ベクトル解析かいせきの入口いりぐち

date2026-07-14document_iddoc_9f027b515ba7855909a446b4836ce8f1descriptionベクトル解析を、スカラー場とベクトル場を微分して何が見えるかという観点から説明し、勾配・発散・回転の意味を丁寧に整理する。prerequisites多変数微積分への橋渡し / 図形ベクトルと内積 / 内積空間の基本type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎで中心ちゅうしんに置おく発想はっそうは、ベクトル解析かいせきでは、数すうを返かえす関数かんすうとベクトルを返かえす関数かんすうを区別くべつし、その変化へんかを見みるために勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてんという 3 つの道具どうぐを使つかうことである。

多変数たへんすうの関数かんすうを学まなんだあとで混乱こんらんしやすいのは、「偏微分へんびぶんは計算けいさんできるが、それが何なにを見みているのか」が見みえにくいことである。ここでは、場ばの変化へんかを読よむ言葉ことばとして勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてんを整理せいりする。

2用語ようごと定義ていぎ

$U \subset R^{3}$ を開集合かいしゅうごうとする。

スカラー場ばScalar field とは、各点かくてんに 1 つの数すうを対応たいおうさせる関数かんすう $f : U \to R$ である。

ベクトル場ばVector field とは、各点かくてんに 1 つのベクトルを対応たいおうさせる関数かんすう $F : U \to R^{3}$ である。

右手系みぎてけいの Cartesian 直交座標ちょっこうざひょうで

\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

と書かく。 $\nabla$ は「ナブラ」と読よむ微分演算子びぶんえんざんしである。

勾配こうばいGradient とは、スカラー場ば $f$ に対たいして

\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})

で定義ていぎされるベクトルである。

3方針ほうしん

まず、なぜ偏微分へんびぶんを並ならべたものが勾配こうばいになるのかを見みる。そのあと、ベクトル場ばの広ひろがり具合ぐあいを発散はっさん、回まわる傾向けいこうを回転かいてんとして読よむ理由りゆうを整理せいりする。

data/lecture/math/calculus/partial-derivatives-and-multiple-integrals.lecture.n.md data/lecture/math/vector/geometric-vectors-and-dot-products.lecture.n.md

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

たとえば温度おんどの分布ぶんぷ $f (x, y, z)$ を考かんがえると、一番いちばん急きゅうに温度おんどが上あがる向むきと、その増ふえ方かたの大おおきさをまとめたものが勾配こうばいである。

また、流体りゅうたいの速度場そくどばを考かんがえると、その点てんの近ちかくで湧わき出だしているか吸すい込こんでいるかを発散はっさんが、渦うずのように回まわろうとしているかを回転かいてんが表あらわする。

5厳密げんみつな説明せつめい

5.11. なぜ勾配こうばいはこの定義ていぎか

$r_{0} \in U$ とする。 $f$ が $r_{0}$ で全微分可能ぜんびぶんかのうdifferentiableであるとは、ある線型写像せんけいうつし $L : R^{3} \to R$ があり、

f (r_{0} + h) = f (r_{0}) + L (h) + o (∥ h ∥) (h \to 0)

となることである。 $o (∥ h ∥)$ は、 $∥ h ∥$ で割わると 0 へ収束しゅうそくする誤差ごさを表あらわす。Euclidean 内積ないせきでは $L$ をただ 1 つのベクトルとの内積ないせきで表あらわせる。 $f$ が全微分可能ぜんびぶんかのうなら、そのベクトルの成分せいぶんは $f$ の偏導関数へんどうかんすうであり、勾配こうばい $\nabla f (r_{0})$ となる。とくに偏導関数へんどうかんすうが $U$ で連続れんぞく、すなわち $f \in C^{1} (U)$ なら全微分可能ぜんびぶんかのうであり、

L (h) = \nabla f (r_{0}) \cdot h

となる。したがって

f (r_{0} + h) = f (r_{0}) + \nabla f (r_{0}) \cdot h + o (∥ h ∥)

である。偏微分へんびぶんが各点かくてんで存在そんざいするだけでは、この一次近似いちじきんじは保証ほしょうされない。

単位たんいベクトル $u$ に沿そう方向微分ほうこうびぶんdirectional derivativeを

D_{u} f (r_{0}) := \lim_{h \to 0} \frac{f (r_{0} + h u) - f (r_{0})}{h}

で定義ていぎする。上うえの全微分ぜんびぶんの式しきへ $h = h u$ を代入だいにゅうして $h$ で割われば、

D_{u} f (r_{0}) = \nabla f (r_{0}) \cdot u

を得える。Cauchy--Schwarz 不等式ふとうしきより

| D_{u} f (r_{0}) | [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] ∥ \nabla f (r_{0}) ∥

である。 $\nabla f (r_{0}) \neq 0$ なら、最大値さいだいち $∥ \nabla f (r_{0}) ∥$ は $u = \nabla f / ∥ \nabla f ∥$ のときに達たっする。 $\nabla f (r_{0}) = 0$ なら、すべての方向ほうこうの 1 階方向微分かいほうこうびぶんが 0 で、最急方向さいきゅうほうこうは 1 つに定さだまらない。

