接平面せつへいめん・連鎖律れんさりつ・Jacobian

date2026-07-14document_iddoc_9f37560700349096c11fb4d3ecaff99adescription接平面・連鎖律・Jacobian 行列を、多変数写像の点における線型近似として整理する講義である。prerequisites多変数関数と偏微分 / 線型写像type講義content_typelecturestatusactive

mathmultivariable-calculusjacobianlinearizationlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Jacobian 行列ぎょうれつを「偏微分へんびぶんを並ならべた表ひょう」で終おわらせないことを説明せつめいする。

Jacobian 行列ぎょうれつは、多変数写像たへんすうしゃぞうを一点いってんの近ちかくで線型化せんけいかしたときに現あらわれる線型写像せんけいしゃぞうの行列表現ぎょうれつひょうげんである。

ただし、ここで注意ちゅういがある。もとの写像しゃぞう $F$ が非線型ひせんけいなら、 $F$ 全体ぜんたいを線型作用素せんけいさようそとみなしてはいけない。固定こていした点てん $a$ における微分びぶん $D F (a)$ だけが、増分ぞうぶん $h$ に作用さようする線型写像せんけいしゃぞうである。

この区別くべつが、多変数微積分たへんすうびせきぶん、線型作用素せんけいさようそ、微分方程式びぶんほうていしきの接続せつぞくで重要じゅうようになる。

data/lecture/math/linear-operator/proving-operator-linearity.lecture.n.md

2なぜ Jacobian 行列ぎょうれつを考かんがえるのか

一変数いちへんすうの関数かんすうでは、 $x = a$ の近ちかくで

f (a + h) \approx f (a) + f^{'} (a) h

と見みる。この式しきの意味いみは、複雑ふくざつな曲線きょくせんを、点てん $a$ の近ちかくでは接線せっせんで近似きんじするということである。

多変数たへんすうでも同おなじことをしたい。つまり、 $a$ から少すこしだけ動うごいた量りょう $h$ に対たいして、

F (a + h) - F (a)

を、できるだけ簡単かんたんな線型写像せんけいしゃぞうで近似きんじしたい。この線型写像せんけいしゃぞうが $D F (a)$ であり、その行列ぎょうれつが Jacobian 行列ぎょうれつである。

したがって、Jacobian 行列ぎょうれつを使つかう理由りゆうは、多変数写像たへんすうしゃぞうの局所的きょくしょてきな変化へんかを、線型代数せんけいだいすうで扱あつかえる形かたちにするためである。

3用語ようごと設定せってい

$F : R^{n} \to R^{m}$ を

F (x_{1}, \dots, x_{n}) = (\begin{matrix} F_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ ⋮ \\ F_{m} (x_{1}, \dots, x_{n}) \end{matrix})

と書かく。

3.1Jacobian 行列ぎょうれつ

$F$ の Jacobian 行列ぎょうれつは

J_{F} (x) = (\begin{matrix} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] \partial F_{1} \partial x_{1} (x) & \dots & [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] \partial F_{1} \partial x_{n} (x) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] \partial F_{m} \partial x_{1} (x) & \dots & [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"dfrac\")")] \partial F_{m} \partial x_{n} (x) \end{matrix})

である。これは $m \times n$ 行列ぎょうれつである。入力にゅうりょくの変数へんすうが $n$ 個こ、出力しゅつりょくの成分せいぶんが $m$ 個こあるからである。

ここでいう行列表現ぎょうれつひょうげんとは、線型写像せんけいしゃぞうに基底きていを選えらんで行列ぎょうれつを対応たいおうさせることである。このページでは、 $R^{n}$ の標準基底ひょうじゅんきてい

e_{1} = (1, 0, \dots, 0), \dots, e_{n} = (0, \dots, 0, 1)

を使つかう。標準基底ひょうじゅんきていとは、各かく座標軸ざひょうじくの方向ほうこうを表あらわす基本きほんベクトルである。

3.2微分びぶん $D F (a)$

$F$ が点てん $a \in R^{n}$ で微分可能びぶんかのうであるとは、ある線型写像せんけいしゃぞう

D F (a) : R^{n} \to R^{m}

が存在そんざいして、

F (a + h) = F (a) + D F (a) h + r (h), \frac{∥ r (h) ∥}{∥ h ∥} \to 0 (h \to 0)

