないせきを使つかう。$$C^1$$C^1 スカラー場ば $$f:U\to \mathbb{R}$$f:U\to\mathbb R の勾配こうばいgradientを

と定義ていぎする。これは $$U$$U 上じょうのベクトル場ばである。

$$C^1$$C^1 ベクトル場ば $$\mathbf{F}=(F_1,\dots ,F_n):U\to R^n$$\mathbf F=(F_1,\ldots,F_n):U\to\mathbb R^n の発散はっさんdivergenceを

と定義ていぎする。これは $$U$$U 上じょうのスカラー場ばであり、各成分かくせいぶんが対応たいおうする座標方向ざひょうほうこうへどう変化へんかするかを合計ごうけいする。

$$n=3$$n=3 では、$$C^1$$C^1 ベクトル場ば $$\mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)$$\mathbf F=(F_1,F_2,F_3) の回転かいてんcurlを

と定義ていぎする。これは局所的きょくしょてきな循環軸じゅんかんじくと強つよさを表あらわすベクトル場ばである。$$n=2$$n=2 では $$\mathbf{F}=(P,Q)$$\mathbf F=(P,Q) に対たいし

というスカラーを使つかう。これは $$(P,Q,0)$$(P,Q,0) を三次元さんじげんへ埋うめ込こんだときの curl の $$z$$z 成分せいぶんである。一般いっぱんの $$R^n$$\mathbb R^n では curl をこのベクトル公式こうしきのまま定義ていぎせず、微分形式びぶんけいしきなどを使つかって拡張かくちょうする。

3方針ほうしん

単位たんいベクトル $$\mathbf{u}$$\mathbf u 方向ほうこうの方向微分ほうこうびぶんは $$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f·\mathbf{u}$$D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u である。Cauchy--Schwarz の不等式ふとうしきより $$D_{\mathbf{u}}f\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\parallel \nabla f\parallel$$D_{\mathbf u}f\le\|\nabla f\| であり、$$\nabla f\ne 0$$\nabla f\ne\mathbf0 なら最大値さいだいちは $$\mathbf{u}=\nabla f/\parallel \nabla f\parallel$$\mathbf u=\nabla f/\|\nabla f\| で達成たっせいされる。$$\nabla f=0$$\nabla f=\mathbf0 ならすべての方向微分ほうこうびぶんが 0 で、最大増加方向さいだいぞうかほうこうは 1 つに決きまらない。発散はっさんは小領域しょうりょういきからの正味流出しょうみりゅうしゅつを体積たいせきで割わった極限きょくげん、回転かいてんは向むきを定さだめた微小閉曲線びしょうへいきょくせんに沿そう循環じゅんかんを面積めんせきで割わった極限きょくげんとして捉とらえる。この積分表示せきぶんひょうじの厳密げんみつな条件じょうけんは後続講義こうぞくこうぎで扱あつかう。

4具体例ぐたいれい

$$f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2 なら

である。勾配こうばいは原点げんてんから外向そとむきに伸のび、値あたいが増加ぞうかする方向ほうこうを示しめす。

$$\mathit{F}(x,y)=(-y,x)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x) では、$${\mathrm{curl}}_{2D}\mathit{F}=1-(-1)=2>0$$\operatorname{curl}_{2D}\boldsymbol F=1-(-1)=2>0 である。正せいの向むきを反時計回はんとけいまわりとする平面へいめんの循環じゅんかんを持もつ基本例きほんれいである。

5成分公式せいぶんこうしきの意味いみ

$$\nabla f=(f_x,f_y,f_z)$$\nabla f=(f_x,f_y,f_z) は三次元さんじげんで各座標方向かくざひょうほうこうの増加率ぞうかりつを 1 つのベクトルに集約しゅうやくしたものである。$$\nabla ·\mathit{F}$$\nabla\cdot\boldsymbol{F} は、各成分かくせいぶんの対応方向たいおうほうこうへの変化率へんかりつを足たし合あわせる。$$\nabla \times \mathit{F}$$\nabla\times\boldsymbol{F} は、座標平面ざひょうへいめんごとの向むき付づけられた局所循環きょくしょじゅんかんを組くみ合あわせる。

発散はっさんの式しきは、$$\mathbf{p}$$\mathbf p を中心ちゅうしんとする小球しょうきゅう $$B_r$$B_r とその外向そとむき単位法線たんいほうせん $$\mathbf{n}$$\mathbf n を使つかって