5.22. 発散はっさん

$F = (P, Q, R) \in C^{1} (U, R^{3})$ に対たいして

\nabla \cdot F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

を発散はっさんと呼よぶ。これは、各方向かくほうこうの成分せいぶんがその方向ほうこうにどれだけ増ふえているかを足たし合あわせたもので、局所的きょくしょてきな湧わき出だしや吸すい込こみを測はかる。

この式しきが自然しぜんなのは、小ちいさい直方体ちょくほうたいから出でる流束りゅうそくを考かんがえると見みえる。 $x$ 方向ほうこうだけ見みると、左右さゆうの面めんから出でる流量りゅうりょうの差さは 1 次じ近似きんじで

\frac{\partial P}{\partial x} Δ x Δ y Δ z

である。これを $y, z$ 方向ほうこうでも同様どうように足たし合あわせると、

(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}) Δ V

となる。より正確せいかくには、 $r_{0}$ へ縮ちぢむ小ちいさな直方体ちょくほうたい $V$ について

NetFlux (V) = (\nabla \cdot F) (r_{0}) Vol (V) + o (Vol (V))

である。したがって発散はっさんは、単位体積たんいたいせきあたりの正味しょうみの流出量りゅうしゅつりょうの極限きょくげんである。

後続こうぞくの面積分めんせきぶんを使つかえば、この意味いみはより正確せいかくに書かける。 $B_{ε} (r_{0})$ を中心ちゅうしん $r_{0}$ 、半径はんけい $ε$ の球きゅうとし、 $n$ をその境界きょうかいの外向そとむき単位法線たんいほうせんとすると、

(\nabla \cdot F) (r_{0}) = \lim_{ε \to 0} \frac{1}{Vol (B_{ε})} \iint_{\partial B_{ε}} F \cdot n d S

と書かける。ここでは幾何的意味きかてきいみの予告よこくとして示しめし、積分せきぶんの定義ていぎは次つぎの講義こうぎで行おこなう。

5.33. 回転かいてん

同おなじ $C^{1}$ ベクトル場ば $F = (P, Q, R)$ に対たいして

\nabla \times F = (\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})

を回転かいてんと呼よぶ。これは場ばが近ちかくでどれだけ回まわろうとしているかを表あらわす量りょうである。

たとえば $x y$ 平面へいめんで $F = (P, Q, 0)$ を考かんがえると、小ちいさい長方形ちょうほうけいの周まわりの循環じゅんかんは 1 次じ近似きんじで

(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) Δ x Δ y

になる。より正確せいかくには、この循環じゅんかんは

(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) Δ A + o (Δ A)

である。3 次元じげんではこれを各方向かくほうこうへ拡張かくちょうしたものが $\nabla \times F$ である。

単位たんいベクトル $n$ に垂直すいちょくで、中心ちゅうしん $r_{0}$ 、半径はんけい $ε$ の円板えんばんを $D_{ε} (r_{0}, n)$ とする。その境界きょうかいを $n$ に対たいする右手則みぎてそくの向むきに回まわると、

n \cdot (\nabla \times F) (r_{0}) = \lim_{ε \to 0} \frac{1}{Area (D_{ε})} \oint_{\partial D_{ε}} F \cdot d r

となる。つまり回転かいてんは角速度かくそくどそのものではなく、向むきごとの単位面積たんいめんせきあたりの局所循環きょくしょじゅんかんをまとめたベクトルである。この線積分せんせきぶんも後続講義こうぞくこうぎで定義ていぎする。

6どこまで成立せいりつするか

ここでは 3 次元じげんの右手系みぎてけい Cartesian 直交座標ちょっこうざひょうで $C^{1}$ の場ばを前提ぜんていにした。直交回転ちょっこうかいてんで座標ざひょうを替かえても勾配こうばい・発散はっさん・回転かいてんという幾何量きかりょうは同おなじだが、円柱座標えんちゅうざひょうや球座標きゅうざひょうでは基底きていと尺度しゃくどが場所ばしょにより変かわるため、成分公式せいぶんこうしきも変かわる。また、回転かいてんをベクトルとして表あらわすには空間くうかんの向むきを固定こていする必要ひつようがある。

7見分みわけ方かた

温度おんどや電位でんいのように 1 つの数すうが与あたえられているなら、まずスカラー場ばとして勾配こうばいを考かんがえる。
流速りゅうそくや力場りきばのように向むきと大おおきさがあるなら、ベクトル場ばとして発散はっさんや回転かいてんを疑うたがう。
各点かくてんで「外そとへ広ひろがるか」「回まわるか」を問とう問題もんだいは、ベクトル解析かいせきの言葉ことばで整理せいりできる。

8最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] f (r_{0} + h) = f (r_{0}) + \nabla f (r_{0}) \cdot h + o (∥ h ∥)

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] D_{u} f (r_{0}) = \nabla f (r_{0}) \cdot u

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \nabla \cdot F = P_{x} + Q_{y} + R_{z}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \nabla \times F = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y})

これらは $f, F \in C^{1}$ という共通条件きょうつうじょうけんの下もとで用もちいる。

9一言ひとことでいうと

ベクトル解析かいせきは、多変数たへんすうの場ばを微分びぶんして、その変化へんかの意味いみを読よむための言葉ことばである。