と書かけることである。ここで $r (h)$ は、 $h$ に比くらべて十分じゅうぶんに小ちいさい誤差ごさである。

記号きごう $∥ h ∥$ はベクトル $h$ の長ながさを表あらわす。この長ながさを使つかって、 $r (h)$ が $h$ より高次こうじに小ちいさいことを

r (h) = o (∥ h ∥)

と書かくこともある。

この定義ていぎでは、最初さいしょから $D F (a)$ が線型写像せんけいしゃぞうとして現あらわれる。Jacobian 行列ぎょうれつは、この $D F (a)$ を標準基底ひょうじゅんきていで表あらわした行列ぎょうれつである。

4命題めいだい 1：Jacobian 行列ぎょうれつは点てんでの線型写像せんけいしゃぞうを表あらわす

4.1仮定かてい

$F : R^{n} \to R^{m}$ が点てん $a$ で微分可能びぶんかのうであり、Jacobian 行列ぎょうれつ $J_{F} (a)$ を持もつとする。

4.2結論けつろん

L_{a} : R^{n} \to R^{m}, L_{a} (h) = J_{F} (a) h

で定義ていぎされる写像しゃぞう $L_{a}$ は線型せんけいである。また、 $F (a + h)$ の一次近似いちじきんじは

F (a + h) \approx F (a) + J_{F} (a) h

である。

4.3証明しょうめい

$h, k \in R^{n}$ 、 $α, β \in R$ とする。行列ぎょうれつによる写像しゃぞうは線型せんけいなので、

\begin{aligned} L_a(\alpha h+\beta k) &=J_F(a)(\alpha h+\beta k)\\ &=\alpha J_F(a)h+\beta J_F(a)k\\ &=\alpha L_a(h)+\beta L_a(k). \end{aligned}\begin{aligned} L_a(\alpha h+\beta k) &=J_F(a)(\alpha h+\beta k)\\ &=\alpha J_F(a)h+\beta J_F(a)k\\ &=\alpha L_a(h)+\beta L_a(k). \end{aligned}

したがって $L_{a}$ は線型せんけいである。

また、微分可能性びぶんかのうせいの定義ていぎより

F (a + h) = F (a) + D F (a) h + r (h), \frac{∥ r (h) ∥}{∥ h ∥} \to 0

である。 $D F (a)$ の行列表現ぎょうれつひょうげんが $J_{F} (a)$ なので、

D F (a) h = J_{F} (a) h

である。よって一次近似いちじきんじは

F (a + h) \approx F (a) + J_{F} (a) h

で与あたえられる。□

5接平面せつへいめんは一出力いちしゅつりょくの場合ばあいの一次近似いちじきんじ

$f : R^{2} \to R$ を考かんがえる。この場合ばあい、Jacobian 行列ぎょうれつは

J_{f} (a, b) = (\begin{matrix} f_{x} (a, b) & f_{y} (a, b) \end{matrix})

である。したがって

f (a + s, b + t) \approx f (a, b) + f_{x} (a, b) s + f_{y} (a, b) t

である。 $x = a + s, y = b + t$ と書かき直なおすと、

z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)

となる。これが $z = f (x, y)$ の点てん $(a, b)$ における接平面せつへいめんである。

5.1具体例ぐたいれい

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

とする。このとき

f_{x} (x, y) = 2 x, f_{y} (x, y) = 2 y

である。 $(1, 2)$ では

f (1, 2) = 5, f_{x} (1, 2) = 2, f_{y} (1, 2) = 4

だから、接平面せつへいめんは

z = 5 + 2 (x - 1) + 4 (y - 2)

である。

この式しきは曲面きょくめんそのものではない。点てん $(1, 2)$ の近ちかくで、曲面きょくめんを線型せんけいな式しきで近似きんじしたものである。

6命題めいだい 2：連鎖律れんさりつは線型近似せんけいきんじの合成ごうせいである

6.1仮定かてい

$F : R^{n} \to R^{m}$ が点てん $a$ で微分可能びぶんかのう、 $G : R^{m} \to R^{ℓ}$ が点てん $F (a)$ で微分可能びぶんかのうであるとする。

