方向微分ほうこうびぶんと Gradient

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、偏微分へんびぶんを座標軸方向ざひょうじくほうこうの変化率へんかりつとして位置いちづけ、その一般化いっぱんかとして任意方向にんいほうこうの方向微分ほうこうびぶんを導入どうにゅうする。

2用語ようごと定義ていぎ

方向微分ほうこうびぶんDirectional derivative は、単位たんいベクトル $$\mathit{u}$$\boldsymbol{u} の方向ほうこうへ動うごいたときの変化率へんかりつである。

GradientGradient は、方向微分ほうこうびぶんを内積ないせきで表現ひょうげんするベクトルであり、$$\nabla f$$\nabla f と書かく。

3方針ほうしん

$$f$$f が十分じゅうぶんに滑なめらかなら、

である。Cauchy-Schwarz 不等式ふとうしきにより、方向微分ほうこうびぶんが最大さいだいになる方向ほうこうは $$\nabla f$$\nabla f の方向ほうこうである。

4具体例ぐたいれい

$$f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2 では $$\nabla f=(2x,2y)$$\nabla f=(2x,2y) である。$$(1,2)$$(1,2) では $$\nabla f=(2,4)$$\nabla f=(2,4) となり、この方向ほうこうが最急増加方向さいきゅうぞうかほうこうである。

5関連かんれんリンク