と表あらわせる。二次元にじげん curl も、$$\mathbf{p}$$\mathbf p を中心ちゅうしんとする円板えんばん $$D_r$$D_r の境界きょうかいを反時計回はんとけいまわりに向むき付づければ

と表あらわせる。三次元さんじげんでは単位法線たんいほうせん $$\mathbf{n}$$\mathbf n と整合せいごうする向むきの微小円板びしょうえんばんを使つかうと、この極限きょくげんが $$\mathbf{n}·(\nabla \times \mathbf{F})$$\mathbf n\cdot(\nabla\times\mathbf F) になる。厳密げんみつな積分定理せきぶんていりは後続講義こうぞくこうぎで扱あつかう。

6比較例ひかくれい

• 放射状場ほうしゃじょうば $$\mathit{F}(x,y)=(x,y)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y) は原点げんてんから外向そとむきに広ひろがるため、発散はっさんが正せいである。
• 回転場かいてんば $$\mathit{F}(x,y)=(-y,x)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(-y,x) は湧わき出だしより循環じゅんかんを持もつ。
• $$\mathit{F}(x,y,z)=(-y,x,0)$$\boldsymbol{F}(x,y,z)=(-y,x,0) は divergence が 0 であるが curl は 0 ではない。
• $$R^2\setminus \left\{0\right\}$$\mathbb R^2\setminus\{\mathbf0\} 上じょうの $$\mathit{F}=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2\left)\right)$$\boldsymbol{F}=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2)) は定義域ていぎいきの全点ぜんてんで $$C^{\mathrm{\infty }}$$C^\infty かつ $${\mathrm{curl}}_{2D}\mathit{F}=0$$\operatorname{curl}_{2D}\boldsymbol F=0 であるが、原点げんてんを囲かこむ閉曲線へいきょくせんの線積分せんせきぶんは 0 にならない。局所微分きょくしょびぶんだけでは大域的たいいきてきな穴あなを検出けんしゅつできないことを次講義じこうぎで確認かくにんする。

7具体計算ぐたいけいさん 1: 放射状場ほうしゃじょうば

$$\mathit{F}(x,y)=(x,y)$$\boldsymbol{F}(x,y)=(x,y) では

である。原点げんてんから外向そとむきに流出りゅうしゅつするが、局所的きょくしょてきな回転かいてんはない。

8具体計算ぐたいけいさん 2: 回転場かいてんば

$$\mathit{G}(x,y)=(-y,x)$$\boldsymbol{G}(x,y)=(-y,x) では

である。湧わき出だしはないが、反時計回はんとけいまわりの循環じゅんかんを持もつ。同おなじ矢印図やじるしずでも、外向そとむきの広ひろがりと回転かいてんは別べつの量りょうで測定そくていする。

9単位たんいの確認かくにん

速度場そくどば $$\mathit{v}$$\boldsymbol{v} の単位たんいを $$\mathrm{m}/\mathrm{s}$$\mathrm{m/s} とすると、divergence の単位たんいは $$1/\mathrm{s}$$1/\mathrm{s} である。単位体積たんいたいせきあたりの相対的そうたいてきな膨張率ぼうちょうりつとして解釈かいしゃくできる。curl も $$1/\mathrm{s}$$1/\mathrm{s} の単位たんいを持もつ。ただし剛体回転ごうたいかいてん $$\mathit{v}=\mathit{\Omega }\times \mathbf{x}$$\boldsymbol v=\boldsymbol\Omega\times\mathbf x では $$\nabla \times \mathit{v}=2\mathit{\Omega }$$\nabla\times\boldsymbol v=2\boldsymbol\Omega であり、curl は角速度かくそくどそのものではなく、その 2 倍ばいである。

10積分せきぶんへの接続せつぞく

curl は線積分せんせきぶんの循環じゅんかんと結むすびつき、divergence は面積分めんせきぶんの流束りゅうそくと結むすびつく。この接続せつぞくを定理ていりとして述のべるのが Green・Gauss・Stokes の定理ていりである。

11どこまで成立せいりつするか

本講義ほんこうぎの成分公式せいぶんこうしきは $$C^1$$C^1 の場ばに対たいして各点かくてんで定義ていぎできる。不連続ふれんぞくや特異点とくいてんを含ふくむ場合ばあいは、その点てんで古典的こてんてきな微分びぶんが定義ていぎできるかを確認かくにんする。分布ぶんぷの意味いみでの grad・div・curl は別べつの拡張かくちょうであり、本講義ほんこうぎでは扱あつかわない。

12関連かんれんリンク