6.2結論けつろん

J_{G \circ F} (a) = J_{G} (F (a)) J_{F} (a)

である。

6.3証明しょうめい

$A = D F (a)$ 、 $B = D G (F (a))$ とおく。微分可能性びぶんかのうせいの定義ていぎより、

F (a + h) = F (a) + A h + r_{F} (h), r_{F} (h) = o (∥ h ∥)

である。また、 $u \to 0$ のとき

G (F (a) + u) = G (F (a)) + B u + r_{G} (u), r_{G} (u) = o (∥ u ∥)

である。

ここで

u = A h + r_{F} (h)

とおくと、 $h \to 0$ のとき $u \to 0$ である。したがって

\begin{aligned} G(F(a+h)) &=G(F(a)+Ah+r_F(h))\\ &=G(F(a))+B(Ah+r_F(h))+r_G(Ah+r_F(h))\\ &=G(F(a))+BAh+\{Br_F(h)+r_G(Ah+r_F(h))\}. \end{aligned}\begin{aligned} G(F(a+h)) &=G(F(a)+Ah+r_F(h))\\ &=G(F(a))+B(Ah+r_F(h))+r_G(Ah+r_F(h))\\ &=G(F(a))+BAh+\{Br_F(h)+r_G(Ah+r_F(h))\}. \end{aligned}

残のこった括弧かっこの中なかが $o (∥ h ∥)$ であることを確認かくにんする。まず $r_{F} (h) = o (∥ h ∥)$ なので、 $B r_{F} (h) = o (∥ h ∥)$ である。行列ぎょうれつ $B$ による写像しゃぞうは、長ながさをある定数倍ていすうばいまでに抑おさえるからである。

また、 $A h + r_{F} (h) = O (∥ h ∥)$ であり、 $r_{G} (u) = o (∥ u ∥)$ だから、

r_{G} (A h + r_{F} (h)) = o (∥ h ∥)

である。よって

G (F (a + h)) = G (F (a)) + B A h + o (∥ h ∥)

である。これは $G \circ F$ の微分びぶんが $B A$ であることを意味いみする。したがって

D (G \circ F) (a) = D G (F (a)) D F (a)

であり、標準基底ひょうじゅんきていで行列表示ぎょうれつひょうじすれば

J_{G \circ F} (a) = J_{G} (F (a)) J_{F} (a)

である。□

この証明しょうめいの要点ようてんは、近似きんじを感覚的かんかくてきに合成ごうせいしただけではなく、残のこりの誤差ごさも $h$ に比くらべて小ちいさいままであることを確認かくにんした点てんである。

data/lecture/math/linear-operator/introduction-to-linear-operators.lecture.n.md

7具体例ぐたいれい：Jacobian 行列ぎょうれつを計算けいさんする

F (x, y) = (\begin{matrix} x^{2} y \\ \sin (x + y) \end{matrix})

とする。このとき

J_{F} (x, y) = (\begin{matrix} 2 x y & x^{2} \\ \cos (x + y) & \cos (x + y) \end{matrix})

である。 $(1, 0)$ では

J_{F} (1, 0) = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ \cos 1 & \cos 1 \end{matrix})

である。

したがって $(1, 0)$ の近ちかくで、 $h = (s, t)^{T}$ と置おくと、

F ((1, 0) + h) \approx F (1, 0) + J_{F} (1, 0) h

である。つまり

F (1 + s, t) \approx (\begin{matrix} 0 \\ \sin 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} t \\ \cos 1 (s + t) \end{matrix})

である。

この近似きんじでは、 $F$ の非線型ひせんけいな振ふる舞まいを、点てん $(1, 0)$ の近ちかくだけで線型写像せんけいしゃぞう $h \mapsto J_{F} (1, 0) h$ に置おき換かえている。

8微分方程式びぶんほうていしきでの使つかい方かた

連立微分方程式れんりつびぶんほうていしき

x^{'} = F (x)

を考かんがえる。平衡点へいこうてん $x_{*}$ は

F (x_{*}) = 0

を満みたす点てんである。

$x = x_{*} + u$ と置おくと、 $x_{*^{'}} = 0$ なので

u^{'} = F (x_{*} + u)

である。Jacobian による一次近似いちじきんじを使つかうと、

u^{'} = J_{F} (x_{*}) u + 高次項

となる。この一次項いちじこうだけを見みると

u^{'} = J_{F} (x_{*}) u

という線型微分方程式せんけいびぶんほうていしきが得えられる。これが平衡点へいこうてんの線型化せんけいかである。

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9変数変換へんすうへんかんでの使つかい方かた

多重積分たじゅうせきぶんの変数変換へんすうへんかんでは、Jacobian 行列ぎょうれつの行列式ぎょうれつしきが現あらわれる。

写像しゃぞう

Φ (u, v) = (x (u, v), y (u, v))

が小ちいさい長方形ちょうほうけいを平面上へいめんじょうへ送おくるとき、その面積めんせきは近似的きんじてきに

| \det J_{Φ} (u, v) |

倍ばいされる。つまり Jacobian 行列式ぎょうれつしきは、局所的きょくしょてきな面積倍率めんせきばいりつである。

data/lecture/math/multivariable-calculus/multiple-integrals-and-change-of-variables.lecture.n.md

10線型作用素せんけいさようそとの関係かんけい

$F : R^{n} \to R^{m}$ が最初さいしょから線型写像せんけいしゃぞうなら、ある行列ぎょうれつ $A$ によって

F (x) = A x

と書かける。この場合ばあい、どの点てん $a$ でも

J_{F} (a) = A

である。つまり、線型写像せんけいしゃぞうでは局所近似きょくしょきんじと全体ぜんたいの写像しゃぞうが一致いっちする。

一方いっぽう、 $F$ が非線型ひせんけいなら、 $J_{F} (a)$ は点てん $a$ によって変かわる。この場合ばあい、線型せんけいなのは

h \mapsto J_{F} (a) h

であって、 $x \mapsto F (x)$ 全体ぜんたいではない。この区別くべつを忘わすれると、非線型問題ひせんけいもんだいを線型作用素方程式せんけいさようそほうていしきとして誤あやまって扱あつかうことになる。

11どこまで成立せいりつするか

Jacobian 行列ぎょうれつが書かけることと、微分可能びぶんかのうであることは同おなじではない。偏微分へんびぶんが存在そんざいしても、一次近似いちじきんじとして正ただしく働はたらくとは限かぎらない。

このページでは、 $F$ が微分可能びぶんかのうである場合ばあいを前提ぜんていにした。より詳くわしくは、偏微分へんびぶんの連続性れんぞくせい、逆関数定理ぎゃくかんすうていり、陰関数定理いんかんすうていりなどで条件じょうけんを補おぎなう。

また、 $\det J_{F} (a) \neq 0$ だからといって、大域的たいいきてきに一対一いちたいいちであるとは言いえない。それは点てん $a$ の近ちかくで局所的きょくしょてきに逆写像ぎゃくしゃぞうを考かんがえられる、という型かたの主張しゅちょうである。

接平面せつへいめん・連鎖律れんさりつ・Jacobian

1導入どうにゅう

2なぜ Jacobian 行列ぎょうれつを考かんがえるのか

3用語ようごと設定せってい

3.1Jacobian 行列ぎょうれつ

3.2微分びぶん DF(a)DF(a)

4命題めいだい 1：Jacobian 行列ぎょうれつは点てんでの線型写像せんけいしゃぞうを表あらわす

4.1仮定かてい

4.2結論けつろん

4.3証明しょうめい

5接平面せつへいめんは一出力いちしゅつりょくの場合ばあいの一次近似いちじきんじ

5.1具体例ぐたいれい

6命題めいだい 2：連鎖律れんさりつは線型近似せんけいきんじの合成ごうせいである

6.1仮定かてい

6.2結論けつろん

6.3証明しょうめい

7具体例ぐたいれい：Jacobian 行列ぎょうれつを計算けいさんする

8微分方程式びぶんほうていしきでの使つかい方かた

9変数変換へんすうへんかんでの使つかい方かた

10線型作用素せんけいさようそとの関係かんけい

11どこまで成立せいりつするか

12関連かんれんリンク

3.2微分びぶん $D F (a)$